數(shù)形結(jié)合討論二次方程的符號(hào)和范圍

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【摘 要】用數(shù)形結(jié)合的方法討論一元二次方程的根的問題

【關(guān)鍵詞】根分布；△；根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程的根分布問題，表面是方程問題，實(shí)質(zhì)上往往是二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)、解不等式的綜合問題。求解時(shí)既要注意求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式等的應(yīng)用，更要注意數(shù)形結(jié)合。一般要考慮的內(nèi)容有：開口方向、對(duì)稱軸位置、判別式△、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)等。

下面通過實(shí)際例子來說明這一點(diǎn)：

例1 如果方程 x2+（k+2）x+k+5=0 ，有兩個(gè)不相等的正根，求k的范圍。

解：設(shè)f（x）=x2+（k+2）x+k+5

∵ a>0 拋物線開口向上

如圖1

又∵ 方程有兩個(gè)不等的正根

∴△> 0f（0）>0 ？陴 -50

∴ 當(dāng)-5

例2 當(dāng) a 為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程 （a2-1）x2-6（3a-1）x+72=0有一個(gè)正數(shù)根，一個(gè)負(fù)數(shù)根。

解：設(shè)f（x）=（a2-1）x2-6（3a-1）x+72

由題設(shè)可知a≠±1

討論： 1、當(dāng)a2-1>0時(shí)，拋物線開口向上（圖2）

∵方程有一個(gè)正數(shù)根，一個(gè)負(fù)數(shù)根

∴a2-1>0f（0）<0 ？陴 a<-1 或a>172<0

無解

2、當(dāng)a2-1<0 時(shí)，拋物線開口向下（圖3）

∵方程有一個(gè)正數(shù)根，一個(gè)負(fù)數(shù)根

∴a2-1>0f（0）<0 ？陴 -10

-1

∴ 當(dāng)-1

例3 若方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0 有兩實(shí)根x1和x2，且滿足0< x1<1< x2<2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解：設(shè)f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2

∵ a=7>0 ∴拋物線開口向上（圖4）

又∵ 0

∴f（0）>0f（1）<0f（2）>0 ？陴 k<-1或k>2-23或k<3

k∈（-2，-1）∪（3，4）

∴當(dāng)k∈（-2，-1）∪（3，4）時(shí)，方程有兩實(shí)根x1和x2，且滿足0

以上三例說明，用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去解決上述這類問題，能把知識(shí)融會(huì)貫通，又能開闊解題思路，提高解題能力，使許多抽象的概念更加形象化、直觀化，從中找出它的規(guī)律。利用數(shù)形結(jié)合的基本思路和方法，把所學(xué)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合起來，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。