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    帶有滑動邊界的可壓縮磁流體方程解的局部存在性

    2018-05-22 05:23:17劍,
    上海理工大學(xué)學(xué)報 2018年2期
    關(guān)鍵詞:磁流體初值正則

    陸 劍, 雍 燕

    (上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

    1 問題的提出

    考慮可壓縮磁流體方程

    所以,磁流體方程(1)中的第3式可寫為

    磁流體方程是流體力學(xué)中的經(jīng)典模型[1-2]。磁流體方程問題解的存在性是人們關(guān)心的一個重要問題。眾多學(xué)者研究了磁流體方程柯西問題解的適定性。Bian等[3]研究了全空間非等熵可壓縮磁流體方程在臨界Besov空間上的局部適定性;Kozono等[4]研究了3維可壓縮非等熵磁流體方程的柯西問題弱解的全局存在性;Liu等[5]研究了具有某些限制初值的3維可壓縮磁流體方程的全局弱解問題。

    但是,對于初邊值問題,情況變得更加復(fù)雜。事實上,在流體力學(xué)中,主要考慮兩種邊界條件:一種是Dirichlet邊界條件,;另一種是由Navier提出的著名滑動邊界條件,

    式中:為上的單位外法向向量;是的切向向量,是應(yīng)變張量;

    現(xiàn)對問題(1)~(3),研究其解的局部存在性問題。一般討論的解有3種。第1種解是光滑小解[6-8],在這種情況下,初值和解接近于中的某個常數(shù),后來將這個解推廣到齊次Besov空間。首先將方程組線性化,然后對線性方程組進行迭代,得到一組逼近解,證明逼近解的漸近衰減速率,最后將逼近解取極限,得到原方程組解的存在性。這類光滑小解是連續(xù)可微的,并且大大降低了對初值的限制。缺點是不能體現(xiàn)出Navier-Stokes方程組自身的奇性。第2種解是由Lions提方程的解會出現(xiàn)問題。相反地,出的一般“大能量”弱解[9],這類解的好處是對任意大的初始能量和非負(fù)密度都容易證明解的存在性。但是,這一類解的集合比較大,通常還包含了非物理解。由于這類解的光滑性不夠,因此,對解的性質(zhì)分析起來比較困難[10-11]。第3種解是Hoff解。對于Hoff解而言,優(yōu)點是它保持了解的非線性和物理上關(guān)心的一些有意義的特性。另外,這類解當(dāng)初值具有足夠的正則性時,解一般也具有較好的正則性,可以根據(jù)相關(guān)定理來證明解的唯一性和連續(xù)性[12-14]。比如,當(dāng)初值是分段光滑函數(shù)時,文獻(xiàn)[15]中的解在逐點意義下滿足Rankine-Hugoniot條件。另外,這些解有足夠的正則性,使得解的唯一性和連續(xù)依賴性理論可以得到證明[16]。這種解在整個空間中適定性理論幾乎是完全成立的,但是,對Dirichlet邊界條件:在如果考慮上面提到的Navier-Slip邊界條件,那么,對于具有小能量的初值和有界的初始密度來說,可以證明其解的局部存在性。

    David[17]研究了等熵Navier-Stokes方程

    如果滿足邊值條件:

    式中:是在上的單位外法向量;是切平面到上的投影。

    David證明了解的局部存在性。

    本文考慮的是磁流體方程,因為,磁場和流體耦合在一起,研究起來要比Navier-Stokes方程困難,如何處理磁場是解決問題的困難之一。

    5 磁流體方程組解的局部存在性

    首先考慮磁流體方程組的線性化方程

    了。因為,,類似于連續(xù)性的證明,可知成立,根據(jù)橢圓的正則性理論,可知。

    綜上,定理1得證。

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