從數(shù)系的擴(kuò)充談復(fù)數(shù)的引入

熊潔霞

摘要：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要使學(xué)生“初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展的過程，……提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”。對(duì)此還提出在適當(dāng)內(nèi)容中對(duì)“數(shù)學(xué)文化”的學(xué)習(xí)要求。從中可以看出，將數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)的文化作用，是一線數(shù)學(xué)教師教學(xué)探索的一個(gè)方向。本文將以人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-2和選修2-2的第三章“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”為例，談?wù)剶?shù)學(xué)史的教學(xué)意義以及數(shù)學(xué)的文化價(jià)值在教學(xué)中的體現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)系擴(kuò)充史；復(fù)數(shù)教學(xué)；數(shù)學(xué)文化

一、“復(fù)數(shù)”的教學(xué)現(xiàn)狀

對(duì)于“復(fù)數(shù)”這部分內(nèi)容，不論從教學(xué)還是考試的層面來說，難度都不大，從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作十余年，在“復(fù)數(shù)”這一部分內(nèi)容的教學(xué)中，我起初也是結(jié)合考綱，針對(duì)常見題型多加練習(xí)，從考試結(jié)果來看，教學(xué)效果還不錯(cuò)。

但隨著這些年在教學(xué)中面對(duì)教師費(fèi)勁的教，學(xué)生吃力的學(xué)的困境，在不斷探索一些新的教學(xué)方法的過程中，我感受到數(shù)學(xué)史在提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生更好的理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)方面有著重要的作用。在深入的了解了“數(shù)系的擴(kuò)充”這一部分?jǐn)?shù)學(xué)史之后，我一直在思考，如果能把“數(shù)系的擴(kuò)充史”融入到復(fù)數(shù)的教學(xué)當(dāng)中，能否達(dá)到一些意想不到的效果呢？

二、數(shù)系的擴(kuò)充歷史

自然數(shù)的產(chǎn)生，起源于人類在生產(chǎn)和生活中計(jì)數(shù)的需要。隨著生產(chǎn)的發(fā)展，在天文觀測(cè)、建筑等活動(dòng)中，，為了更精確地度量，分?jǐn)?shù)應(yīng)運(yùn)而生。引進(jìn)分?jǐn)?shù)，這是數(shù)的概念的第一次擴(kuò)展。

最初人們?cè)谟洈?shù)時(shí)，沒有“零” 的概念。后來，在生產(chǎn)實(shí)踐中，隨著位值制記數(shù)法的產(chǎn)生，引進(jìn)數(shù)0，這是數(shù)的概念的第二次擴(kuò)充。

以后，為了表示具有相反意義的量，負(fù)數(shù)概念就出現(xiàn)了。引進(jìn)負(fù)數(shù)，這是數(shù)的概念的第三次擴(kuò)充。

公元前5世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為了得到不可公度線段比的精確數(shù)值，導(dǎo)致了無理數(shù)的產(chǎn)生。引進(jìn)無理數(shù)，形成實(shí)數(shù)系，這是數(shù)的概念的第四次擴(kuò)充。

16世紀(jì)前半葉，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞，大膽地引用了負(fù)數(shù)開平方的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)了三次方程的求根公式，由此，虛數(shù)作為一種合乎邏輯的假設(shè)得以引進(jìn)，并在進(jìn)一步的發(fā)展中加以運(yùn)用，引進(jìn)虛數(shù)，形成了復(fù)數(shù)系。這是數(shù)的概念的第五次擴(kuò)充。

三、數(shù)系的擴(kuò)充歷史在教學(xué)中的重要意義

“數(shù)系的擴(kuò)充史”不僅只有數(shù)學(xué)的歷史，同時(shí)也包含了人類文明的發(fā)展史，更有數(shù)學(xué)體系發(fā)展的軌跡。這些都為我們的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富的教學(xué)素材，給了我們教學(xué)的一個(gè)方向。我認(rèn)為“數(shù)系的擴(kuò)充史”在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有以下重要作用：

1、“數(shù)系的擴(kuò)充”歷史在教學(xué)中的德育教育功能

在新課標(biāo)的要求下，德育教育已經(jīng)不像是從前那樣主要是政治、語文、歷史這些學(xué)科的事了，數(shù)學(xué)史內(nèi)容的加入使數(shù)學(xué)教育具有更強(qiáng)大的教育功能。

首先，通過對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充的歷史的了解，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的重要作用，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活。

其次，數(shù)系擴(kuò)充的過程不是一蹴而就的，從自然數(shù)開始，經(jīng)歷了漫長的年代才發(fā)展到了復(fù)數(shù)，在此過程中也出現(xiàn)了很多坎坷，甚至一度阻礙了“數(shù)”的發(fā)展，但是最終人們還是突破了迷障，取得了進(jìn)步。從中也可以讓學(xué)生們感受到，知識(shí)的獲得，需要我們不斷的思考、實(shí)踐，才能取得進(jìn)步。

2、“數(shù)系的擴(kuò)充”歷史能幫助學(xué)生更好的理解復(fù)數(shù)

數(shù)學(xué)史不僅可以展現(xiàn)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的歷程，還可以給出數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)造過程。中學(xué)生對(duì)整個(gè)數(shù)系的學(xué)習(xí)過程，基本上與數(shù)學(xué)歷史上數(shù)系的發(fā)展相吻合。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中也不可避免地會(huì)產(chǎn)生對(duì)“虛數(shù)”的困惑，如果在教學(xué)前，讓學(xué)生了解數(shù)系擴(kuò)充的歷史，明白數(shù)系擴(kuò)充的必要性，了解數(shù)系擴(kuò)充的一些基本原則和方法。有助于學(xué)生更好的接受和理解復(fù)數(shù)。

四、“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”教學(xué)建議

基于上述對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充史的分析，同時(shí)考慮到中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)情況，對(duì)“復(fù)數(shù)”這一部分的教學(xué)，我采取了如下方法：

1、在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)之前，簡單介紹數(shù)系的擴(kuò)充史

自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)環(huán)環(huán)相扣，緊緊相連，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將其因果關(guān)系闡述清楚，讓學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)發(fā)展軌跡，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展變化的觀點(diǎn)。

2、在介紹完數(shù)系的發(fā)展史后，可以結(jié)合“自然數(shù)到實(shí)數(shù)”的發(fā)展過程，感受不同數(shù)的表示方法、運(yùn)算法則的變化，為復(fù)數(shù)的表示和運(yùn)算性質(zhì)的引入做好鋪墊。

3、用解方程的問題引入復(fù)數(shù)

在教學(xué)過程中我采用了比較常見的求方程的解的問題引入復(fù)數(shù)：

（1）用幾個(gè)解方程的問題重現(xiàn)數(shù)的擴(kuò)充史，同時(shí)引出課題

求以下四個(gè)方程的解：① ；② ；③ ；④ .①②③中，從方程無解到有解的過程中，可以感受到數(shù)系擴(kuò)充的重要意義，在解決第④題時(shí)，學(xué)生能不讓固有的“任何實(shí)數(shù)的平方大于等于0”束縛了思想，而想到將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充。

（2）結(jié)合數(shù)系的擴(kuò)充史，將實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)

那么下一個(gè)問題就是在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上增加什么樣的數(shù)？很明顯，我們要增加的就是平方等于負(fù)數(shù)的數(shù)，由此引出 ，即 。當(dāng)然平方也可以為其它的負(fù)數(shù)，比如-2，那么多少的平方等于-2呢，結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則很容易可以想到 ，類似的由此可以得到 ，在此基礎(chǔ)上再擴(kuò)充一下變?yōu)?.由此將實(shí)數(shù)擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)。

從 到 的過程中，我主要結(jié)合了在數(shù)系擴(kuò)充的過程中運(yùn)算律和運(yùn)算法則的“推廣”，因?yàn)榧訙p乘除、平方差、完全平方等公式在自然數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)中都適用的特點(diǎn)，我們希望我們現(xiàn)在增加的這一類數(shù)也能夠進(jìn)行同樣的運(yùn)算，比如“ ”這個(gè)特殊的數(shù)可以和實(shí)數(shù)相乘，那么它和實(shí)數(shù)相加減又是怎樣的結(jié)果呢？比如 ，結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，可得 ，我們發(fā)現(xiàn)它的平方是 的形式，再舉個(gè)例子 ，由此我們把數(shù)在 基礎(chǔ)上再擴(kuò)充一下變?yōu)?.

在此基礎(chǔ)上介紹復(fù)數(shù)就水到渠成，不會(huì)像直接給出復(fù)數(shù)那般“突兀”，同時(shí)這也為接下來學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)和實(shí)數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等打下基礎(chǔ)，更重要的，通過對(duì)數(shù)學(xué)史的了解讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)并不是我們想象中的那么“高深莫測(cè)”，結(jié)合歷史的軌跡，發(fā)揮自己的創(chuàng)造力、想象力，我們也可以發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至可以超越前人，達(dá)到更高的高度！

以上是個(gè)人結(jié)合復(fù)數(shù)教學(xué)實(shí)踐的一點(diǎn)感悟，在實(shí)踐的過程中，我多花了最多一節(jié)課的時(shí)間，但卻達(dá)到了比我預(yù)期要好的效果。我相信在其它的數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，數(shù)學(xué)史也可以發(fā)揮很重要的教育作用，但是這也要求我們的老師掌握更多數(shù)學(xué)史，了解、體會(huì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，才能在教學(xué)中讓數(shù)學(xué)史發(fā)揮重要的作用，才能達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的目標(biāo)。我也將在今后的教學(xué)實(shí)踐中探索更多、更好的教學(xué)方法，以期數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到一個(gè)新的高度！