乘積型指數(shù)濾波器及其在多目標(biāo)時(shí)延估計(jì)中的應(yīng)用*

張 路a，季袁冬**

(四川大學(xué) a.數(shù)學(xué)學(xué)院;b.空天科學(xué)與工程學(xué)院，成都 610065)

1 引 言

時(shí)延估計(jì)在目標(biāo)定位、聲吶、雷達(dá)、地震學(xué)、通信系統(tǒng)同步和生物醫(yī)學(xué)工程等方面有著廣泛的應(yīng)用[1-3]。傳統(tǒng)的雷達(dá)系統(tǒng)通常采用經(jīng)典的保證最大輸出信噪比的匹配濾波器實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的時(shí)延參數(shù)估計(jì)[4-5]，但是在多目標(biāo)環(huán)境下，利用傳統(tǒng)的匹配濾波器的目標(biāo)時(shí)延分辨力較低。

目前，較常用的時(shí)延估計(jì)改進(jìn)算法主要有多重信號(hào)分類算法[6]和譜估計(jì)算法[7]，這兩類算法在低信噪比情況下容易產(chǎn)生大量的虛假目標(biāo)。而極大似然估計(jì)算法[8]可在高信噪比時(shí)逼近克拉美羅界，在低信噪比情況下也具有很好的性能，但其運(yùn)算涉及搜索算法，計(jì)算量較大從而很難直接應(yīng)用。在匹配濾波器的啟發(fā)下，文獻(xiàn)[9-10]構(gòu)造了一種具有可變指數(shù)的指數(shù)濾波器Ha，其指數(shù)a∈[-1,1]。匹配濾波器作為其指數(shù)a=1的特例，在具有單目標(biāo)最大輸出信噪比的同時(shí)具有最低的目標(biāo)分辨力。指數(shù)a<1的指數(shù)濾波器則可根據(jù)具體情況在充分保證輸出信噪比的情況下，產(chǎn)生高于匹配濾波器的目標(biāo)分辨力，從而實(shí)現(xiàn)更高的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度。但是，僅僅采用單個(gè)指數(shù)濾波器進(jìn)行多目標(biāo)時(shí)延估計(jì)時(shí)仍存在輸出信噪比和目標(biāo)時(shí)延分辨力均達(dá)不到實(shí)際需求的情況。

另一方面，針對(duì)多項(xiàng)式相位信號(hào)，文獻(xiàn)[11]提出了一種高階模糊函數(shù)對(duì)高階多項(xiàng)式相位信號(hào)進(jìn)行降級(jí)處理，從而實(shí)現(xiàn)了多項(xiàng)式相位信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。但是由于引入了非線性變換，高階模糊函數(shù)的參數(shù)估計(jì)性能會(huì)隨著輸入信噪比的降低而快速下降，同時(shí)，單個(gè)高階模糊函數(shù)在處理多分量多項(xiàng)式相位信號(hào)的輸出時(shí)會(huì)出現(xiàn)交叉項(xiàng)干擾引起的較高旁瓣[12]。針對(duì)此問題，文獻(xiàn)[13-14]又提出將不同階數(shù)的高階模糊函數(shù)相乘得到乘積型高階模糊函數(shù)或改進(jìn)的乘積型高階模糊函數(shù)，從而在弱化了交叉項(xiàng)的同時(shí)增強(qiáng)了自身，進(jìn)一步抑制了時(shí)延旁瓣。

在乘積型高階模糊函數(shù)乘積運(yùn)算的啟發(fā)下，本文在指數(shù)濾波器的基礎(chǔ)上，融合多個(gè)指數(shù)濾波器分別在輸出信噪比和目標(biāo)分辨力上的優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)造了一個(gè)新的多目標(biāo)參數(shù)估計(jì)濾波器——乘積型指數(shù)濾波器。該濾波器可以保證較高的單目標(biāo)輸出信噪比，還具有較單個(gè)指數(shù)濾波器更高的目標(biāo)時(shí)延分辨力。特別地，如果將乘積型指數(shù)濾波器中的一個(gè)指數(shù)濾波器取為匹配濾波器，那么該濾波器較之傳統(tǒng)的匹配濾波器具有更理想的多目標(biāo)時(shí)延估計(jì)精度，算法主要基于快速傅里葉變換和乘積運(yùn)算，因此易于實(shí)現(xiàn)。

2 信號(hào)模型與指數(shù)濾波器

設(shè)雷達(dá)發(fā)射的參考信號(hào)為r(t)，其Fourier變換為R(ω)(幅度|R(ω)|，相位φR(ω))，那么疊加有噪聲的K個(gè)靜止點(diǎn)目標(biāo)的接收信號(hào)可以表示為[3]

(1)

式中：ck和τk分別表示第k個(gè)目標(biāo)的散射系數(shù)和時(shí)延，n(t)是均值為零、方差為σ的高斯白噪聲。

雷達(dá)接收機(jī)通常采用一個(gè)頻率響應(yīng)為H(ω)的線性濾波器處理接收信號(hào)，為保證最優(yōu)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)性能，需要單目標(biāo)接收信號(hào)經(jīng)過線性濾波器的輸出信噪比[9]最大化，這通常是由經(jīng)典的匹配濾波器實(shí)現(xiàn)的[4]；另一方面，也需要輸出響應(yīng)的目標(biāo)分辨力常數(shù)最大化[9,15]。事實(shí)上，采用逆濾波器可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)分辨力常數(shù)最大化[9]，但是，逆濾波器的輸出信噪比較之匹配濾波器的輸出信噪比大大惡化[16]。在匹配濾波器和逆濾波器的啟發(fā)下，文獻(xiàn)[9]將雷達(dá)接收機(jī)線性濾波器的頻率響應(yīng)推廣到更一般的形式：

Ha(ω)=|R(ω)|ae-jφR(ω)，

(2)

得到指數(shù)為a的指數(shù)濾波器，a∈[-1,1]。指數(shù)濾波器的輸出響應(yīng)在τ=0處取到最大值，其輸出信噪比SNR(a)在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù)，目標(biāo)分辨力ISL(a)在區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù)。

3 乘積型指數(shù)濾波器及其性能分析

3.1 乘積型指數(shù)濾波器

從指數(shù)濾波器的性質(zhì)可以看到，單一的指數(shù)濾波器無法同時(shí)實(shí)現(xiàn)輸出信噪比和目標(biāo)分辨力的最優(yōu)化，如果能將多個(gè)指數(shù)濾波器進(jìn)行融合將有望實(shí)現(xiàn)比單一指數(shù)濾波器更優(yōu)的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能。事實(shí)上，借用乘積型高階模糊函數(shù)[13,17]的思想，本文將多個(gè)指數(shù)器并聯(lián)后再串聯(lián)一個(gè)乘法器從而得到乘積型指數(shù)濾波器，可以證明其輸出幅度平方仍然可以對(duì)多目標(biāo)接收信號(hào)實(shí)現(xiàn)時(shí)延估計(jì)，同時(shí)由于乘積運(yùn)算可在弱化旁瓣等雜項(xiàng)的同時(shí)增強(qiáng)自項(xiàng)，因此可進(jìn)一步提高分辨力抑制噪聲。

設(shè)有N個(gè)指數(shù)濾波器Hi,i=1,2,…,N,多目標(biāo)接收信號(hào)為x(t)，第i個(gè)指數(shù)濾波器的頻率響應(yīng)為Hi(ω)，對(duì)x(t)的輸出響應(yīng)為

(3)

式中：ri(t)是指數(shù)濾波器Hi對(duì)參考信號(hào)r(t)的輸出響應(yīng)，ni(t)是Hi對(duì)高斯白噪聲n(t)的輸出響應(yīng)。則乘積型指濾波器的輸出為

(4)

在本文中，將N取定為2。在單目標(biāo)情況下，兩個(gè)指數(shù)濾波器構(gòu)成的乘積型指數(shù)濾波器的輸出為

c1r2(t-τ1)n1(t)+c1r1(t-τ1)n2(t)+

n1(t)n2(t)。

(5)

若沒有噪聲存在，因?yàn)閨r1(t-τ1)|、|r2(t-τ1)|均在t=τ1處取得最大值，因此|Y(t)|也在t=τ1處取得最大值，因此最終可以通過對(duì)乘積型指數(shù)濾波器輸出的模進(jìn)行極大值搜索來實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)時(shí)延參數(shù)的估計(jì)。

3.2 乘積型指數(shù)濾波器性能分析

首先假設(shè)指數(shù)分別為a1和a2的指數(shù)濾波器分別對(duì)參考信號(hào)r(t)的響應(yīng)為r1(t)和r2(t)，這兩個(gè)指數(shù)濾波器構(gòu)成的乘積型指數(shù)濾波器對(duì)參考信號(hào)r(t)的響應(yīng)為Y(t)=r1(t)r2(t)。由于|r1(t)|和|r2(t)|均在t=0處取得最大值，則|Y(t)|=|r1(t)||r2(t)|也將在t=0處取得最大值，類似地，它的目標(biāo)時(shí)延分辨力可以定義為

(6)

由于

(7)

因此，ISL12>ISL(a1)，同理得ISL12>ISL(a2)。可見乘積型指數(shù)濾波器的目標(biāo)分辨力高于單個(gè)指數(shù)濾波器的目標(biāo)分辨力。圖1給出了當(dāng)參考信號(hào)為一段相位編碼信號(hào)時(shí)，匹配濾波器、指數(shù)為0的指數(shù)濾波器以及相應(yīng)的乘積型指數(shù)濾波器對(duì)此參考信號(hào)的輸出響應(yīng)的歸一化模。其中，相位編碼采用13位巴克碼[1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1]，采樣間隔Δt=10-2μs，采樣時(shí)長(zhǎng)T=2 000Δt。從圖1可以看到，乘積型指數(shù)濾波器具有更尖銳的主峰和更低的旁瓣。

(a)匹配濾波器

(b)指數(shù)為0的指數(shù)濾波器

(c)乘積型指數(shù)濾波器圖1 三種濾波器輸出響應(yīng)的歸一化模Fig.1 Normalized modules for the output response of the three filters

在噪聲存在的情況下，指數(shù)分別為a1和a2的指數(shù)濾波器分別對(duì)接收信號(hào)s(t)=r(t)+n(t)的響應(yīng)為yn1(t)=r1(t)+n1(t)和yn2(t)=r2(t)+n2(t)，這兩個(gè)指數(shù)濾波器構(gòu)成的乘積型指數(shù)濾波器對(duì)參考信號(hào)s(t)的響應(yīng)為Yn(t)，則有

Yn(t)=yn1(t)yn2(t)=r1(t)r2(t)+r2(t)n1(t)+

r1(t)n2(t)+n1(t)n2(t) 。

(8)

因此，在乘積型指數(shù)濾波器的輸出Yn(t)中，信號(hào)為Y(t)=r1(t)r2(t)，噪聲為

N(t)=r2(t)n1(t)+r1(t)n2(t)+n1(t)n2(t) 。

(9)

于是輸出信噪比可定義為

(10)

當(dāng)參考信號(hào)設(shè)置為圖1中的相位編碼信號(hào)時(shí)，圖2利用數(shù)值仿真給出了單個(gè)指數(shù)濾波器輸出信噪比和乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比的比較結(jié)果。圖2(a)給出了當(dāng)輸入信噪比在-10～10 dB之間變化時(shí)，匹配濾波器、指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器以及由匹配濾波器和該指數(shù)濾波器得到的乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比隨著輸入信噪比變化的曲線圖，可以看到，指數(shù)濾波器的輸出信噪比較匹配濾波器低8 dB,而乘積型指數(shù)濾波器較匹配濾波器的輸出信噪比則有7.5 dB左右的提高。圖2(b)給出了輸入信噪比固定為0 dB時(shí)，匹配濾波器、指數(shù)為a的指數(shù)濾波器以及相應(yīng)的乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比隨著指數(shù)a變化的曲線圖，可以看到，匹配濾波器的輸出信噪比為10 dB;指數(shù)濾波器的輸出信噪比隨著指數(shù)a的增加而不斷增加并逐漸平緩地趨于匹配濾波器(a=1)輸出信噪比，這和前面給出結(jié)論一致；相應(yīng)地，乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比在指數(shù)a較小時(shí)低于匹配濾波器輸出信噪比；隨著指數(shù)的不斷增加，乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比逐漸增加，當(dāng)a>-0.1時(shí)，則超過了匹配濾波器的輸出信噪比。

(a)三種濾波器輸出信噪比

(b)指數(shù)濾波器輸出信噪比隨指數(shù)變化的曲線圖2 輸出信噪比比較Fig.2 Comparison of output SNR

從上面的討論可以看到，乘積型指數(shù)濾波器具有比單個(gè)指數(shù)濾波器更優(yōu)的輸出信噪比和目標(biāo)時(shí)延分辨力，但是在多目標(biāo)情況下由于乘法運(yùn)算將不可避免地引入交叉項(xiàng)，比如，本文考慮具有兩個(gè)目標(biāo)的帶噪聲回波信號(hào)s(t)=c1r(t-τ1)+c2r(t-τ2)+n(t)，指數(shù)分別為a1和a2的指數(shù)濾波器分別對(duì)接收信號(hào)s(t)的響應(yīng)為yn1(t)=c1r1(t-τ1)+c2r1(t-τ2)+n1(t)和yn2(t)=c1r2(t-τ1)+c2r2(t-τ2)+n2(t)，這兩個(gè)指數(shù)濾波器構(gòu)成的乘積型指數(shù)濾波器對(duì)參考信號(hào)s(t)的響應(yīng)為Yn(t)，則有

Yn(t)=yn1(t)yn2(t)=

|c1|r1(t-τ1)r2(t-τ1)+|c2|2r1(t-τ2)r2(t-τ2)+

c1c2[r1(t-τ2)r2(t-τ1)+r1(t-τ1)r2(t-τ2)]+

[c1r2(t-τ1)+c2r2(t-τ2)]n1(t)+

[c1r1(t-τ1)+c2r1(t-τ2)]n2(t)+n1(t)n2(t)。

(11)

可見乘積型指數(shù)濾波器的輸出引入了交叉項(xiàng)c1c2[r1(t-τ2)r2(t-τ1)+r1(t-τ1)r2(t-τ2)]，由于這一項(xiàng)的存在可能導(dǎo)致輸出旁瓣的增加或主瓣的展寬，因此乘積型指數(shù)濾波器的性能不能簡(jiǎn)單地看成優(yōu)于單個(gè)指數(shù)濾波器，它應(yīng)該是一般指數(shù)濾波器和匹配濾波器的折中處理器，在一定信噪比情況下會(huì)實(shí)現(xiàn)比單個(gè)指數(shù)濾波器以及匹配濾波器更優(yōu)的參數(shù)估計(jì)性能。

4 多目標(biāo)時(shí)延估計(jì)算法

結(jié)合前面的分析推導(dǎo)，下面給出基于乘積型指數(shù)濾波器的多目標(biāo)時(shí)延估計(jì)算法的具體步驟：

Step1 將接收信號(hào)輸入匹配濾波器和指數(shù)為a的指數(shù)濾波器中，得到輸出信號(hào)。

Step2 將指數(shù)濾波器和匹配濾波器的輸出輸入乘法器，得到乘積型指數(shù)階濾波器的輸出。

Step3 對(duì)乘積型指數(shù)階濾波器輸出的模進(jìn)行極大值搜索，依次得到各個(gè)目標(biāo)的時(shí)延估計(jì)量。

5 仿真結(jié)果及分析

5.1 仿真實(shí)驗(yàn)1

下面的仿真實(shí)驗(yàn)中，選定圖1中的相位編碼信號(hào)作為參考信號(hào)，利用匹配濾波器和指數(shù)為a的指數(shù)濾波器構(gòu)成乘積型指數(shù)濾波器來實(shí)現(xiàn)具有兩個(gè)目標(biāo)的帶噪聲回波信號(hào)的時(shí)延參數(shù)估計(jì)，并將其結(jié)果與傳統(tǒng)的匹配濾波器以及單個(gè)的指數(shù)濾波器進(jìn)行比較。其中，一強(qiáng)一弱兩個(gè)相鄰目標(biāo)的時(shí)延參數(shù)分別為τ1=100、τ2=117，單位為采樣間隔Δt=10-2μs,散射系數(shù)分別為c1=1、c2=0.88，輸入信噪比0 dB。圖3給出了匹配濾波器、指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器以及相應(yīng)的乘積型指數(shù)濾波器對(duì)此接收信號(hào)的響應(yīng)的歸一化模，可以看到，匹配濾波器只檢測(cè)到了最大的目標(biāo)，而指數(shù)濾波器檢測(cè)到了兩個(gè)目標(biāo)，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)時(shí)延估計(jì)誤差分別為1、0(單位同上)；乘積型指數(shù)濾波器也檢測(cè)到了兩個(gè)目標(biāo)，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)時(shí)延估計(jì)誤差分別為1、0。

(a)匹配濾波器

(b)指數(shù)a=0的指數(shù)濾波器

(c)乘積型指數(shù)濾波器圖3 參考信號(hào)為相位編碼信號(hào)時(shí)三種濾波器對(duì)兩目標(biāo)接收信號(hào)輸出響應(yīng)的歸一化模Fig.3 Normalized modules for the output response of the three filters when the reference signal is a phase coded signal

讓輸入信噪比在[-10,10] dB內(nèi)變化，圖4給出了三種濾波器對(duì)最大目標(biāo)時(shí)延估計(jì)的均方差誤差隨著輸入信噪比變化的曲線圖，其中數(shù)值仿真平均次數(shù)為5 000次?？梢钥吹?，在低信噪比區(qū)域([-10,-2] dB)，具有最大輸出信噪比的匹配濾波器有最低的估計(jì)誤差；隨著信噪比的增加，在中等信噪比區(qū)域([-2,5] dB)，乘積型指數(shù)濾波器具有最低的估計(jì)誤差，這是因?yàn)槌朔e型指數(shù)濾波器較之指數(shù)濾波器有更高的輸出信噪比，較之匹配濾波器有更高的分辨力，但是由于乘積型指數(shù)濾波器交叉項(xiàng)的存在導(dǎo)致其在高信噪比區(qū)域([5,10] dB)的估計(jì)誤差高于指數(shù)濾波器。由此可見，乘積型指數(shù)濾波器作為匹配濾波器和指數(shù)小于1的指數(shù)濾波器的折中濾波器，在中等信噪比區(qū)域有最低的時(shí)延估計(jì)誤差。

圖4 參考信號(hào)為相位編碼信號(hào)時(shí)三種濾波器時(shí)延估計(jì)均方差誤差(指數(shù)a=0)Fig.4 Mean variance errors of delays of the three filters(a=0) when the reference signal is a phase coded signal

5.2 仿真實(shí)驗(yàn)2

下面的仿真實(shí)驗(yàn)中，選定一段FM調(diào)頻廣播信號(hào)(帶寬5 kHz，采樣間隔Δt=10-5s，采樣時(shí)長(zhǎng)T=2 000Δt)，利用匹配濾波器和指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器構(gòu)成乘積型指數(shù)濾波器來實(shí)現(xiàn)具有兩個(gè)目標(biāo)的帶噪聲回波信號(hào)的時(shí)延參數(shù)估計(jì)，并將其結(jié)果與傳統(tǒng)的匹配濾波器以及單個(gè)的指數(shù)濾波器進(jìn)行比較。其中，一強(qiáng)一弱兩個(gè)相鄰兩個(gè)目標(biāo)的時(shí)延參數(shù)設(shè)置為τ1=100、τ2=105，單位為采樣間隔Δt=10-5s，散射系數(shù)分別為c1=1、c2=0.9，輸入信噪比-5 dB。圖5分別給出了匹配濾波器、指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器以及相應(yīng)的乘積型指數(shù)濾波器對(duì)此接收信號(hào)的響應(yīng)的歸一化模?？梢钥吹?，匹配濾波器只檢測(cè)到了最大的目標(biāo)，而指數(shù)濾波器檢測(cè)到了兩個(gè)目標(biāo)，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)時(shí)延估計(jì)誤差分別為0、0(單位同上)；乘積型指數(shù)濾波器也檢測(cè)到了兩個(gè)目標(biāo)，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)時(shí)延估計(jì)誤差分別為0、0。

(a)匹配濾波器

(b)指數(shù)為a=0的指數(shù)濾波器

(c)乘積型指數(shù)濾波器圖5 參考信號(hào)為調(diào)頻廣播信號(hào)時(shí)三種濾波器輸出響應(yīng)的歸一化模Fig.5 Normalized modules for the output response of the three filters when the reference signal is an FM broadcast signal

讓輸入信噪比在[-20,10] dB內(nèi)變化，圖6給出了三種濾波器對(duì)最大目標(biāo)時(shí)延估計(jì)的均方差誤差隨著輸入信噪比變化的曲線圖，其中數(shù)值仿真平均次數(shù)為5 000次。圖中，指數(shù)濾波器和乘積型指數(shù)濾波器的估計(jì)誤差曲線的突然中止表示估計(jì)誤差減小為0，而取對(duì)數(shù)結(jié)果為負(fù)無窮所以無法顯示。從圖6可以看到，當(dāng)輸入信噪比小于-15 dB時(shí)，具有最大輸出信噪比的匹配濾波器有最低的估計(jì)誤差；隨著信噪比的增加，當(dāng)輸入信噪比大于-15 dB時(shí)，乘積型指數(shù)濾波器具有最低的估計(jì)誤差。

圖6 參考信號(hào)為調(diào)頻廣播信號(hào)時(shí)三種濾波器時(shí)延估計(jì)均方差誤差(指數(shù)a=0)Fig.6 Mean variance errors of delays of the three filters(a=0) when the reference signal is an FM broadcast signal

6 結(jié)束語

本文研究了多目標(biāo)情況下的目標(biāo)時(shí)延估計(jì)問題。指數(shù)濾波器是一類新構(gòu)造的輸出信噪比和目標(biāo)時(shí)延分辨力隨指數(shù)變化的濾波器，在損失一定輸出信噪比的前提下可有效提高目標(biāo)時(shí)延分辨力，從而提高目標(biāo)時(shí)延估計(jì)精度，但研究表明僅采用單個(gè)指數(shù)濾波器仍存在輸出信噪比和目標(biāo)時(shí)延分辨力達(dá)不到實(shí)際需求的情況。

本文在乘積型高階模糊函數(shù)乘積運(yùn)算的啟發(fā)下,通過乘積運(yùn)算融合多個(gè)指數(shù)濾波器分別在輸出信噪比和目標(biāo)分辨力上的優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)造了一個(gè)新的多目標(biāo)時(shí)延估計(jì)濾波器——乘積型指數(shù)濾波器，并進(jìn)一步研究了乘積型指數(shù)濾波器的輸出信噪比和時(shí)延分辨力等性能。和指數(shù)濾波器不同的是,乘積型指數(shù)濾波器在保證較高單目標(biāo)輸出信噪比的同時(shí)也具有較單個(gè)指數(shù)濾波器更高的目標(biāo)時(shí)延分辨力。特別地，如果濾波器中的一個(gè)指數(shù)濾波器取為匹配濾波器，那么該濾波器較之傳統(tǒng)匹配濾波器具有更理想的多目標(biāo)時(shí)延估計(jì)精度，并且算法易于實(shí)現(xiàn)，可用于實(shí)時(shí)性要求嚴(yán)苛的多目標(biāo)參數(shù)估計(jì)任務(wù)。仿真表明，當(dāng)參考信號(hào)為相位編碼信號(hào)，對(duì)于中等輸入信噪比,乘積型指數(shù)濾波器較之單一的指數(shù)濾波器和匹配濾波器有更低的時(shí)延估計(jì)誤差；當(dāng)參考信號(hào)為FM調(diào)頻廣播信號(hào)時(shí)，對(duì)于大于-15 dB的輸入信噪比，乘積型指數(shù)濾波器具有更低的時(shí)延估計(jì)誤差。為達(dá)到更高的目標(biāo)時(shí)延估計(jì)精度，下一步的研究可考慮結(jié)合CLEAN技術(shù)和乘積型指數(shù)濾波器來實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)時(shí)延的逐次估計(jì)。

：

[1] GU Y,GOODMAN N A. Information-theoretic compressive sensing kernel optimization and Bayesian Cramér-Rao bound for time delay estimation[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2017,65(17):4525-4537.

[2] SUN M,PINEL N,WANG Y,et al.Estimation of time delay and interface roughness by GPR using modified MUSIC[J].Signal Processing,2016,132(C):272-283.

[3] 江雪,劉源源,雷維嘉，等. 低信噪比下互相關(guān)時(shí)延估計(jì)器的FPGA實(shí)現(xiàn)[J].電訊技術(shù),2014,54(7),951-957.

JIANG Xue,LIU Yuanyuan,LEI Weijia,et al.FPGA realization of cross-correlation time delay estimator under low SNR[J].Telecommunication Engineering,2014,54(7):951-957.(in Chinese)

[4] RICHARDS M .雷達(dá)信號(hào)處理基礎(chǔ)[M].邢孟道，王彤，李真芳，等，譯.2版.北京：電子工業(yè)出版社，2017.

[5] VAN H L. Detection,estimation,and modulation theory:radar-sonar signal processing and Gaussian signals in noise[M].New Jersey:John Wiley & Sons,Inc.,2002.

[6] LI X,MA X,YAN S,et al.Super-resolution time delay estimation for narrowband signal[J].IET Radar Sonar and Navigation,2012,6(8):781-787.

[7] 邱天爽,王宏禹. 一種基于最大熵譜估計(jì)的高時(shí)延分辨力時(shí)間延遲估計(jì)方法[J].電子科學(xué)學(xué)刊,1997,19(2):269-273.

QIU Tianshuang,WANG Hongyu. A high resolution time delay estimation based on the maximum entropy power spectrum estimation[J].Journal of Electronics,1997,19(2):269-273.(in Chinese)

[8] 巴斌,鄭娜娥,朱世磊，等. 利用蒙特卡羅的最大似然時(shí)延估計(jì)算法[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2015,49(8):24-30.

BA Bin,ZHENG Na′e,ZHU Shilei,et al.A maximum likelihood time delay estimation algorithm using Monte Carlo method[J].Journal of Xi′an Jiaotong University,2015,49(8):24-30.(in Chinese)

[9] ZHANG L,DENG K,WANG H Q,et al.Exponential filter based delay estimation algorithm for active systems in the presence of multi-targets[J].IET Radar,Sonar and Navigation,2013,7(3):287-294.

[10] ZHANG L,DENG K,WANG H Q,et al.Time-delay estimation of multiple targets with wavelet based phase-only matched filter[J].International Journal of Electronics,2014,101(7):963-975.

[11] PORAT B,FRIEDLANDER B.Asymptotic statistical analysis of the high order ambiguity function for parameter estimation of polynomial-phase signals[J].IEEE Transactions on Information Theory,1996,42(3):995-1001.

[12] 李琳.低信噪比多項(xiàng)式相位信號(hào)的檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)[D].重慶:重慶大學(xué),2015.

LI Lin. Detection and parameter estimation of polynomial phase signal in low SNR[D].Chongqing:Chongqing University,2015.(in Chinese)

[13] BARBAROSSA S,SCAGLIONE A,GIANNAKIS G B. Product high-order ambiguity function for multi-component polynomial-phase signal modeling[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1998,46(3):691-708.

[14] WANG Y,ABDELKADER A C,ZHAO B,et al.Imaging of high-speed manoeuvering target via improved version of product high-order ambiguity function[J].IET Signal Processing,2016,10(4):385-394.

[15] NUNN C J,COXSON G E. Poly phase pulse compression codes with optimal peak and integrated sidelobes[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2009,45,(2):775-781.

[16] NITZBEGE R. Radar signal processing and adaptive systems[M].Boston:Artech House Press,1999.

[17] SCAGLIONE A,BARBAROSSA S. On the spectral properties of polynomial-phase signals[J].IEEE Signal Processing Letters,2016,5(9):237-240.