線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用案例

劉媛媛

近幾十年來，隨著科學技術(shù)的發(fā)展，特別是計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學的應(yīng)用領(lǐng)域由傳統(tǒng)的物理領(lǐng)域迅速擴展到非物理領(lǐng)域，在發(fā)展高科技，提高生產(chǎn)力水平和實現(xiàn)現(xiàn)代化管理等方面的作用越來越明顯，這就需要我們將實際問題轉(zhuǎn)化為某一個數(shù)學問題，然后使用某種適當?shù)臄?shù)學方法去解決［1］.線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，矩陣是線性代數(shù)的一個很重要的組成部分［2］.矩陣是由數(shù)字按照行和列排成的一個數(shù)字表格，同類表格之間往往存在諸多關(guān)系，表格當中的數(shù)據(jù)可以代表實際問題中的某種信息［3］，因此，可以利用矩陣數(shù)表中貯存的龐大信息處理解決許多實際生活中的具體問題［4］.本文充分利用矩陣的這一強大功能有效地解決了人口流動、工業(yè)增長、動物種群生態(tài)及密碼編制四方面的具體問題.

1 人口流動問題

某城市及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有50萬人從事農(nóng)、工、商工作，假設(shè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)不會改變，經(jīng)調(diào)查表明：

（1）在這50萬的就業(yè)人員中，目前大約有25萬人從事農(nóng)業(yè)，約15萬人從事工業(yè)，約10萬人從事商業(yè).

（2）在務(wù)農(nóng)的人員中，每年大約有20%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商.

（3）在務(wù)工的人員中，每年大約有20%改為務(wù)農(nóng)，10%改為經(jīng)商.

（4）在經(jīng)商的人員中，每年大約有10%改為務(wù)農(nóng)，10%改為務(wù)工.

現(xiàn)要預測1、2年之后從事農(nóng)、工、商工作的人數(shù)，以及多年之后，從事各行業(yè)人員總數(shù)及發(fā)展趨勢.

解 設(shè)xi,yi,zi表示第i年后分別從事農(nóng)、工、商的人數(shù)，則x0=25,y0=15,z0=10，現(xiàn)在要求出x1,y1,z1和x2,y2,z2，并考察經(jīng)過n年以后xn,yn,zn的發(fā)展趨勢.

根據(jù)題意，可以列出一年后從事農(nóng)、工、商的人員總數(shù)的方程為

即得到了一年后從事農(nóng)、工、商的人數(shù)分別為22.9萬人，16.9萬人，10.2萬人.

當n=2時，有

即得到了兩年后從事農(nóng)、工、商的人數(shù)分別為21.73萬人，17.23萬人，11.04萬人.進而推得

即得到了n年后從事農(nóng)、工、商的人數(shù)完全由An來決定.

在這個實際問題的求解過程中，充分利用了矩陣的乘法、轉(zhuǎn)置等知識，將生活中的實際問題轉(zhuǎn)換成了一個數(shù)學問題，通過求解這個數(shù)學問題進而解決了實際生活問題，將一個較為復雜的人口流動實際問題成功解決，可以看出矩陣往往是解決實際問題的工具，矩陣知識在實際問題的解決中發(fā)揮著重要作用［5］.

2 工業(yè)增長問題

考慮一個有關(guān)工業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染的工業(yè)增長模型.設(shè)m是目前環(huán)境污染的程度，n是目前工業(yè)發(fā)展的程度，兩者都由各種指標組成的單位來衡量.比如，對于污染，空氣中一氧化碳的含量及河流中污染濃度等.設(shè)m′和n′分別是五年

而隨后的10年、15年、…、5n年環(huán)境污染程度與工業(yè)發(fā)展水平分別為

初始值為m=4,n=2，由（1）式可以得到未來50年環(huán)境污染程度與工業(yè)發(fā)展水平的情況，如表1所示.后的環(huán)境污染程度及工業(yè)發(fā)展的水平.根據(jù)類似的經(jīng)驗，發(fā)展機構(gòu)認為，可以用下面的線性模型來預測隨后5年環(huán)境污染程度與工業(yè)發(fā)展水平的 情 況 為m′=m+2d，n′=2n+d. 記

為了分析上表中m和n的變化規(guī)律，先求矩陣A的特征根與特征向量.由于A的特征多項式為(x-3)(x+1).則A的特征根λ1=3 ，λ2=-1.對于特征根λ1=3 ，向量為-1的特征向量，即為3特征向量，即同樣對于特征根-1，向量

設(shè)m=1,n=1，利用式（1）計算出5年、10年、…、5k年后環(huán)境污染與工業(yè)發(fā)展水平的關(guān)系式子為5k年

若設(shè)m=4,n=2，5k年后環(huán)境污染與工業(yè)發(fā)展水平之間的關(guān)系為從此式可以看出，當k比較大時，對整個結(jié)果的影響很小，可以忽略不計.

所以，當k較大時，5k年后環(huán)境污染與工業(yè)發(fā)展水平之間的關(guān)系式可被寫作

設(shè)m=1,n=7為初始值，就可以得到20個5年后環(huán)境污染與工業(yè)發(fā)展水平之間的關(guān)系式為：由于此式中的最后一項在很大時可以忽略不計，因此

3 動物種群生態(tài)問題

考慮一個關(guān)于狐貍和兔子的生態(tài)模型.假設(shè)在沒有狐貍的情況下，兔子的數(shù)量為P，一年的增長率為10%，下一年兔子的數(shù)量P′為1.1P.假設(shè)在沒有兔子的情況下，狐貍的數(shù)量為Q，一年增長率為-15%，下一年狐貍的數(shù)量Q為0.85Q.當狐貍和兔子同時出現(xiàn)時，狐貍吃兔子，狐貍的數(shù)量增加，兔子的數(shù)量減少，建立模型如下：

令，將（2）式轉(zhuǎn)換成用矩陣來表示的增長模型為

令P＝10，Q＝8，由模型（2）計算，經(jīng)過一段時間后，狐貍和兔子種群的數(shù)量之間的數(shù)學關(guān)系如表2所示.

表2 狐貍和兔子種群之間的數(shù)量關(guān)系

此類問題可通過特征根和特征向量對上表所表示的性態(tài)進行分析.

由于B的特征多項式為fB(x)=，因此易求出它的特征根為λ1=1,λ2=0.95.

進而可求出特征根1的特征向量為.特征根0.95的特征向量為

設(shè)，求得a=2,b=4，則，因此經(jīng)過n個時間段后，狐貍和兔子種群數(shù)量之間的數(shù)學關(guān)系為于是由一個穩(wěn)定種群項和一個緩慢衰減的第二項組成的.因此，正如表中計算的結(jié)果所表示的趨勢那樣，狐貍和兔子的種群數(shù)量越來越趨向于4、6.

4 密碼編制問題

密碼學在通信及軍事上都有重要的應(yīng)用.在密碼學中將信息代碼稱為密碼，沒有被轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息被稱為明文，將密碼表示的信息稱為密文.從明文向密文轉(zhuǎn)換的過程叫加密，反之稱為解密.

矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中一種就是利用求逆矩陣的方法.先在26個英文字母與數(shù)字之間建立一一對應(yīng)，比如

如果我們要使用上述代碼發(fā)出信息“SEND MONEY”，則此信息的編碼是19、5、14、4、13、15、14、5、25，其中5表示字母E，但是直接這樣表示的編碼很容易被別人破譯.這時可以利用矩陣的乘法來對信息“SEND MONEY”進行加密，讓其變成“密文”后再發(fā)出去，這樣既可以增加非法用戶破譯的難度，又可以讓合法用戶輕松解密.如果一個矩陣A和其逆矩陣A-1中的元素均為整數(shù)，則可以利用這樣的矩陣A來對信息加密，使加密以后的密文很難破譯.例如取

信息“SEND MONEY”對應(yīng)的9個數(shù)值便可排成下面的矩陣B

利用矩陣的乘積，則有則與之相對應(yīng)的密文編碼為 43、105、81、45、118、77、49、128、93.借此合法用戶可以用A-1去左乘以上述矩陣，即可解密得到明文.

這個例子是矩陣乘法與逆矩陣的一個實際應(yīng)用，將線性代數(shù)與密碼學緊密聯(lián)系起來.運用矩陣知識破譯密碼，進而運用到通信、軍事等方面.可見矩陣的作用非常強大.

5 結(jié)論

該文給出了線性代數(shù)學科中的矩陣在人口流動、工業(yè)增長、動物種群生態(tài)及密碼編制等實際問題中的應(yīng)用.通過這些問題的成功解決可以看出，許多原本較為復雜的實際問題，如果能夠有效利用矩陣這個工具，問題往往容易簡單快捷地得以解決.其實矩陣還在其他諸如：生產(chǎn)成本核算、文獻管理、電阻電路等許多與我們息息相關(guān)的實際問題中有較為廣泛的應(yīng)用，這些問題還有待于我們進一步去深入地研究和探討.

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［1］同濟大學數(shù)學教研室.線性代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］劉鵬.矩陣在數(shù)學建模中的應(yīng)用舉例［J］.楚雄師范學院學報，2006，21（6）：4-9.

［3］劉仲奎，楊永保.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［4］白梅花.矩陣及其乘法應(yīng)用實例舉例［J］.科技教育，2011（8）：21-23.

［5］王仲春.數(shù)學思維與教學方法論［M］.北京：高等教育出版社，1989.