一種基于干涉的新型圖像加密算法

馬文林，張 剛，韓 超

（1.安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.皖西學(xué)院電氣與光電工程學(xué)院，安徽 六安 237012）

引言

近幾十年以來(lái)，隨著信息技術(shù)的高速發(fā)展，信息安全成為研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，光學(xué)圖像加密技術(shù)因其高速并行處理的能力，受到了越來(lái)越多的關(guān)注［1-3］。1995年，Refregier和Javidi提出了一種使用雙隨機(jī)相位掩模將原始圖像編碼為平穩(wěn)白噪聲［4］的加密方法。研究者將該方案中提出的隨機(jī)相位編碼（Random Phase Encoding，RPE）方法廣泛地應(yīng)用到光學(xué)圖像加密系統(tǒng)當(dāng)中［5-8］。實(shí)驗(yàn)表明，僅用雙隨機(jī)相位編碼（Double Random Phase Encoding，DRPE）加密的方案在抵抗攻擊方面存在缺陷［9-10］。為了進(jìn)一步提高圖像加密系統(tǒng)的安全性，研究人員在DRPE基礎(chǔ)上提出了一系列新的加密方法，如迭代相位檢索方法［11-13］、混沌置亂加密方法［14-17］等。Zhang等［18］最早提出了一種基于干涉的光學(xué)圖像加密方法，該加密方法提出對(duì)原始圖像波函數(shù)進(jìn)行分解，可以獲得兩個(gè)相位掩模，其中，一個(gè)作為明文，另一個(gè)作為密文。解密時(shí)通過(guò)利用相干光束調(diào)制，即可在輸出平面直接獲得原始圖像，該加密過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，解密光路設(shè)置簡(jiǎn)單。Chen等［19］利用相同的思路提出了一種基于Arnold變換和干涉的彩色圖像加密方法，彩色圖像被分解成三個(gè)獨(dú)立的通道，結(jié)合Arnold變換和干涉方法將每個(gè)通道加密成兩個(gè)隨機(jī)相位掩模。然而干涉加密方式存在著嚴(yán)重的缺陷，即非法解密者通過(guò)利用分析獲得的兩塊相位掩膜的任一塊，即可獲得原始圖像的輪廓信息。在Chen提出的加密方案中，只單純地將干涉方法應(yīng)用到彩色圖像當(dāng)中，并沒(méi)有解決干涉加密方式中出現(xiàn)的輪廓問(wèn)題。

為了解決干涉加密過(guò)程中出現(xiàn)的輪廓問(wèn)題，研究者們提出了不同的解決方案。Zhang等［20］提出了一種基于交換兩個(gè)掩模中位置相同部分的保密增強(qiáng)方案，即在獲得兩塊掩模后，隨機(jī)選擇第一塊掩模的部分，進(jìn)而將其與第二塊掩模相同位置的部分進(jìn)行交換，每次隨機(jī)選擇掩模相同的位置和像素塊的大小，這種方法需要耗時(shí)選定圖像的大小和位置進(jìn)行交換，若進(jìn)行交換的次數(shù)有限，非法解密者還是能夠獲得原始圖像的信息。Wang等［21］提出了一種光學(xué)圖像隱藏與干涉輪廓消除的方案，通過(guò)引入一個(gè)隨機(jī)位相函數(shù)，結(jié)合對(duì)圖像分析獲得的兩塊相位掩模，可以將原始圖像傅里葉頻譜隱藏到三個(gè)相位掩模當(dāng)中，這種方法可以解決基于干涉加密方案中兩個(gè)相位掩模出現(xiàn)的輪廓問(wèn)題，但是增加了解密過(guò)程的復(fù)雜度，如果潛在的攻擊者同時(shí)獲取三個(gè)相位掩模中的兩個(gè)，那么將會(huì)消除引入的相位掩模的隨機(jī)調(diào)制，在驗(yàn)證過(guò)程中仍然可以檢測(cè)到輪廓圖像。Wang［22］提出了一種基于干涉和相位混合處理的光學(xué)圖像加密與輪廓隱藏的方案，提出將原始圖像的信息隱藏在三個(gè)相位掩模當(dāng)中的新方法，其中一個(gè)掩模是隨機(jī)相位函數(shù)，另兩個(gè)掩模通過(guò)分析獲得，通過(guò)引入線性相位混合運(yùn)算理論，利用正交矩陣對(duì)獲得的三個(gè)相位掩模進(jìn)行變換，增強(qiáng)了加密的安全級(jí)別，不足之處在于，當(dāng)處理大量的像素?cái)?shù)據(jù)時(shí)，利用這種方法會(huì)增加實(shí)驗(yàn)的復(fù)雜度，整個(gè)加密過(guò)程的效率還有待提高。Zhong等［23］提出一種多參數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉域的無(wú)輪廓干涉加密的方案，首先對(duì)待加密圖像進(jìn)行混沌像素置亂（Chaotic Pixel Scrambling，CPS），然后編碼成復(fù)信號(hào)的實(shí)部，復(fù)信號(hào)在離散多參數(shù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域中產(chǎn)生三個(gè)相位掩模，將原始的圖像信息隱藏在三個(gè)相位掩模當(dāng)中，此加密方法安全性較高，但是在解密時(shí)需要疊加三個(gè)相位掩模以及進(jìn)行多參數(shù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的解密，雖具有較強(qiáng)的抗干擾性，但是利用混沌像素置亂和多參數(shù)分?jǐn)?shù)傅里葉變換方法生成了過(guò)多的秘鑰數(shù)量，增加了加密過(guò)程的計(jì)算量。Kumar等［24］提出使用拼圖變換（Jigsaw Transformation，JT）算法進(jìn)行基于干涉的圖像加密方案，原始圖像通過(guò)分塊置亂，轉(zhuǎn)換成隨機(jī)圖案，將獲得的相位掩模劃分成多個(gè)塊，并根據(jù)置換矩陣對(duì)其位置進(jìn)行置亂，在此方法中，JT被應(yīng)用于解決輪廓問(wèn)題，提高加密方法的安全性，在其解密過(guò)程中，通過(guò)使用單個(gè)空間光調(diào)制器（SLM）來(lái)顯示兩個(gè)相位掩模的疊加，然而，在解密之前恢復(fù)相位掩模需要進(jìn)行逆計(jì)算，大量的數(shù)據(jù)計(jì)算降低了整個(gè)系統(tǒng)的加密效率。

在本文中，針對(duì)干涉圖像加密出現(xiàn)的輪廓問(wèn)題提出了一種新的解決方案，將原始圖像進(jìn)行計(jì)算分析后獲得兩塊相位掩模，利用小波數(shù)字水印理論，將兩塊相位掩模作為水印嵌入到宿主圖像中，對(duì)宿主圖像利用混沌序列與像素值的替換操作實(shí)現(xiàn)混沌加密，可靈活設(shè)定密鑰位數(shù)，秘鑰具有良好的敏感性。待加密圖像經(jīng)過(guò)三次加密后，所獲得的密文具有良好的魯棒性和不可見(jiàn)性，而且整個(gè)加密和解密過(guò)程沒(méi)有復(fù)雜的計(jì)算，從而提升了整個(gè)加密系統(tǒng)的加密解密效率，解密過(guò)程可以使用數(shù)字結(jié)合光路實(shí)現(xiàn)，具有良好的解密恢復(fù)效果，避免了干涉加密中出現(xiàn)的輪廓問(wèn)題。

1 干涉圖像加密

基于光學(xué)干涉加密是將圖像編碼成兩個(gè)相位掩模［18］，此方法的編碼過(guò)程簡(jiǎn)單，通過(guò)計(jì)算分析獲得兩個(gè)相位掩模。本文采用分?jǐn)?shù)傅里葉方法獲得兩個(gè)相位掩模，同時(shí)在加密過(guò)程中使用的分?jǐn)?shù)傅里葉階數(shù)可以作為秘鑰來(lái)使用。將兩個(gè)掩模M1和M2分配給兩個(gè)不同的重要人員，只有當(dāng)兩個(gè)掩模正確時(shí)，才能通過(guò)數(shù)字或者光路實(shí)現(xiàn)正確解密。對(duì)于被加密的圖像I（m，n），可以構(gòu)造一個(gè)新的對(duì)象函數(shù)：

其中：R（m，n）＝exp（i2πrand（m，n）），rand（m，n）表示m×n維，取值范圍為（0，1）的隨機(jī)分布矩陣。為了進(jìn)一步提升系統(tǒng)的安全性能，可以將 R（m，n）通過(guò)兩個(gè)隨機(jī)相位函數(shù) R1（m，n）和 R2（m，n）的干涉來(lái)表示，其中：

則有：

其中，F(xiàn)rFT表示分?jǐn)?shù)傅里葉變換（Fractional fourier transform，F(xiàn)rFT），α和 β表示分?jǐn)?shù)傅里葉的階數(shù)［23］。經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得到：

根據(jù)相位函數(shù)的性質(zhì)可得：

其中，*代表函數(shù)的共軛。兩塊相位掩模板的函數(shù)表達(dá)式：

2 數(shù)字水印圖像加密

本文中所使用的水印加密算法是基于Haar小波變換的水印加密方法［25-28］，首先對(duì)水印圖像進(jìn)行具有糾錯(cuò)能力的二進(jìn)制編碼（BCH編碼），將其編碼成二進(jìn)制序列。通過(guò)對(duì)原始明文信息進(jìn)行處理，來(lái)選擇固定的小波系數(shù)，從圖像的魯棒性和隱藏性的折中考慮，在嵌入水印序列時(shí)選擇中頻系數(shù)來(lái)嵌入水印序列。把選擇的小波中頻系數(shù)進(jìn)行等大小塊的劃分，將所有塊內(nèi)系數(shù)幅值的累積和與單個(gè)系數(shù)塊大小做除法運(yùn)算，即可得到每個(gè)系數(shù)塊的平均值，其中塊的大小和嵌入水印比特的量成反比。水印序列的嵌入實(shí)質(zhì)上是對(duì)系數(shù)塊的平均值進(jìn)行量化完成的，在量化過(guò)程中，對(duì)小波系數(shù)從N，N－1，…，1（N為整數(shù)）層次做間隔逐漸減小的量化，將系數(shù)平均值量化到與之最近的整數(shù)奇偶點(diǎn)，最終完成二進(jìn)制水印序列的嵌入。在此過(guò)程中，水印嵌入所使用BCH編碼可作為秘鑰使用，同時(shí)利用到的Haar小波基、選擇小波中頻系數(shù)區(qū)域、小波分解的層數(shù)均可作為密碼使用，從而提高了信息傳輸?shù)陌踩浴?/p>

3 混沌映射圖像加密

采用Logistic混沌映射模型生成對(duì)應(yīng)混沌序列，利用混沌序列對(duì)圖像像素值的位置進(jìn)行置亂操作，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像加密［29］。

Logistic混沌映射是一維非線性映射，它的模型如下：

其中：0＜μ≤4，0＜x＜1，n∈N；xn∈［0，1］，μ為分岔參數(shù)。當(dāng)3.56994...＜μ≤4時(shí)，映射進(jìn)入混沌區(qū)域。

利用上述混沌映射模型，假設(shè)圖像O（i，j）處的灰度值為X（i，j），在相同位置進(jìn)行替換后的灰度值表示為 X′（i，j），像素值的替代是在空域中進(jìn)行的，替換過(guò)程為：

其中：L表示圖像的顏色深度；mod表示求模運(yùn)算；⊕表示按位異或運(yùn)算；r1、r2、r3表示利用混沌系統(tǒng)最終得到的混沌序列值，分別對(duì)應(yīng)的混沌映射初始值x1、x2、x3和分岔參數(shù) μ1、μ2、μ3，作為秘鑰使用。

4 圖像加密方案

整體加密方案示意圖如圖1所示。首先對(duì)原始Lena圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)傅里葉編碼，可獲得兩個(gè)相位掩模M1和M2，這里選擇M1作為明文、M2作為密文，同時(shí)分?jǐn)?shù)傅里葉的階數(shù)也作為秘鑰，從而完成初次加密；將獲得的相位掩膜M1作為水印圖像，利用基于Haar小波變換的水印加密方法將M1嵌入到宿主圖像Host image1當(dāng)中，嵌入水印后的圖像為 Embedded image1，即A1。使用同樣的方法將M2作為水印嵌入Host image2中，嵌入水印后的圖像為Embedded image2，即A2，其中使用的BCH編碼、利用到的Haar小波基、選擇小波中頻系數(shù)區(qū)域、小波一層分解的層數(shù)作為加密秘鑰，從而完成了再次加密；利用混沌序列像素值替換方法，對(duì)A1和A2分別進(jìn)行混沌映射圖像加密，得到最終的加密圖像B1和B2，其中由用戶設(shè)定的多位混沌映射參數(shù)作為加密秘鑰，從而完成整個(gè)加密過(guò)程。

圖1 加密方案示意圖

5 圖像解密方案

整體解密方案光路圖如圖2所示，其中，Laser為激光源、BCE為光束準(zhǔn)直器和擴(kuò)束器、SLM為空間光調(diào)制器、Lens為透鏡。在計(jì)算機(jī)中完成對(duì)混沌映射的解密和水印的提取，從而解密出M1和M2，結(jié)合相應(yīng)的光學(xué)系統(tǒng)將M1和M2重構(gòu)出原始Lena圖像。

圖2 解密方案示意圖

在解密時(shí)，首先進(jìn)行混沌映射解密，它是混沌映射加密過(guò)程的逆過(guò)程，由用戶設(shè)定的多位混沌映射參數(shù)作為解密秘鑰。解密過(guò)程為：

通過(guò)混沌圖像解密后，對(duì)解密圖像進(jìn)行數(shù)字水印提取，檢測(cè)圖像中的水印信息，根據(jù)密鑰確定嵌入水印的位置，完成水印的提取，其中使用BCH編碼、利用到的Haar小波基、選擇小波中頻系數(shù)區(qū)域、小波一層分解層數(shù)作為解密秘鑰。在計(jì)算機(jī)中經(jīng)過(guò)上述兩次解密，即可獲得兩個(gè)相位掩膜M1和M2，兩個(gè)相位掩膜通過(guò)計(jì)算機(jī)控制，將M1和M2疊加輸入到SLM中，經(jīng)過(guò)激光調(diào)制后，通過(guò)透鏡實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)傅里葉的逆運(yùn)算，即可在CCD上獲得解密的Lena圖像，完成整個(gè)解密過(guò)程。其中d＝［1－cos（）］f，a為分?jǐn)?shù)傅里葉的階數(shù)，f為透鏡的焦距［30］。

6 仿真與分析

首先在理論分析的基礎(chǔ)上，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真，將像素?cái)?shù)為256×256、灰度級(jí)為256的原始Lena圖像，通過(guò)分?jǐn)?shù)傅里葉干涉圖像加密，編碼得到兩個(gè)相位掩膜M1和M2，分別作為明文和密文。由于所使用Lena圖像行列數(shù)相同，同時(shí)在光路解密中使二維分?jǐn)?shù)傅里葉階數(shù)通過(guò)一塊透鏡實(shí)現(xiàn)解密，所以要保證圖像沿x和y軸方向變化階數(shù)相同，這里階數(shù)取α＝β＝0.5，仿真結(jié)果如圖3所示。將M1和M2作為水印，利用基于haar小波的數(shù)字水印加密方法，將M1嵌入到宿主圖像Boat當(dāng)中的中頻區(qū)域，選擇的小波分解層數(shù)為一層，嵌入水印后的圖像如圖4（b）所示，利用同樣的方法將M2嵌入到宿主圖像Pepper當(dāng)中，嵌入水印后的圖像如圖5（b）所示，通過(guò)仿真結(jié)果表明，嵌入水印后的圖像和原宿主圖像之間的相關(guān)系數(shù)良好，具體數(shù)值見(jiàn)表1。利用混沌序列像素值替換方法對(duì)嵌入水印后的載體圖像進(jìn)行混沌映射加密，混沌映射加密和解密的秘鑰由操作者設(shè)定的6位秘鑰來(lái)控制，前三位為初始值，后三位分別對(duì)應(yīng)著前三位的混沌變換的分岔參數(shù)，通過(guò)混沌變換即可得到三位混沌序列值，這里設(shè)定的秘鑰為［0.331 0.433 0.63 3.756 3.92 3.85］，最終得到的加密圖像如圖4（c）和圖5（c）所示。宿主圖像作為載體圖像可以任意選擇，為了區(qū)別原始明文圖像，這里所選的宿主圖像為Boat和Pepper圖像。

圖3 Lena圖像編碼

圖4 圖像Boat處理過(guò)程

圖5 圖像Pepper處理過(guò)程

表1 歸一化相關(guān)系數(shù)

整體解密的過(guò)程為加密過(guò)程的逆過(guò)程，首先對(duì)混沌映射加密后的圖像進(jìn)行像素值替換解密操作，得到混沌映射解密圖像，解密秘鑰同加密秘鑰相同，混沌映射解密出的圖像如圖4（d）和圖5（d）所示；分別對(duì)兩幅混沌映射解密圖像進(jìn)行小波數(shù)字水印的逆變換，進(jìn)行水印的提取，解密秘鑰同加密秘鑰相同，即可提取出水印圖像M1和M2，如圖4（e）和圖5（e）所示。利用解密得到的M1和M2，通過(guò)分?jǐn)?shù)傅里葉干涉的逆編碼操作，即可重構(gòu)出原始Lena圖像，如圖6（c）所示。

圖6 Lena圖像重構(gòu)

為了對(duì)本文中混沌加密算法進(jìn)行性能分析，單獨(dú)對(duì)其秘鑰進(jìn)行敏感性測(cè)試，采用正確秘鑰以及與之差異微小的另一組秘鑰分別對(duì)密文圖像進(jìn)行解密實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)選取圖像可以任意選擇，這里選擇像素大小為256×256的Fruits圖像，由于所使用的秘鑰中第一位到第三位參數(shù)與第四位到第六位參數(shù)對(duì)應(yīng)著三組Logistic映射的初始值x0和分岔參數(shù)μ，通過(guò)改變其中一組來(lái)查看仿真結(jié)果。正確解密時(shí)x0＝0.331，μ＝3.756。圖7（b）中參數(shù)設(shè)置為x0＝0.331001、μ＝3.756；圖7（c）中參數(shù)設(shè)置為x0＝0.331、μ＝3.756001。由圖7（b）和圖7（c）中可以看出秘鑰位數(shù)相差10－6就得到一副完全顯示不出任何明文信息的錯(cuò)誤解密圖像。在秘鑰正確時(shí)，混沌映射解密的圖像如圖7（d）所示。

圖7 秘鑰安全性分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證混沌映射加密算法的秘鑰靈敏程度，采用均方誤差（MSE）來(lái)衡量原始Fruits圖像和不同秘鑰解密后圖像的相似程度。從圖7分析可得，解密秘鑰參數(shù)一旦發(fā)生細(xì)微偏差，重構(gòu)出的圖像即為噪聲圖像。設(shè)置混沌映射初始參數(shù)的偏差，觀察偏差對(duì)解密圖像與原始圖像的MSE值的影響，其中a＝x0＝0.331，n為指數(shù)，從圖8顯示的密鑰敏感性分析可知，當(dāng)秘鑰偏差精確到小數(shù)點(diǎn)16位以后，對(duì)MSE的值不產(chǎn)生影響，說(shuō)明此加密方法所采用的秘鑰具有良好的敏感性，微小的秘鑰偏差會(huì)重構(gòu)出錯(cuò)誤的圖像。均方誤差的定義為：

其中：N×N為圖像的大小，h1（x，y）和 h2（x，y）分別代表原圖和解密圖像的灰度值。

圖8 秘鑰敏感性分析

在本文加密方案中，整體解密圖像的質(zhì)量可以通過(guò)歸一化相關(guān)系數(shù)（NC）進(jìn)行定量評(píng)估，這可以反映解密圖像和加密圖像的相關(guān)性，表示為：

其中：R表示解密圖像，O表示加密圖像，（i，j）分別表示圖像上的像素，K、L分別表示圖像的行數(shù)和列數(shù)。通過(guò)仿真表明，嵌入水印后的圖像與原始圖像的相關(guān)系數(shù)優(yōu)良，通過(guò)混沌解密能夠很好重構(gòu)出混沌加密前的圖像，最終重構(gòu)出的Lena圖像保持著良好的圖像質(zhì)量（表1）。

7 結(jié)束語(yǔ)

在運(yùn)用了數(shù)字水印理論和混沌圖像加密的方法的基礎(chǔ)上，提出一種新的干涉數(shù)字水印加密方法，該方法對(duì)圖像進(jìn)行相位的編碼、數(shù)字水印的嵌入和混沌像素值替換三種操作，完成對(duì)圖像的安全加密，從而避免了重構(gòu)時(shí)出現(xiàn)的輪廓問(wèn)題，從仿真結(jié)果來(lái)看，本文中所使用的加密方案不僅確保了圖像的安全傳輸問(wèn)題，并且能很好地重構(gòu)出原始圖像，并且在加密的過(guò)程中能夠抵抗一定的噪聲干擾，這使得整體的魯棒性得到提升的同時(shí)，整體的加密安全性也得到提高。

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