求解橢圓球面波函數(shù)以及改進(jìn)措施研究

郝海玲

(晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院 車輛工程系，山西 晉中 030600)

PSWF橢圓球面波函數(shù)是一種以頻域能量聚集性、近似時(shí)限帶限、時(shí)域雙正交、頻譜可控等性能為開發(fā)方向的計(jì)算模型。Pollak與Slepian等早在1962年便提出了橢圓球面波函數(shù)的集合算法構(gòu)思，并在此后的幾十年中相繼發(fā)表了眾多研究成果[1]。本研究在眾多研究成果之上借鑒了PSWF橢圓球面波函數(shù)的采樣定理模型，優(yōu)化配置了運(yùn)算模型的可行性求解方案?，F(xiàn)做如下分析。

1 研究背景

1.1 PSWF橢圓球面波函數(shù)的應(yīng)用優(yōu)勢

目前，PSWF橢圓球面波函數(shù)被廣泛應(yīng)用于小波信號(hào)的分析作業(yè)中，并發(fā)揮出比sinc函數(shù)更為突出的時(shí)間分辨率。而且在應(yīng)用此函數(shù)之后，可以將數(shù)字與圖像信號(hào)進(jìn)行優(yōu)化處理，進(jìn)而解決空間與時(shí)間分辨率低的相關(guān)問題。同時(shí)在無線通訊的相關(guān)研究中表明，PSWF橢圓球面波函數(shù)能夠優(yōu)化高速移動(dòng)通信效果，進(jìn)而規(guī)避視頻選擇性較低的問題。通過加強(qiáng)信號(hào)設(shè)計(jì)便可以有效控制頻譜，并達(dá)到提升頻譜功率的最佳效果[2]。尤其在利用了PSWF橢圓球面波函數(shù)的高能量聚集性以及正交性之后，可以有效調(diào)節(jié)非正弦時(shí)域的正交調(diào)制，較OFDM調(diào)制效果更佳，能夠?qū)⒏哳l帶利用率提升至2 Baud/Hz以上，具備了提升功率利用率，同時(shí)相對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較為簡單的優(yōu)勢。

1.2 求解橢圓球面波函數(shù)的關(guān)鍵問題

目前PSWF橢圓球面波函數(shù)的求解精準(zhǔn)度始終是關(guān)注度最高的研究焦點(diǎn)，而且也并無極為精準(zhǔn)的解析表達(dá)方式，嚴(yán)重限制了其廣泛應(yīng)用的推廣條件。PSWF橢圓球面波函數(shù)目前僅能提供近似求解方法，主要分為兩中求解路徑，分別為數(shù)值求解算法，以及重構(gòu)求解算法。

一方面，Legendre多項(xiàng)式求解算法，是PSWF函數(shù)中最為經(jīng)典的重構(gòu)算法之一，能夠改進(jìn)PSWF微分方程，并通過迭代運(yùn)算以及矩陣特征值進(jìn)行重構(gòu)求解[2]。但是利用此類算法必須經(jīng)過矩陣和過迭運(yùn)算的復(fù)雜流程，雖然相對提升了求解精度，但是在運(yùn)算量較大時(shí)，其運(yùn)算效率相對過低，無法作為優(yōu)化PSWF橢圓球面波函數(shù)求解算法的主要方式。

另一方面，Halpern等針對橢圓球面波函數(shù)積分方程的定義進(jìn)行了數(shù)值求解方法的優(yōu)化，利用PSWF橢圓球面波函數(shù)的純數(shù)值進(jìn)行求解。數(shù)值求解方法將積分方程的特征函數(shù)解析問題轉(zhuǎn)化為Toeplitz矩陣的特征向量求解，運(yùn)用矩陣向量解析PSWF橢圓球面波函數(shù)的離散采樣值。具備求解便捷性較高的特征，并不需要采集大量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)能夠有效提升運(yùn)輸效率，因此被廣泛應(yīng)用于UWB脈沖波形的優(yōu)化設(shè)計(jì)方案中[3]。但是數(shù)值求解方法只能解析PSWF橢圓球面波函數(shù)的離散采樣值，并不具備廣泛應(yīng)用的求解價(jià)值。此后，Kedar等提出了基于PSWF橢圓球面波函數(shù)特征的重構(gòu)解析思路，在求解離散采樣值的基礎(chǔ)上，依據(jù)采樣定理進(jìn)行近似值的求解。但是仍然僅能完成近似值的解析，而且需要構(gòu)建大量矩陣模型，相對的運(yùn)算量較大，且運(yùn)算效率較低。

2 PSWF橢圓球面波函數(shù)的重構(gòu)求解運(yùn)算模型

通過采樣定理可知，在任意帶的有限信號(hào)中，帶通信號(hào)與基帶信號(hào)均屬于不產(chǎn)生混疊效果的信號(hào)頻譜類型，一旦采樣信號(hào)出現(xiàn)了失真現(xiàn)象并無法快速劃分其原始信號(hào)。而PSWF橢圓球面波函數(shù)作為時(shí)限帶限函數(shù)的特殊類型，具備了較強(qiáng)的運(yùn)算效果[4]。通過PSWF橢圓球面波函數(shù)ψ(t)所具備的近似帶限特征，可以滿足離散采樣的重構(gòu)需求。首先需要設(shè)定ψ(t)的中心頻譜為f0，并設(shè)定帶寬為B。在對于的等間隔T中，其運(yùn)算模型為：

公式一：

在此公式中采樣信號(hào)的頻譜可以設(shè)定為運(yùn)算模型：

公式二：

而該公式中的信號(hào)采樣頻率為：f=1/T

依據(jù)次采樣定理可以明確ψ(t)的最低頻率必須控制在(f0～B/2)之間，且必須為帶寬B的整數(shù)倍，因此中心頻率與相應(yīng)帶寬必須滿足f0=(Q+1/2)B的等價(jià)關(guān)系成立[5]。而其中Q≧1以及無限接近于Z時(shí)，則代表采樣頻率的最小取值空間可以保證2B的已知條件。并在不發(fā)生混疊信號(hào)頻率的情況下進(jìn)行運(yùn)算。如果將Ψ(ω)的頻譜取值空間設(shè)定在{f0-B/2}到{f0+B/2}的范疇之列，則可以利用帶通頻率的濾波器進(jìn)行頻譜采樣，其理論模型為：

公式三：

而在進(jìn)一步運(yùn)算中可以明確時(shí)間卷積定理的運(yùn)算條件，并通過以下運(yùn)算流程求得：

公式四：

在此公式中g(shù)(t)代表了帶通濾波其的時(shí)域沖擊響應(yīng)條件，如果最低頻率出現(xiàn)了大于帶寬B的非整數(shù)條件，則會(huì)出現(xiàn)B’≧B的情況，此時(shí)f0=(Q+1/2)B’的條件較為充分。假設(shè)取值采樣頻率為2B’時(shí)，采樣信號(hào)不發(fā)生混疊現(xiàn)象，且能夠保持一定的頻譜間隙。則可以將{f0-B’/2}到{f0+B’/2}的取值空間作為濾波其的無失真恢復(fù)信號(hào)源，其運(yùn)算模型為：

公式五：

對比公式四與公式五可知，在其重構(gòu)函數(shù)中雖然存在一定差異，但是基于采樣定理的考量維度，信號(hào)波的選擇空間與橢圓球面波函數(shù)的求解本質(zhì)相同，也可以作為PSWF橢圓球面波函數(shù)的求解通式。

3 橢圓球面波函數(shù)的改進(jìn)措施

PSWF橢圓球面波函數(shù)作為時(shí)限帶限函數(shù)的特殊類型，具備了較強(qiáng)的運(yùn)算效果，但是并無法直接快速求解相似值。而依據(jù)采樣定理將sinc基函數(shù)的相關(guān)時(shí)域性融入橢圓球面波函數(shù)之中，能夠重構(gòu)基函數(shù)G(t)的精準(zhǔn)度，并優(yōu)化PSWF橢圓球面波函數(shù)的重構(gòu)求解效率。因此，可以根據(jù)采樣定理分析PSWF橢圓球面波函數(shù)的運(yùn)算機(jī)理，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的運(yùn)算流程。以G(t)函數(shù)模型從時(shí)域到頻域的構(gòu)建次序，可以首先考量函數(shù)的基本運(yùn)行條件，并圣地函數(shù)的取值空間，在頻率處于全新的正交基函數(shù)模型中并獲得相應(yīng)頻譜條件后便可以推導(dǎo)出G(f)的時(shí)域沖擊相應(yīng)函數(shù)，其運(yùn)算模型為：

公式六：

而在B=2kHz的情況下，滿足sin(t)=sinπt/πt的已知條件，因此在sin(2Bt)的波形圖中能夠發(fā)現(xiàn)基函數(shù)的具體特征，并在其函數(shù)時(shí)域中體現(xiàn)為加強(qiáng)的收斂性能。而求解基函數(shù)的過程中，可以在[-B，B]的橢圓球面波函數(shù)重構(gòu)條件下完成，因此相應(yīng)的收斂特征可以支持運(yùn)算精度。同時(shí)也可以在獲取信號(hào)x0(t)中表示為載波低通信號(hào)x(t)的運(yùn)算模型，通過等價(jià)條件約束f0的帶通中心頻率，其運(yùn)算模型為：

公式七：x0(f)=1/2[x(f-f0)+x(f+f0)]

因此即便在統(tǒng)一的頻譜取值空間[-B0/2,B0/2]內(nèi)，相應(yīng)的基帶信號(hào)x(t)在經(jīng)過轉(zhuǎn)化之后，也會(huì)產(chǎn)生完全不同的頻譜形狀，而頻譜取值范圍也可以定義為：[f0-B0/2,f0+B0/2]。那么PSWF橢圓球面波函數(shù)在實(shí)際運(yùn)算過程中，由于提高了根本的收斂性能，因此也可以快速求得近似值，其運(yùn)算效率與運(yùn)算精度均可有效提升。

4 結(jié)語

雖然依次羅列了重構(gòu)基函數(shù)的具體步驟，但是在實(shí)際運(yùn)算中，必須充分考察其收斂速度與收斂頻次，否則也無法優(yōu)化橢圓球面波函數(shù)的求解效果。反之，在公式六與公式七的運(yùn)算條件下，橢圓球面波函數(shù)運(yùn)算模型的具體細(xì)則相對清晰，且具備了快速收斂特征，因此可以作為提高橢圓球面波函數(shù)運(yùn)算精準(zhǔn)度的必要措施。而且PSWF橢圓球面波函數(shù)本身的重構(gòu)求解流程中，可以適當(dāng)引入仿真模型作為考察結(jié)果，可以通過理論分析與仿真分析獲取PSWF函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用過程中的求解便捷性。那么PSWF橢圓球面波函數(shù)在實(shí)際運(yùn)算過程中，由于提高了根本的收斂性能，因此也可以快速求得近似值，其運(yùn)算效率與運(yùn)算精度均可有效提升。因此，可以在獲取基函數(shù)時(shí)域收斂性能的基礎(chǔ)上提升其運(yùn)算精準(zhǔn)度，完善那么PSWF橢圓球面波函數(shù)的求解過程。

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