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    基于代理模型的工程結(jié)構(gòu)可靠性分析

    2018-05-30 01:05:11平,寧,
    關(guān)鍵詞:計(jì)算精度算例代理

    易 平, 楊 濰 寧, 謝 東 赤

    ( 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部, 遼寧 大連 116024 )

    0 引 言

    工程實(shí)踐中往往無法得到結(jié)構(gòu)功能與結(jié)構(gòu)隨機(jī)變量的顯式表達(dá)式,因而常用的可靠性分析方法不能得到有效運(yùn)用.基于工程結(jié)構(gòu)有限元軟件和計(jì)算機(jī)隨機(jī)數(shù)生成,計(jì)算工程結(jié)構(gòu)可靠度的蒙特卡羅法得到重要運(yùn)用.但由于隨機(jī)模擬次數(shù)多,計(jì)算成本大,蒙特卡羅法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度也有很大的局限性.鑒于這種情況,張哲等引入代理模型方法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度[1].

    代理模型是指通過數(shù)學(xué)手段構(gòu)造計(jì)算量小,但計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析或物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果相近的近似數(shù)學(xué)模型,以代替原分析模型.傳統(tǒng)二次多項(xiàng)式響應(yīng)面法(response surface method,RSM)和Kriging方法是目前常用的兩種代理模型.Kriging 方法最早于1951年由南非地質(zhì)學(xué)家Krige提出;1989年Sacks等[2]建立了用于計(jì)算機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)(design and analysis of computer experiments,DACE)的Kriging方法;Lophaven等[3]采用Matlab編程實(shí)現(xiàn)了Kriging方法的DACE工具箱.Kriging代理模型在結(jié)構(gòu)領(lǐng)域中多用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[4-5].王紅等[6]基于Kriging代理模型提出了混合優(yōu)化算法,成功提高了高維參數(shù)優(yōu)化問題的計(jì)算效率.

    Kaymaz[7]首先將Kriging方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性分析,并與傳統(tǒng)響應(yīng)面法做了比較.2011年,陳志英等[8]采用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization,PSO)算法搜索Kriging近似模型參數(shù)的最優(yōu)值,分析了渦輪盤低循環(huán)疲勞的可靠度.2013年,馮歡歡等[9]應(yīng)用樣本重復(fù)使用的策略,充分利用迭代過程中的樣本點(diǎn)避免了資源信息的浪費(fèi),有效地提高了可靠度的計(jì)算效率和精度.2015年,Yi等[10]提出了樣本選擇累積策略即優(yōu)先選擇更接近極限狀態(tài)曲面的點(diǎn),并利用該策略基于傳統(tǒng)響應(yīng)面模型和改進(jìn)Kriging模型進(jìn)行了邊坡穩(wěn)定可靠度研究.

    目前代理模型在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中得到了廣泛應(yīng)用,但其在結(jié)構(gòu)可靠性分析中仍然沒有普及.代理模型方法作為一種計(jì)算精度高、近似誤差小的可靠性分析方法擁有廣闊的前景.本文采用基于粒子群優(yōu)化的Kriging方法(PSO-Kriging)計(jì)算功能函數(shù)的可靠指標(biāo)并與傳統(tǒng)響應(yīng)面法(RSM)做對(duì)比,同時(shí)研究多次擬合近似代理模型過程中的樣本全部累積和選擇累積策略,最后將基于粒子群優(yōu)化的Kriging方法運(yùn)用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的可靠性分析.

    1 結(jié)構(gòu)可靠性理論

    結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)和規(guī)定條件下,完成預(yù)定功能的概率稱為結(jié)構(gòu)可靠度,該預(yù)定功能可以通過如下功能函數(shù)表達(dá):

    Y=g(x1,x2,…,xn)

    (1)

    其中x1,x2,…,xn為n個(gè)隨機(jī)變量;Y>0表示結(jié)構(gòu)可靠,Y<0表示結(jié)構(gòu)失效.

    工程中一般多用失效概率Pf反映結(jié)構(gòu)可靠度,Pf為失效域內(nèi)聯(lián)合概率密度函數(shù)的多維積分.當(dāng)隨機(jī)變量增多時(shí),通過數(shù)值積分求解失效概率非常困難甚至不可行,因此引入可靠指標(biāo)β的概念.可靠指標(biāo)β和失效概率Pf通過下式進(jìn)行轉(zhuǎn)換:

    β=-Φ-1(Pf)

    (2)

    由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,一般很難寫出其顯式功能函數(shù),代理模型方法是求解此類問題的一種有效方法.代理模型方法利用有限次數(shù)的結(jié)構(gòu)分析結(jié)果擬合一個(gè)顯式表達(dá)式近似代替未知的功能函數(shù)進(jìn)行可靠指標(biāo)計(jì)算.

    2 代理模型方法

    基于代理模型方法進(jìn)行可靠性分析,首先要通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法選取樣本點(diǎn).拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling,LHS)是一種多維分層抽樣方法,其基本思想是在試驗(yàn)空間內(nèi)等概率抽樣,將每個(gè)變量的抽樣空間劃分為N個(gè)(樣本點(diǎn)數(shù))等概率的子空間,從而整個(gè)試驗(yàn)空間被劃分為Nn個(gè)等概率的子空間,在這些子空間中進(jìn)行隨機(jī)變量的取值配對(duì),最終得到N個(gè)樣本點(diǎn)[11].前期的一些研究工作表明拉丁超立方抽樣試驗(yàn)均衡性較好,實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,所以本文采用LHS方法選取樣本點(diǎn).利用LHS選取樣本點(diǎn)后,分別基于傳統(tǒng)響應(yīng)面模型和Kriging模型進(jìn)行可靠性分析.

    2.1 傳統(tǒng)響應(yīng)面法(RSM)

    傳統(tǒng)響應(yīng)面法又稱多項(xiàng)式響應(yīng)面法,是一種應(yīng)用廣泛的代理模型方法.近似模型通常采用不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式形式:

    g-(x)=a0+∑ni=1aixi+∑ni=1aiix2i

    (3)

    a=(a0aiaii)T,為2n+1個(gè)待定系數(shù).進(jìn)行m(m≥2n+1)次獨(dú)立試驗(yàn),得到其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值,組成用于確定系數(shù)a的方程組,然后利用最小二乘QR分解算法(least squares QR,LSQR)[12]確定待定系數(shù)得到近似函數(shù).

    2.2 Kriging方法

    Kriging模型由回歸項(xiàng)和隨機(jī)誤差項(xiàng)兩部分組成:

    g-(x)=∑pj=1βjfj(x)+z(x)

    (4)

    式中:βj為回歸系數(shù),fj(x)表示基函數(shù),z(x)為隨機(jī)誤差.隨機(jī)誤差z(x)是Kriging方法與RSM最主要的不同點(diǎn),以下是隨機(jī)誤差z(x)的主要性質(zhì):

    E[z(x)]=0; var[z(x)]=σ2cov [z(xi),z(xj)]=σ2R(xi,xj)

    (5)

    R為含有參數(shù)θ的關(guān)于樣本點(diǎn)xi和xj的相關(guān)函數(shù),通常采用如式(6)所示的高斯函數(shù)[13]:

    (6)

    其中θk為參數(shù)向量θ的第k個(gè)元素.參數(shù)θ的取值影響著Kriging模型的精度,需要獲取極大似然意義下的最優(yōu)相關(guān)參數(shù)θ,從而確保Kriging預(yù)測(cè)結(jié)果的最優(yōu)無偏性.

    Lophaven等編寫了Kriging方法的Matlab程序——DACE工具箱[3].在DACE工具箱中,利用輸入的樣本點(diǎn)和響應(yīng)值得到相應(yīng)的參數(shù)值,進(jìn)而根據(jù)式(4)得到功能函數(shù)的顯式表達(dá).DACE工具箱采用模式搜索法尋找最優(yōu)參數(shù)θ,這種方法需要給定初始點(diǎn)θ0,θ0對(duì)Kriging模型的精度有很大影響,θ0取值不當(dāng)會(huì)使得參數(shù)θ陷入局部最優(yōu),從而降低Kriging模型的精度.為了避免初值選擇對(duì)Kriging模型的影響,本文采用粒子群優(yōu)化(PSO)算法[14]搜索最優(yōu)參數(shù)θ.有別于模式搜索法,PSO算法不需要給定初始點(diǎn)θ0,采用多點(diǎn)并行搜索,種群中各粒子在搜索過程中實(shí)現(xiàn)信息共享,每個(gè)粒子追隨自身最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置,通過不斷調(diào)整自身的坐標(biāo)和速度在解空間中進(jìn)行搜索,最終趨近最優(yōu)解.

    為了對(duì)比Kriging模型和傳統(tǒng)響應(yīng)面模型的差異,選取二維非線性測(cè)試函數(shù),函數(shù)表達(dá)式如下:

    2sin 2x1sin 2x2

    變量x1和x2的取值范圍為[0.5,3.5],采用LHS方法選取55個(gè)樣本點(diǎn)(圖1(b)、(c)所示的黑色散點(diǎn)).分別使用PSO-Kriging和RSM對(duì)函數(shù)擬合,并畫出近似函數(shù)圖像,如圖1所示.

    (a) 原函數(shù)圖像

    (b) PSO-Kriging

    (c) RSM

    圖1 原函數(shù)、Kriging模型和RSM模型近似曲面對(duì)比

    Fig.1 Comparison of original function image with the approximate surface of Kriging and RSM models

    從圖1可以看出,PSO-Kriging較好地?cái)M合了原函數(shù),樣本點(diǎn)都落在近似曲面上.而基于RSM的近似函數(shù)圖像和原函數(shù)圖像出入很大,樣本點(diǎn)也多不在近似曲面上.這表明當(dāng)擬合非線性程度較高的函數(shù)時(shí),Kriging模型的擬合精度要高于傳統(tǒng)響應(yīng)面模型.這也很容易理解,由于RSM中近似功能函數(shù)的表達(dá)形式完全預(yù)設(shè),當(dāng)真實(shí)功能函數(shù)的非線性程度增加時(shí),RSM很難構(gòu)造精度很高的近似函數(shù).

    3 樣本累積

    使用代理模型方法求解結(jié)構(gòu)可靠度時(shí),由于其近似性需多次擬合功能函數(shù),多次求得近似可靠指標(biāo)直至收斂.首次擬合功能函數(shù)時(shí)通常選擇隨機(jī)變量的均值點(diǎn)作為抽樣中心,利用LHS方法產(chǎn)生2n+1個(gè)樣本點(diǎn);后續(xù)迭代中則以前一次求得的驗(yàn)算點(diǎn)作為抽樣中心選取新的樣本點(diǎn).傳統(tǒng)方法是每次迭代生成2n+1個(gè)樣本點(diǎn),只利用新生成的樣本點(diǎn)構(gòu)造功能函數(shù).下章算例表明這種擯棄舊樣本點(diǎn)信息的方法在求解可靠指標(biāo)的精度和效率上都不高.

    樣本累積即樣本重復(fù)利用,將歷史樣本點(diǎn)和新的樣本點(diǎn)組合在一起共同構(gòu)造代理模型,計(jì)算可靠指標(biāo),不斷循環(huán)直至收斂.其方法流程如圖2所示.

    圖2 基于樣本累積的代理模型方法流程圖Fig.2 Flow chart of surrogate model based on sample accumulation

    樣本累積可分為樣本全部累積和樣本選擇累積.樣本全部累積是指在第k(k>1)次迭代中,將之前k-1次迭代用到的所有樣本點(diǎn)累積到本次迭代產(chǎn)生的2n+1個(gè)樣本點(diǎn)中,利用k×(2n+1)個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)造代理模型計(jì)算可靠指標(biāo).而樣本選擇累積是指從上次迭代使用的樣本點(diǎn)中選擇距離極限狀態(tài)面最近的l個(gè)樣本點(diǎn),即使得響應(yīng)Y絕對(duì)值最小的l個(gè)樣本點(diǎn),累積到本次迭代產(chǎn)生的2n+1個(gè)樣本點(diǎn)中,利用2n+1+l個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)造代理模型計(jì)算可靠指標(biāo).在接下來的算例中分別使用樣本不累積、樣本全部累積以及樣本選擇累積進(jìn)行可靠性分析,并進(jìn)行比較.

    4 算例分析

    下面的兩個(gè)顯式算例均使用LHS方法每次迭代選取2n+1個(gè)樣本點(diǎn),其中選擇樣本累積時(shí)l=2n+1.近似功能函數(shù)則分別采用基于粒子群優(yōu)化的Kriging方法(PSO-Kriging)和傳統(tǒng)響應(yīng)面法(RSM)構(gòu)造,最后根據(jù)可靠指標(biāo)β的幾何意義[15]利用Matlab優(yōu)化工具箱求解可靠指標(biāo)β.同時(shí)使用一次二階矩計(jì)算可靠指標(biāo),對(duì)比計(jì)算效率和計(jì)算精度.收斂標(biāo)準(zhǔn)均設(shè)為βi-βi-1≤0.001.使用蒙特卡羅法計(jì)算可靠指標(biāo)作為參考解,其中蒙特卡羅法所必需的樣本點(diǎn)數(shù)M通過下式進(jìn)行估算:

    (7)

    基于PSO-Kriging和RSM,在迭代過程中采用3種不同的樣本處理方法,計(jì)算功能函數(shù)g(x)的可靠指標(biāo),并與蒙特卡羅法計(jì)算的參考解相對(duì)照,計(jì)算結(jié)果如表1所示.

    表1 算例1中不同方法的計(jì)算結(jié)果

    由表1可以看出,綜合考慮3種樣本使用情況,在保證計(jì)算精度前提下,PSO-Kriging的計(jì)算效率要高于RSM.不論是PSO-Kriging還是RSM,迭代過程采用樣本累積都提高了計(jì)算效率,其中樣本選擇累積在計(jì)算效率上要優(yōu)于樣本全部累積.針對(duì)該顯式算例,傳統(tǒng)的一次二階矩具有較高的計(jì)算效率和計(jì)算精度.

    表2 算例2中不同方法的計(jì)算結(jié)果

    由表2可以看出,無論是使用PSO-Kriging還是RSM,樣本不累積時(shí)都不能得到最終的收斂解.若迭代過程中樣本全部累積,PSO-Kriging經(jīng)過5次迭代25次函數(shù)計(jì)算得到最終的可靠指標(biāo)值;RSM的計(jì)算效率略低,經(jīng)過11次迭代55次函數(shù)計(jì)算得到收斂解.對(duì)于RSM,樣本選擇累積在計(jì)算效率和計(jì)算精度上均要高于樣本全部累積,但對(duì)于PSO-Kriging,樣本選擇累積較樣本全部累積只稍提高了計(jì)算精度.此外樣本累積的PSO-Kriging的計(jì)算效率和計(jì)算精度要高于傳統(tǒng)的一次二階矩.

    由以上兩個(gè)數(shù)值算例可知,迭代過程中累積之前的樣本點(diǎn)避免了資源的浪費(fèi),使迭代更加高效穩(wěn)定.對(duì)于RSM,樣本選擇累積較樣本全部累積提高了計(jì)算精度和效率;而對(duì)于PSO-Kriging,樣本選擇累積較樣本全部累積的優(yōu)勢(shì)不明顯.但整體來看,PSO-Kriging明顯比RSM效率高,所以接下來的3個(gè)結(jié)構(gòu)可靠性分析隱式算例采用PSO-Kriging.

    圖3 多層框架結(jié)構(gòu)Fig.3 Multi-story frame structure

    表3 算例3中隨機(jī)變量信息

    表4 算例3中不同方法的計(jì)算結(jié)果

    算例4一板柱結(jié)構(gòu)如圖4所示[18],其寬度為6 m,柱間距為5 m,層高為3 m.板的厚度為0.2 m,方柱的名義邊長(zhǎng)為0.5 m,材料彈性模量為200 GPa,泊松比為0.3,密度為7 800 kg/m3.取結(jié)構(gòu)每層方柱實(shí)際邊長(zhǎng)與名義邊長(zhǎng)的比值ki為隨機(jī)變量,各個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其統(tǒng)計(jì)特征值列于表5.進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析,當(dāng)結(jié)構(gòu)基頻超過4.107 2 Hz時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)失效,求其可靠指標(biāo).計(jì)算結(jié)果如表6所示.

    圖4 板柱結(jié)構(gòu)Fig.4 The slab-column structure

    表5 算例4中隨機(jī)變量信息

    表6 算例4中不同方法的計(jì)算結(jié)果

    算例5圖5所示矩形薄板[19]的尺寸為0.254 0 m×0.304 8 m,在位于角點(diǎn)到中點(diǎn)距離的2/7處設(shè)置4個(gè)支撐.板的邊緣和對(duì)稱線上分別施加Q1=26.27 kN/m和Q2=35.02 kN/m的分布荷載.根據(jù)對(duì)稱性,選擇板的1/4建立如圖6所示的有限元模型,共49個(gè)四節(jié)點(diǎn)板單元,所有單元采用密度為2 134 kg/m3的同一種材料.板厚采用變量聯(lián)接技術(shù)(如圖6所示,顏色相同的單元的板厚用同一個(gè)變量表示).7個(gè)板厚和材料彈性模量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其統(tǒng)計(jì)信息列于表7.功能函數(shù)取為板中點(diǎn)的垂直位移要小于0.152 4 mm.計(jì)算結(jié)果如表8所示.

    圖5 矩形薄板Fig.5 A rectangular plate

    由以上3個(gè)工程算例可知,基于PSO-Kriging 代理模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析,若未進(jìn)行樣本累積,有可能迭代過程振蕩不能收斂到最終的可靠指標(biāo)值;采用樣本累積能顯著改善收斂性能,樣本選擇累積在計(jì)算效率和計(jì)算精度上都要優(yōu)于樣本全部累積.在分析結(jié)構(gòu)算例時(shí),常用的一次二階矩的計(jì)算效率較低,且誤差較大.

    圖6 矩形薄板的有限元模型Fig.6 Finite element model for the rectangular plate

    表7 算例5中隨機(jī)變量信息

    表8 算例5中不同方法的計(jì)算結(jié)果

    5 結(jié)論與展望

    (1)RSM難以對(duì)非線性程度高的極限狀態(tài)曲面作出較好的擬合,PSO-Kriging有良好的預(yù)測(cè)能力,無論是在計(jì)算效率還是精度上都要優(yōu)于RSM.

    (2)迭代過程中摒棄之前迭代樣本點(diǎn)信息的做法造成了資源的浪費(fèi),增加了迭代次數(shù)和計(jì)算誤差,甚至造成迭代過程振蕩不收斂.

    (3)迭代過程中采用樣本累積能顯著改善收斂性能,提高收斂速度,得到較為精確的可靠指標(biāo)值;樣本選擇累積在計(jì)算效率和計(jì)算精度上通常都優(yōu)于樣本全部累積,但有時(shí)對(duì)效率的改善不明顯,后續(xù)工作應(yīng)繼續(xù)研究樣本選擇方法,嘗試?yán)肒riging方法不僅能提供最優(yōu)無偏預(yù)測(cè),而且能對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果誤差作定量估計(jì)的特性,構(gòu)造學(xué)習(xí)函數(shù)進(jìn)行樣本選擇.

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