“輕繩滑輪模型”的一個(gè)重要結(jié)論

李偉康 包 容 陶亞飛

(蕪湖市第一中學(xué)，安徽 蕪湖 241000)

1 規(guī)律及推證

題目.如圖1所示, 長(zhǎng)度為L(zhǎng)的細(xì)繩的兩端分別系在豎立于地面上相距為d的兩桿頂端A、B,繩上放一個(gè)光滑的輕質(zhì)滑輪,其下連著一重為G的物體,平衡時(shí),繩中的張力為多大?

圖1

圖2

解析： 以滑輪和繩子接觸點(diǎn)為受力分析對(duì)象,由對(duì)稱性可知,兩邊張力大小相等,方向與豎直方向夾角也相等,設(shè)為θ(如圖2所示).延長(zhǎng)繩AO,交右側(cè)直桿于N點(diǎn),過N點(diǎn)做水平線,交左側(cè)直桿于M點(diǎn),在△AMN中,

(1)

又受力分析知,

2Tcosθ=FN.

(2)

FN=G.

(3)

兩式聯(lián)立可解.

此類問題,均選繩子的“活結(jié)”為研究對(duì)象,其一般均是受3個(gè)力,即兩個(gè)拉力和一個(gè)壓力FN,只要理清以上3種關(guān)系即可順利求解.

2 常規(guī)應(yīng)用(FN方向保持不變)

此種情況,只需要分析繩子兩端點(diǎn)間的水平間距變化情況即可根據(jù)(1)～(3)3式得出相應(yīng)物理量的大小變化情況.

圖3

例1.(2017年天津卷)如圖3所示,輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點(diǎn),懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的,掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài).如果只人為改變一個(gè)條件,當(dāng)衣架靜止時(shí),下列說法正確的是

(A) 繩的右端上移到b′,繩子拉力不變.

(B) 將桿N向右移一些,繩子拉力變大.

(C) 繩的兩端高度差越小,繩子拉力越小.

(D) 若換質(zhì)量更大的衣服,則衣架懸掛點(diǎn)右移.

解析： 繩的右端上移到b′,引起繩的兩端高度差變化,但繩子兩端點(diǎn)間的水平間距沒有變化,所以繩子拉力大小不變,(A)項(xiàng)正確,(C)項(xiàng)錯(cuò)誤;將桿N向右移一些,繩子兩端點(diǎn)間的水平間距變大,由(1)、(2)兩式知,繩子拉力變大,(B)項(xiàng)正確;若換質(zhì)量更大的衣服,由(1)式知,θ不變,再由(2)式知,繩子拉力變大,但根據(jù)“題目”推證過程知,θ不變,衣架懸掛點(diǎn)的位置就不變,(D)項(xiàng)錯(cuò)誤.答案為(A)、(B).

圖4

例2.如圖4所示,一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩兩端分別連接在框架上的A、B兩點(diǎn),細(xì)繩繞過光滑的滑輪,重物懸掛于滑輪下,處于靜止?fàn)顟B(tài).若緩慢移動(dòng)細(xì)繩的兩端,則繩中拉力大小變化的情況是

(A) 只將繩的左端移向A′點(diǎn),拉力變小.

(B) 只將繩的左端移向A′點(diǎn),拉力不變.

(C) 只將繩的右端移向B′點(diǎn),拉力變小.

(D) 只將繩的右端移向B′點(diǎn),拉力不變.

解析： 只將繩的左端移向A′點(diǎn),繩子兩端點(diǎn)間的水平間距沒有變化,所以繩子拉力大小不變,(A)項(xiàng)錯(cuò)誤,(B)項(xiàng)正確;只將繩的右端移向B′點(diǎn),繩子兩端點(diǎn)間的水平間距變大,由(1)、(2)兩式知,繩子拉力變大,(C)、(D)兩項(xiàng)均錯(cuò)誤.答案為(B).

圖5

例3.如圖5所示,A、B兩物體的質(zhì)量分別為mA和mB,且mA>mB,整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài),小滑輪的質(zhì)量和一切摩擦均不計(jì).如果繩的一端由Q點(diǎn)緩慢地向左移到P點(diǎn),整個(gè)系統(tǒng)重新平衡后,物體A的高度和兩滑輪間繩與水平方向的夾角θ如何變化

(A) 物體A的高度升高,θ角變大.

(B) 物體A的高度降低,θ角變小.

(C) 物體A的高度升高,θ角不變.

(D) 物體A的高度不變,θ角變小.

解析： 對(duì)A受力分析知,繩上張力不變,由(2)式知,θ不變.而繩的左端到定滑輪的水平距離變大,再由(1)式知,定滑輪左側(cè)繩子變長(zhǎng),所以右側(cè)繩子變短,物體A的高度升高.答案為(C).

3 “等效”應(yīng)用(FN方向發(fā)生變化)

此類情況,(1)式中的“d”和(2)式中的“θ”均應(yīng)采用等效含義：d為繩子兩端點(diǎn)沿垂直于FN方向的距離,θ為繩子張力與FN所在直線間的夾角.

3.1 FN大小保持不變

圖6

例4.如圖6所示,輕質(zhì)繩子兩端分別固定在兩根等高的豎直桿上,對(duì)繩上一輕質(zhì)動(dòng)滑輪施加大小恒定的拉力F作用,不計(jì)各種摩擦.在拉力方向由豎直向下緩慢變到水平向右的過程中,繩上的張力大小如何變化

圖7

(A) 逐漸變大.

(B) 逐漸變小.

(C) 保持不變.

(D) 先變大后變小.

圖8

3.2 FN大小發(fā)生變化

例5.如圖8所示,晾曬衣服的繩子兩端分別固定在兩根等高的豎直桿上,繩子的質(zhì)量及繩與衣架掛鉤間摩擦均忽略不計(jì).原來衣服保持靜止,一陣恒定的風(fēng)吹來,衣服受到水平向右的恒力而發(fā)生滑動(dòng),并在新的位置保持靜止.則相比原來,在新的位置時(shí)

(A) 掛鉤左右兩邊繩的拉力不再相等.

(B) 繩的拉力一定不變.

(C) 繩對(duì)掛鉤作用力變大.

(D) 繩對(duì)掛鉤作用力不變.

解析： 通過分析,易知(A)、(D)選項(xiàng)錯(cuò)誤,(C)選項(xiàng)正確,作為單選題,答案為(C).通過極限法分析,可以知道(B)選項(xiàng)錯(cuò)誤.

但有學(xué)生對(duì)極限法的信度提出了質(zhì)疑,好奇心和求知欲驅(qū)使他們想知道繩的拉力大小變化情況.經(jīng)過師生討論,現(xiàn)給出分析過程如下.

圖9

圖10

現(xiàn)做如下討論:

范圍內(nèi),繩子的張力T隨風(fēng)力F的增加而增大.

綜上,例5中繩子的拉力應(yīng)做如下變化(設(shè)無風(fēng)時(shí)繩子的拉力大小為T0):

4 規(guī)律拓展

參考文獻(xiàn)：

1 周化海,黃紹書.彈力方向的正確理解與分析——從一道選擇題的剖析談起[J].物理教師,2017(8):89-90.