基于隨機利率與死亡率的順位保險精算模型

李 浩，段鵬舉，吳 月

順位保險是一種需要考慮被保險人死亡次序的保險.根據(jù)保障時期進(jìn)行分類，有終身順位保險和定期順位保險兩種.從本質(zhì)來劃分，可分為先死賠付順位保險與后死賠付順位保險.隨著社會的快速發(fā)展，人們的金融保險意識不斷增強，保險公司會迅捷地捕捉潛在的保險需求，相應(yīng)地推出新的保險產(chǎn)品.其中，家庭聯(lián)合保險就是較為常見的一種順位保險.較其他保險而言，一是家庭聯(lián)合保險可以在家庭主要收入者發(fā)生保險事故后，避免家庭陷入經(jīng)濟(jì)窘境；二是可以通過將家庭中的兩個及以上的成員作為聯(lián)合被保險人，降低家庭中每個成員單獨購買保險所需的保費支出.因此，順位保險自從上市以來，備受青睞.由于家庭成員的構(gòu)成與個體之間的關(guān)系，使得順位保險的理論研究呈現(xiàn)出復(fù)雜的特點，對其研究也逐步成為保險精算領(lǐng)域的熱點問題.

在壽險的價格厘定精算模型中，死亡率與利率是兩個主要參數(shù).在利率方面，國外Norberg R［1］通過假定利率為常數(shù)對一類聯(lián)合壽險進(jìn)行定價，在此基礎(chǔ)上學(xué)者們進(jìn)行了一系列拓展性研究.隨著金融市場的不斷完善，學(xué)者通過研究發(fā)現(xiàn)利率具有隨機性，于是相關(guān)的理論工具被應(yīng)用到壽險產(chǎn)品的定價中.王麗燕［2］等將隨機利率的概念引入到家庭聯(lián)合保險中，但沒有給出刻畫利率隨機性的具體工具；東明［3］使用Wiener過程研究了隨機利率下的聯(lián)合壽險精算模型，給出了對利率過程和被保險人死亡時間進(jìn)行隨機模擬的算法，據(jù)此得到了保險金給付現(xiàn)值的經(jīng)驗分布，最后通過實例說明了上述研究結(jié)果的應(yīng)用.但死亡率是另一個重要的參數(shù)，同樣具有很強的隨機性.在順位保險中，各被保險人的生命體具有相互依存性，不是相互獨立的.因此，趙麗霞［4］利用Copula函數(shù)、Common Shock模型描述家庭成員的壽命相關(guān)性，建立了隨機利率與死亡率下的家庭聯(lián)合壽險模型.本文在前人的基礎(chǔ)上，采用Vasicek模型刻畫利率的隨機性，并假定死亡率服從Common Shock模型，對具有三元情形的順位保險的精算現(xiàn)值進(jìn)行了初步的探討，得到了相應(yīng)的解析式.

1 預(yù)備知識

Vasicek模型屬于平衡模型，它源自對經(jīng)濟(jì)變量的一些假設(shè)，包含著短期利率r的一個過程，并產(chǎn)生了一個預(yù)期的期限結(jié)構(gòu)，其形狀依賴于參數(shù)和初始的短期利率.即可根據(jù)所求得的即期利率期限結(jié)構(gòu)曲線求得相對應(yīng)的遠(yuǎn)期利率的期限結(jié)構(gòu).

其中，δt為 (t,t+1)年的利息力；εt～N(0,σ2)，且相互獨立.由此可得如下引理：若δt服從Vasicek模型，則

引理1

引理2

由于利率具有一定的隨機性，因此在下文中采用Vasicek模型對利率的期限結(jié)構(gòu)加以刻畫.

2 死亡率模型

2.1 精算假設(shè)

在順位保險（如三口之家的家庭聯(lián)合保險）中，家庭中的三位成員可能會因為某種特殊原因而同時死亡.因此，三者的剩余壽命對應(yīng)的隨機變量就具有一定的相關(guān)性，為此文獻(xiàn)［5］中采用Common Shock模型刻畫死亡率的隨機性.為便于理解下文中出現(xiàn)的精算符號，現(xiàn)作如下介紹.記(x)為年齡為x歲的父親，(y)為年齡為y歲的母親，(z)為年齡為z歲的成年孩子；T(x)，T(y)，T(z)為三成員對應(yīng)的剩余壽命；fT(t)為T(x)的概率密度函數(shù)；W是服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布的隨機變量，即W～E(λ)；tpx為(x)在t年后生存的概率，μx+t為(x)在x+t歲時的死亡率，且.假設(shè)T*(x)，T*(y)，T*(z)，W相互獨立，有T(x)=min{T*(x),W}，T(y)=min{T*(y),W}，T(z)=min{T*(z),W}.

2.2 三元生命函數(shù)

在順位保險中，以常見的三口之家為例.承保對象為某家庭中的夫妻雙方及已成年獨生子女，共三人.保險責(zé)任規(guī)定為：在保險合同有效期內(nèi)，家庭中有兩者死亡，第三者獲得保險公司賠付的保險金.若家庭中三位成員的生命均結(jié)束為止.即三元最后生存者狀態(tài)，用表示.則

由概率的加法性質(zhì)，可得

于是

3 順位保險的壽險精算現(xiàn)值計算

根據(jù)精算等價原理，即純保費與保額在保單生效時的精算現(xiàn)值相等.用表示順位保險的精算現(xiàn)值，表示受益現(xiàn)值變量，則

相應(yīng)地記為生存年金的精算現(xiàn)值，則有

于是對于完全連續(xù)場合均衡凈保費，可將（3）（4）式子代入，得

最后，可得受益現(xiàn)值變量的方差為

通過對順位保險的精算現(xiàn)值以及風(fēng)險分析，得到相應(yīng)的解析表達(dá)式，并將夫妻聯(lián)合壽險等保險的二元情形，推廣到更具一般性的三元及以上情形的順位保險.

4 結(jié)論

隨著社會的快速發(fā)展，順位保險已成為保險市場的新產(chǎn)品.目前對家庭聯(lián)合保險的研究越發(fā)完善，但對順位保險的探討還較少.本文在分別對死亡率和利率所建立的隨機模型基礎(chǔ)上，對具有三口之家的家庭順位保險進(jìn)行研究，得到其精算現(xiàn)值計算公式.為科學(xué)合理研究順位保險提供了理論參考，有效度量保險公司開發(fā)順位保險存在的利率與死亡風(fēng)險，減少家庭主要成員因為突發(fā)事件引起的收入損失風(fēng)險.

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［1］Norberg R.Payment Measures，Interest，and Dis?counting：an Axiomatic Approach with Applications to Insur?ance［J］.Scandinavian Actuarial Journal，1990，52（1）：14-33.

［2］王麗燕，馮恩民.一種家庭聯(lián)合保險的雙隨機模型［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，2003，20（8）：69-73.

［3］東明.隨機利率下的聯(lián)合壽險精算模型［J］.系統(tǒng)工程，2006，24（4）：68-72.

［4］趙麗霞.基于隨機死亡率和多生命體相依的聯(lián)合保險精算模型［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報，2014，43（4）：413-416.

［5］趙彥英，姚儉.利率模型為Vasicek模型的企業(yè)補充養(yǎng)老金計劃精算模型［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報，2005，27（3）：268-270.