高中數(shù)學輔助數(shù)列的應用淺談

朱海明

摘 要：高中數(shù)學數(shù)列部分主要介紹了等差等比數(shù)列，那么輔助等差等比數(shù)列既是以等差等比數(shù)列為基礎(chǔ)，又對學生的應用能力提出很好的要求；輔助等差等比數(shù)列的應用是考查學生知識能力的重要方式之一；本文將通過一些例子介紹輔助等差等比數(shù)列的一些形式及其解決方法。

關(guān)鍵詞：等差；等比；輔助；遞推；待定系數(shù)；構(gòu)造

前言：數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要地位，通項公式的求解是學習數(shù)列的必備技能，而對于出題者而言等差等比數(shù)列的基本知識考查也是核心的目的，所以輔助等差等比數(shù)列的應用就顯得重要；下面筆者將分別探討輔助等差數(shù)列和輔助等比數(shù)列，探討在一些形式的遞推數(shù)列情況下進而求數(shù)列通項公式方法與方式。

一、輔助等差數(shù)列

1.數(shù)列■為等差數(shù)列，遞推公式一般形式為：an+1-an+λan·an+1=0。

例1 已知數(shù)列{an}，a1=1，an+1-an+2an·an+1=0；求{an}的通項公式。

解：an+1-an+2an·an+1=0，兩邊同時除以an·an+1得

■-■=2∴ 數(shù)列■是公差為2的等差數(shù)列。

■=2n-1∴an=■。

2.數(shù)列■為等差數(shù)列，其遞推公式一般為：an+1-qan=d·qn+1

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=2an+3·2n+1，求{an}的通項公式.

解：an+1=2an+3·2n+1，兩邊同除以2n+1得：

■-■=3，∴ 數(shù)列■為公差為3的等差數(shù)列.

∴ ■=3n-2，∴an=3n·2n-2n+1。

3.數(shù)列■為等差數(shù)列，其遞推公式一般為：nan+1=（n+1）an-dn（n+1）

例3 已知數(shù)列{an}滿足：nan+1=（n+1）an+2n（n+1）且a1=1，求{an}通項公式。

解：nan+1=（n+1）an+2n（n+1），兩邊同時除以n（n+1）得：

■-■=2，∴ 數(shù)列■是公差為2的等差數(shù)列。

∴ ■=2n-1，∴ an=2n2-n。

4.除以上一些例子外，常有其他的輔助等差數(shù)列如，數(shù)列{■}、{a2n}等等，需讀者在平時的學習中注重經(jīng)驗的積累；

二、輔助等比數(shù)列

1.數(shù)列{an+k}為等比數(shù)列，遞推數(shù)列一般形如：an+1=λan+μ（μ≠0）

此類遞推數(shù)列可以待定系數(shù)法或構(gòu)造配湊法等求出通項公式；

例4 已知數(shù)列{an}，a1=2，an+1=3an+4；求數(shù)列{an}的通項公式；

解：an+1=3an+4，此處可以用待定系數(shù)法，

設(shè)an+1+k=3（an+k）得an+1=3an+2k，∴ k=2

∴ an+1+2=3（an+2），∴ 數(shù)列{an+2}為公比為3的等比數(shù)列。

∴ an+2=4·3n-1，∴ an=4·3n-1-2。

2.數(shù)列{an+f（n）}為等比數(shù)列，常見的有：數(shù)列{an+kn+b}，

數(shù)列{an+kan}，數(shù)列{an+λn2+bn+c}為等差數(shù)列；

①當遞推數(shù)列形如：an+1=λan+an（λ≠a），可知數(shù)列{an+kan}為等比數(shù)列，公比為λ；

例5 數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3n，且a1=4，求數(shù)列{an}的通項公式；

解：an+1=2an+3n，an+1-3n+1=2（an-3n）

∴ 數(shù)列{an-3n}為公比為2的等比數(shù)列；

∴ an-3n2n-1，∴ an=3n+2n-1

②當遞推數(shù)列形如：an+1=λan+μn+δ時候，數(shù)列{an+kn+b}為等比數(shù)列；

例6 數(shù)列{an}滿足an+1=2an+2n-5，且a1=2；求數(shù)列{an}的通項公式；

解：先通過待定系數(shù)法，設(shè)：an+1+k（n+1）+b=2（an+kn+b）

即：an+1=2an+kn+k-b，對比an+1=2an+2n-5

∴ k=2，b=-3。

∴an+1+2（n+1）-3=2（an+2n-3）

∴ 數(shù)列{an+2n-3}是公比為2的等比數(shù)列。

∴ an+2n-3=1·2n-1，∴ an=2n-1-2n+3

③數(shù)列{lgan}為等比數(shù)列；

當遞推公式形如：an+1=（an）q的時候，兩邊去對數(shù)，這樣可以構(gòu)造數(shù)列{lgan}為等比數(shù)列；

例7 已知數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=（an）3；求數(shù)列{an}的通項公式；

解：an+1=（an）3，兩邊去對數(shù)lgan+1=3lgan

∴ 數(shù)列{lgan}為公比為3的等比數(shù)列。

∴ lgan=lg3·3n-1，∴ an=10lg3·3n-1=33n-1

筆者只是簡單地介紹了以上的一些以等差、等比為基礎(chǔ)的輔助數(shù)列，讀者還可以在以上形式的基礎(chǔ)上得到更多的變式；最后，以上的一些輔助數(shù)列希望對讀者的經(jīng)驗有所幫助。

（作者單位：安徽省南陵中學）