斜拉橋的多重內(nèi)共振及其耦合過程研究

孫測世，趙珧冰，康厚軍，趙躍宇

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 重慶 400074； 2.華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院, 福建 廈門 361021；3.湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院, 長沙 410082)

工程柔性結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)一直是研究的重點(diǎn)熱點(diǎn)問題[1-3]。索、索-梁結(jié)構(gòu)和斜拉橋是其中的典型代表，具有豐富的非線性動力學(xué)特性[4]，由此誘發(fā)的拉索大幅振動問題也已備受關(guān)注[5-6]。國內(nèi)外學(xué)者從力學(xué)建模、有限元分析和實(shí)驗(yàn)研究多方面展開了大量研究[7-8]。目前，對斜拉索的研究較多[9-10]，而單獨(dú)研究斜拉索無法考慮其與主梁或主塔間的耦合作用。因此，近年來也有許多學(xué)者研究索-梁結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)。Xia等[11]研究了隨機(jī)振動下索-梁結(jié)構(gòu)的自激振動。Gattulli等[12-13]采用有限元、實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析研究了索-梁結(jié)構(gòu)全局-局部模態(tài)的1∶2內(nèi)共振。陳水生等[14]建立了考慮拉索與橋面耦合振動的非線性參數(shù)振動模型。趙躍宇等[15]也對索-梁結(jié)構(gòu)內(nèi)共振做了大量研究。王濤等[16]以有限元法研究了索梁耦合振動。Fung等[17]研究了時變斜拉索索力下索-梁結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。Wei等[18]研究了索-梁結(jié)構(gòu)的主參數(shù)共振、亞諧波共振等效應(yīng)。實(shí)際結(jié)構(gòu)往往具有多根拉索，因此，需建立更為復(fù)雜的動力學(xué)模型。Kang等[19]建立了雙索單梁斜拉橋的模型。Song等[20-21]研究了具有4根拉索的雙塔三跨式斜拉橋建模及渦激振動特性。Konstantakopoulos和Michaltsos建立了一座較簡單的斜拉索懸索協(xié)作體系橋的非線性動力學(xué)模型[22]。盡管如此，對于擁有數(shù)十根甚至上百根拉索的斜拉橋的非線性動力學(xué)建模、求解等仍存在諸多困難。因此，對斜拉橋非線性動力學(xué)行為的研究主要是利用有限元進(jìn)行模態(tài)分析得到各振動模態(tài)；然后根據(jù)頻率間的倍數(shù)關(guān)系確定可能的非線性耦合振動；再結(jié)合現(xiàn)場或?qū)嶒?yàn)測試識別模態(tài)，從而研究索-梁-塔非線性耦合振動[23]。El Ouni[24]通過模型實(shí)驗(yàn)研究了雙懸臂狀態(tài)下的斜拉橋參數(shù)振動與控制。Caetano等[25-26]制作了Jindo橋縮尺模型，分析了各階局部模態(tài)、全局模態(tài)和混合模態(tài)，并通過振動臺實(shí)驗(yàn)觀察到了索-梁-塔非線性耦合振動。之后，Caetano等[27]又對Guadiana橋進(jìn)行現(xiàn)場測試，觀測到不同模態(tài)間的內(nèi)共振及斜拉索“拍振”。Wu等[28]對Megami橋的非線性耦合振動進(jìn)行了測試。

以上研究雖不同程度的觀測到了索-梁-塔非線性耦合振動，但斜拉橋模態(tài)頻率分布密集，結(jié)構(gòu)(特別是拉索)動力響應(yīng)通常是多種模態(tài)間的多重內(nèi)共振的結(jié)果。多模態(tài)究竟如何相互耦合，如何由一種模態(tài)激發(fā)其它模態(tài)，僅僅憑借頻率間的倍數(shù)關(guān)系去研究顯然是不夠的。因此，有必要研究各模態(tài)的相互耦合過程。筆者曾開展了具有44根拉索的斜拉橋模型實(shí)驗(yàn)[29]，在模型的主梁跨中處施加激勵，觀測到多重內(nèi)共振及其導(dǎo)致的全橋大幅振動；發(fā)現(xiàn)當(dāng)外激勵頻率約為長索固有頻率2倍時，該單頻激勵能同時激發(fā)拉索兩個相近的響應(yīng)頻率(“拍振”)，且兩者之和恰好等于激勵頻率。然而，對于以上現(xiàn)象，雖竭力思索仍未曾有合理解釋。鑒于此，本文在文獻(xiàn)[29]的基礎(chǔ)上開展進(jìn)一步研究。通過無相移濾波分離的振動信號和整體振動曲線研究了多模態(tài)耦合過程，揭示了該現(xiàn)象的機(jī)理。研究表明：該振動現(xiàn)象是斜拉橋多重內(nèi)共振及其模態(tài)相互作用的表現(xiàn)，是強(qiáng)迫振動、局部-混合模態(tài)耦合振動和組合內(nèi)共振共同存在的結(jié)果。本文是經(jīng)進(jìn)一步研究后的重新認(rèn)識，是對文獻(xiàn)[29]的補(bǔ)充和完善。

1 實(shí)驗(yàn)方案

1.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本實(shí)驗(yàn)的原型基于象山港大橋，大橋主橋?yàn)橹骺?88 m的半漂浮體系斜拉橋。斜拉索采用7 mm直徑高強(qiáng)度、低松馳鍍鋅平行鋼絲拉索，梁上標(biāo)準(zhǔn)索距15 m?？估瓘?qiáng)度為1 670 MPa，全橋共4×22×2=176根斜拉索。主梁為扁平流線形封閉鋼箱梁，梁高3.5 m(橋梁中心線內(nèi)輪廓)，其上翼緣為橋面板，采用正交異性板結(jié)構(gòu)。主梁鋼箱梁鋼板采用Q345D鋼。含風(fēng)嘴全寬34.0 m，不含風(fēng)嘴頂板寬26.4 m。主塔為鉆石型塔，高225.5 m，采用C50混凝土。根據(jù)存放模型的房間大小，采用縮尺比1∶250進(jìn)行設(shè)計(jì)。因縮尺后構(gòu)件尺寸和間距太小，制作加工很困難，配重和斜拉索位置也有沖突。不得不做出適當(dāng)調(diào)整：不考慮主梁扭轉(zhuǎn)振動，將雙索面改為單索面，再將原立面布置的斜拉索兩兩合并，減少斜拉索根數(shù)，然后重新調(diào)整索力，調(diào)整原則為：保證結(jié)構(gòu)靜態(tài)構(gòu)型和原設(shè)計(jì)一致。調(diào)整后的斜拉索主要參數(shù)見表1(僅示出一岸，另一岸與之對稱)。

表1 斜拉索參數(shù)表Tab.1 Parameters of stay cables

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ涂鐝讲贾脼?1 375 + 2 750+ 1 375) mm，主梁采用(100×5) mm矩形鋁合金板，保證抗彎剛度滿足相似關(guān)系，忽略軸向剛度相似關(guān)系。每個主塔均采用兩根(38×25×0.8) mm矩形鋁合金管分立于主梁兩側(cè)，也保證抗彎剛度滿足相似關(guān)系。模型與原型參數(shù)的相似關(guān)系見表2。斜拉索采用?0.5 mm不銹鋼絲繩，在跨中和L/4截面處布置2片相互垂直的(25×10×0.2) mm薄鋁片作為面內(nèi)和面外振動的測點(diǎn)。斜拉索上設(shè)置?10×16 mm圓柱體鐵質(zhì)配重，利用配重間距調(diào)整拉索單位長度重量。為便于配重安裝，同時保證配重重心和斜拉索重心重合，以減小重心偏離對拉索振動的影響，采用線切割沿直徑方向割開寬0.5 mm，深5.3 mm槽口。全橋共44根斜拉索，其主梁和主塔上標(biāo)準(zhǔn)間距分別為120 mm和30 mm。本橋?yàn)榘肫◇w系，主梁和主塔連接處設(shè)置圓鋼，并涂抹潤滑油以釋放主梁縱向約束。為保證精度，所有構(gòu)件均采用精加工制作。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驼w布置和斜拉索編號見圖1。

表2 模型相似參數(shù)匯總Tab.2 Summary of model similarity parameters

圖1 斜拉橋?qū)嶒?yàn)?zāi)Ｐ?(mm)Fig.1 Experimental model of cable-stayed bridge (mm)

1.2 測點(diǎn)布置

各測點(diǎn)布置如下：在中跨和邊跨的各個L/4及L/2截面設(shè)置差動變位式位移傳感器(LVDT)觀測豎向位移；在主梁端部布置LVDT觀測主梁的縱向漂移振動；在主塔塔頂處布置LVDT記錄其水平向振動位移；斜拉索振動是重點(diǎn)觀測對象，選取具有代表性的長索進(jìn)行研究，在索A11跨中截面布置激光位移傳感器觀測面內(nèi)振動；在索J11跨中和下L/4截面均布置激光位移傳感器觀測面內(nèi)振動。在主梁跨中截面下方放置激振器激勵梁體，在上方設(shè)置高精度電渦流傳感器同步記錄激勵信號。全橋測點(diǎn)布置和編號見圖2，圖中數(shù)字為傳感器的編號(后文以“Sensorx”表示編號為“x”的傳感器)，箭頭表示該傳感器測試的振動方向。

圖2 測點(diǎn)布置圖Fig.2 Layout of measurement points

2 基本動力特性

斜拉索實(shí)測頻率見表3。表中部分短索因振動模態(tài)較難被激發(fā)以及周圍干擾影響過大未測得具體頻率值。

對斜拉橋模型進(jìn)行模態(tài)識別，得到5階整體振動頻率及阻尼比；同時，采用有限元對比(見表4)。除部分模態(tài)沒有識別到外，有限元結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值較為接近。

表3 斜拉索頻率匯總表Tab.3 Frequencies of stay cables

表4 整體振動頻率及阻尼比Tab.4 Frequencies and damping ratios of global vibration

3 索-梁-塔非線性耦合振動及其過程

3.1 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

當(dāng)激勵頻率f1=10.25 Hz時觀察到主梁、主塔和斜拉索均出現(xiàn)大幅振動。由表3可知，該激勵頻率約為最長索(A11、J11、A11’和J11’)固有頻率的2倍。各通道時程曲線及頻譜圖見圖3。由于時程曲線類似，本文僅示出全橋一半測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，圖中縱坐標(biāo)傳感器編號及其測試振動的方向見圖2?？梢钥吹浇Y(jié)構(gòu)振動經(jīng)歷了三個階段：①在5～20 s時(激振器在第5 s時啟動)，所有構(gòu)件振動均非常??；②約第20 s后，結(jié)構(gòu)振幅開始急劇增大，并在隨后的25 s時間內(nèi)增大幾倍甚至幾十倍；③約第45 s后各測點(diǎn)振動均處于大幅穩(wěn)態(tài)振動。由圖3(a)可知，全過程中激勵幅值基本保持不變，這說明結(jié)構(gòu)后期的大幅振動蘊(yùn)含著強(qiáng)烈的內(nèi)共振。

由圖3(b)和(c)可知，斜拉索A11和J11的響應(yīng)頻率組成中幾乎沒有激勵頻率f1，而是出現(xiàn)了兩個相近的頻率f2=4.662 Hz和f3=5.585 Hz，即：一個激勵頻率激發(fā)出兩個響應(yīng)頻率。值得一提的是，三者間正好存在關(guān)系：f2+f3=f1(FFT分析存在一定誤差)。從形式上看，這與主共振、亞/超諧波共振、組合共振和聯(lián)合共振不同[30]。三者的關(guān)系類似于組合共振，不同的是組合共振是兩個外激勵頻率的線性組合等于結(jié)構(gòu)的一個響應(yīng)頻率，而該共振是結(jié)構(gòu)的兩個響應(yīng)頻率之和等于一個外激勵頻率。

由圖3(d)～圖3(i)可知，主梁豎向振動響應(yīng)頻率主要組成是f1和f2，而f3的貢獻(xiàn)很小。主梁縱向漂浮振動幅值較小，僅約為豎向的1/5，且其存在多個主頻。主塔振幅比主梁稍小，其主頻僅為f2。

圖3 振動時程曲線及頻譜圖Fig.3 Vibration time histories and their spectrums

3.2 分段分析

為進(jìn)一步探究該共振發(fā)生和變化的過程，對主梁跨中豎向(激勵處)、斜拉索J11跨中面內(nèi)和邊跨跨中豎向振動的時程曲線局部放大。取振動開始的前幾秒和穩(wěn)態(tài)振動的后幾秒繪制局部時程曲線及頻譜圖見圖4，圖中縱坐標(biāo)傳感器編號及其測試振動的方向見圖2。需要說明的是，圖3和圖4中的頻譜圖在做FFT分析的時候數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不一樣，故得到的頻率值存在一定誤差。可以看到：振動初期主梁、主塔和斜拉索振動均很小，且此時激勵及主梁振動均為小幅單模態(tài)振動。之后，主梁、主塔和長索的振幅均迅速增大，出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)的“拍振”。由頻譜圖可知：激勵頻率在振動剛開始時僅有10.243 Hz這一成分(對應(yīng)圖3中的10.25 Hz)，但后期穩(wěn)態(tài)振動又出現(xiàn)2個較小的頻率成分。斜拉索J11在振動初期的主頻率為10.243 Hz，并伴隨有2個其它頻率成分，而后期穩(wěn)態(tài)振動時10.243 Hz主頻幾乎消失，并激發(fā)出4.659 Hz和5.579 Hz兩個主頻。邊跨跨中振動起初也僅有與激勵頻率相同的成分，之后激發(fā)出4.659 Hz的成分并占據(jù)主導(dǎo)。

事實(shí)上，數(shù)據(jù)采集過程中也實(shí)時觀察到了各通道頻率的變化情況：主梁和主塔剛開始僅有頻率f1=10.25 Hz，之后逐漸出現(xiàn)f2=4.662 Hz的頻率成分，且對應(yīng)幅值也逐漸增大。斜拉索起初僅有f1=10.25 Hz的頻率成分，之后同時出現(xiàn)f2=4.662 Hz和f3=5.585 Hz兩個頻率成分并逐漸增大占絕對主導(dǎo)。

圖4 時程曲線局部放大及頻譜圖Fig.4 Enlarged time histories and their spectrums

3.3 分離的振動信號與斜拉橋整體振動曲線

本實(shí)驗(yàn)斜拉橋僅在主梁跨中承受頻率為10.25 Hz的單頻激勵，而斜拉索穩(wěn)態(tài)響應(yīng)竟出現(xiàn)4.662 Hz和5.585 Hz兩種主頻的“拍振”，且三者不是倍數(shù)關(guān)系，而是f2+f3=f1。

為進(jìn)一步研究非線性耦合振動發(fā)生的過程，將各通道的實(shí)測振動信號進(jìn)行無相移濾波，分別分離出4.662 Hz、5.585 Hz和10.25 Hz附近頻率成分，得到各頻率對應(yīng)的振動時程曲線與頻譜圖見圖5，圖中縱坐標(biāo)傳感器編號及其測試振動的方向見圖2。限于篇幅，僅給出中跨跨中(激勵處)、J11跨中面內(nèi)振動、邊跨跨中豎向振動和1#主塔塔頂水平向振動的圖像。同時，利用分離后的數(shù)據(jù)，繪制主梁和主塔各測點(diǎn)在4.662 Hz、5.585 Hz和10.25 Hz主頻下的斜拉橋整體振動曲線如圖6。圖6中選取了振動初期(第20 s)和振動達(dá)到穩(wěn)態(tài)大幅振動時(第60.02 s)兩種狀態(tài)進(jìn)行對比。

由圖5(d)～圖5(f)可知：4.662 Hz和5.585 Hz是斜拉索J11的主導(dǎo)頻率，但兩者是由其它振動激發(fā)的。由圖5(j)～圖5(l)也可知：主塔振動以4.662 Hz為主導(dǎo)頻率，但其也是由其它振動激發(fā)的。結(jié)合圖4～圖6可知：振動初期，在10.25 Hz激勵的直接作用下，主梁僅發(fā)生頻率為10.25 Hz的振動，且主塔和斜拉索振動均很微小，是一種主梁的局部振動。從圖6的振動曲線可知，10.25 Hz的振動為主梁一階對稱彎曲振動。

隨著時間的推移，主梁一階對稱彎曲振動逐漸激發(fā)出主梁的4.662 Hz振動(圖5(g))，這可以從圖5(g)和圖5(i)振幅變化得到印證。不僅如此，該局部振動還同時激發(fā)出主塔和斜拉索4.662 Hz振動，從而出現(xiàn)全橋性大幅振動。圖6振動曲線表明該4.662 Hz頻率對應(yīng)的振動形式為一階反對稱彎曲振動，是一種混合模態(tài)(如圖3(c))。根據(jù)模態(tài)測試結(jié)果(表1)，一階反對稱彎曲振動頻率為4.77 Hz，兩者之比為0.977。這說明處于非線性大幅振動的斜拉橋其非線性模態(tài)頻率將小于線性模態(tài)頻率。這與文獻(xiàn)[27]對Guadiana大橋現(xiàn)場測試的結(jié)果一致。

以上分析可知：雖然斜拉橋整體結(jié)構(gòu)僅承受來自跨中的單頻外激勵(10.25 Hz)，但是，其內(nèi)共振使結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了新的頻率(4.662 Hz)，故而，此時斜拉索承受著多種頻率的端部激勵。斜拉索J11在主梁一階對稱彎曲振動(10.25 Hz)和全橋一階反對稱彎曲振動(4.662 Hz)兩種端部激勵共同作用下，發(fā)生組合內(nèi)共振，激發(fā)出5.585 Hz的頻率。這就是本橋在單頻外激勵作用下能激發(fā)出拉索兩個響應(yīng)頻率，且f2+f3=f1的根本原因。與此同時，J11的大幅振動反作用于主梁和主塔的振動，使兩者出現(xiàn)5.585 Hz的弱振動(圖5(b)、圖5(h)和圖5(k))。

圖5 分離的振動信號及頻譜圖Fig.5 Separated vibration signals and their spectrums

圖6 各頻率對應(yīng)的振動曲線Fig.6 Vibration curves of different frequencies

4 結(jié) 語

在斜拉橋的非線性動力學(xué)模型實(shí)驗(yàn)中，觀測到單頻激勵作用下，多重內(nèi)共振及其導(dǎo)致的大幅全橋振動。當(dāng)該激勵頻率約為長斜拉索固有頻率2倍時，拉索發(fā)生大幅“拍振”，且兩個拍頻之和正好等于外激勵的頻率。通過對耦合振動過程的研究，得到如下認(rèn)識：

(1) 非線性效應(yīng)使斜拉橋非線性模態(tài)頻率比按模態(tài)識別確定的線性模態(tài)頻率低。

(2) 斜拉橋多重內(nèi)共振需一定時間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)振動，即：需要積蓄足夠的能量方能激發(fā)索-梁-塔的大幅振動。

(3) 對耦合過程的分析，是弄清多模態(tài)相互激發(fā)關(guān)系的有效手段。本實(shí)驗(yàn)中10.25 Hz的外激勵先激發(fā)主梁10.25 Hz主梁局部振動(強(qiáng)迫振動)，再激發(fā)4.662 Hz混合模態(tài)(局部-混合模態(tài)耦合振動)；同時，由該混合模態(tài)與主梁局部振動組合激發(fā)出斜拉索的5.585 Hz振動(組合內(nèi)共振)。這是單頻激勵能激發(fā)斜拉索“拍振”，且兩“拍頻”之和恰好等于該激勵頻率的根本原因。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] SUN C S, ZHAO Y B, WANG Z Q, et al.Effect of longitudinal vibration of the girder on nonlinear responses of a cable in cable stayed bridge[J].European Journal of Environmental and Civil Engineering, 2017, 21(1): 94-107.

[2] 劉海濤，魏明海，肖儀清，等.索-梁耦合結(jié)構(gòu)非線性分析[J].振動與沖擊，2015，34(14): 147-152.

LIU Haitao, WEI Minghai, XIAO Yiqing, et al.Nonlinear response analysis of a cable-beam coupled system[J].Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(14): 147-152.

[3] 孫測世，康厚軍，趙珧冰等.斜拉索非線性振動跳躍過程試驗(yàn)研究[J].固體力學(xué)學(xué)報，2015，36(5): 429-435.

SUN Ceshi, KANG Houjun, ZHAO Yaobing, et al.Experimental research on jumping course of inclined cable in nonlinear vibration[J].Chinese Journal of Solid Mechanics, 2015, 36(5): 429-435.

[4] WARMINSKI J, ZULLI D, REGA G, et al.Revisited modelling and multimodal nonlinear oscillations of a sagged cable under support motion[J].Meccanica, 2016, 51(11): 2541-2575.

[5] SAVOR Z, RADIC J HRELJA G.Cable vibrations at Dubrovnik bridge[J].Bridge Structures, 2006, 2(2): 97-106.

[6] NI Y Q, WANG X Y, CHEN Z Q, et al.Field observations of rain-wind-induced cable vibration in cable-stayed Dongting Lake Bridge[J].Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 2007, 95(5): 303-328.

[7] 郭鐵丁，康厚軍，王連華,等.工程索結(jié)構(gòu)動力學(xué)-非線性建模與分析[J].力學(xué)與實(shí)踐，2016, 38(2): 119-125.

GUO Tieding, KANG Houjun, WANG Lianhua, et al.Dynamics of engineering cable: nonlinear modelling and analysis[J].Mechanics in Engineering, 2016, 38(2): 119-125.

[8] 康厚軍，郭鐵丁，趙躍宇.大跨度斜拉橋非線性振動模型與理論研究進(jìn)展[J].力學(xué)學(xué)報，2016, 48(3): 519-535.

KANG Houjun, GUO Tieding, ZHAO Yueyu.Review on nonlinear vibration and modeling of large span cable-stayed bridge[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2016, 48(3): 519-535.

[9] EL OUNI M H, BEN KAHLA N.Nonlinear dynamic analysis of a cable under first and second order parametric excitations[J].Journal of Civil Engineering and Management, 2012, 18(4): 557-567.

[10] MACDONALD J H G.Multi-modal vibration amplitudes of taut inclined cables due to direct and/or parametric excitation[J].Journal of Sound and Vibration, 2016, 363: 473-494.

[11] XIA Y, FUJINO Y.Auto-parametric vibration of a cable-stayed-beam structure under random excitation[J].Journal of Engineering Mechanics (ASCE) 2006, 132(3): 279-286.

[12] GATTULLI V, LEPIDI M, MACDONALD J H G, et al.One-to-two global-local interaction in a cable-stayed beam observed through analytical, finite element and experimental models[J].International Journal of Non-Linear Mechanics, 2005, 40(4): 571-588.

[13] GATTULLI V, LEPIDI M.Localization and veering in the dynamics of cable-stayed bridges[J].Computers and Structures, 2007, 85(21/22): 1661-1678.

[14] 陳水生，孫炳楠.斜拉橋索-橋耦合非線性參數(shù)振動數(shù)值研究[J].土木工程學(xué)報，2003，36(4): 70-75.

CHEN Shuisheng, SUN Bingnan.Numerical study on nonlinear parametric vibration of coupled cables and bridge decks[J].China Civil Engineering Journal, 2003, 36(4): 70-75.

[15] 趙躍宇，蔣麗忠，王連華, 等.索-梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)建模理論及其內(nèi)共振分析[J].土木工程學(xué)報，2004，37(3): 69-72

ZHAO Yueye, JIANG Lizhong, WANG Lianhua, et al.The dynamical modelling theory and internal resonance of cable-beam composite structure[J].China Civil Engineering Journal, 2004, 37(3): 69-72.

[16] 王濤，沈銳利.基于動力非線性有限元法的索-梁相關(guān)振動研究[J].振動與沖擊，2015，34(5): 159-167.

WANG Tao, SHEN Ruili.Cable-beam vibration study with nonlinear dynamic FEM[J].Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(5): 159-167.

[17] FUNG R F, LU L Y, HUANG S C.Dynamic modelling and vibration analysis of a flexible cable-stayed beam structure[J].Journal of Sound and Vibration, 2002, 254(4): 717-726.

[18] WEI M H, LIN K, JIN L, et al.Nonlinear dynamics of a cable-stayed beam driven by sub-harmonic and principal parametric resonance[J].International Journal of Mechanical Sciences, 2016, 110: 78-93.

[19] KANG H J, GUO T D, ZHAO Y Y, et al.Dynamic modeling and in-plane 1∶1∶1 internal resonance analysis of cable-stayed bridge[J].European Journal of Mechanics-A/Solids, 2017, 62: 94-109.

[20] SONG M T, CAO D Q, ZHU W D.Vortex-induced vibration of a cable-stayed bridge[J].Shock and Vibration, 2016: 1-14.

[21] SONG M T, CAO D Q, ZHU W D, et al.Dynamic response of a cable-stayed bridge subjected to a moving vehicle load[J].Acta Mechanica, 2016, 227(10): 2925-2945.

[22] KONSTANTAKOPOULOS T G, MICHALTSOS G T.A mathematical model for a combined cable system of bridges[J].Engineering Structures, 2010, 32(9): 2717-2728.

[23] REN W X, PENG X L, LIN Y Q.Experimental and analytical studies on dynamic characteristics of a large span cable-stayed bridge[J].Engineering Structures, 2005, 27(4): 535-548.

[24] EL OUNI M H, BEN KAHLA N, PREUMONT A.Numerical and experimental dynamic analysis and control of a cable stayed bridge under parametric excitation[J].Engineering Structures, 2012, 45: 244-256.

[25] CAETANO E, CUNHA A, TAYLOR C A.Investigation of dynamic cable-deck interaction in a physical model of a cable-stayed bridge.Part I: Modal analysis[J].International Journal on Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2000(29): 481-498.

[26] CAETANO E, CUNHA A, TAYLOR C A.Investigation of dynamic cable-deck interaction in a physical model of a cable-stayed bridge.Part II: seismic response[J].International Journal on Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2000(29): 499-521.

[27] CAETANO E, CUNHA A, GATTULLI V, et al.Cable-deck dynamic interactions at the International Guadiana Bridge: On-site measurements and finite element modelling[J].Structural Control and Health Monitoring, 2008, 15(3): 237-264.

[28] WU Q X, KITAHARA Y C, TAKAHASHI K, et al.Dynamic characteristics of Megami cable-stayed bridge-A comparison of experimental and analytical results[J].Steel Structure, 2008, 8(1): 1-9.

[29] 孫測世.大跨度斜拉橋非線性振動試驗(yàn)研究[D].長沙: 湖南大學(xué), 2015.

[30] NAYFEH A H, MOOK D T.Nonlinear oscillations[M].Wiley-Interscience, New York, 1995.