打通函數(shù)方程，妙解雙參問題

陳曉

[摘 要] 已知二次函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)取值范圍是一個(gè)重要題型，是學(xué)生得高分的瓶頸.文章列舉一些典型的考題，避開線性規(guī)劃、分類討論等常規(guī)思路，綜合運(yùn)用方程思想、以值代參、變量歸一等方法，給出問題的簡(jiǎn)潔解法.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)零點(diǎn)；以值代參；變量歸一

函數(shù)零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，特別是二次函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、韋達(dá)定理等內(nèi)容緊密聯(lián)系，在各級(jí)考試中屢見不鮮. 本文結(jié)合近期的一些考題，針對(duì)二次函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍的這類題型，給出一些簡(jiǎn)單的解法.

2017年是浙江省高考改革后的首次文理合卷考試，為此在2016年12月浙江省組織了一次全省范圍的模擬考試.這次考題從文字?jǐn)⑹?、試題風(fēng)格都與高考保持高度一致，有相當(dāng)大的參考價(jià)值. 這份試卷填空題的最后一題是這樣的：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b在（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則3a+b的取值范圍是________.

常規(guī)解法如下：根據(jù)題意，列出a，b所滿足的不等式組：

0<-<1，

f（0）=b>0，

f（1）=1+a+b>0，

Δ=a2-4b>0.

作出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖1所示）

根據(jù)線性規(guī)劃原理，當(dāng)a=-2，b=1時(shí)，3a+b有最小值-5；當(dāng)a=b=0時(shí)，3a+b有最大值0. 所以3a+b的取值范圍是（-5，0）.

筆者認(rèn)為此解法雖然常規(guī)，但過程比較麻煩，特別是填空題，有小題大做之嫌. 經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)f（3）=9+3a+b，即3a+b=f（3）-9.也就是說，要求3a+b的取值范圍，只要先求出f（3）的取值范圍. 如何求f（3）的取值范圍是一個(gè)難點(diǎn). 題目的已知條件是二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故可設(shè)f（x）=（x-x1）（x-x2）. 上式即為二次函數(shù)的零點(diǎn)式，x1，x2是f（x）的零點(diǎn).

于是f（3）=（3-x1）（3-x2），那么我們最后把問題歸結(jié)為求（3-x1）（3-x2）的取值范圍. 因?yàn)閤1，x2∈（0，1），所以3-x1∈（2，3），3-x2∈（2，3），故f（3）=（3-x1）·（3-x2）∈（4，9）. 因此3a+b=f（3）-9∈（-5，0）.

上述問題的解決過程關(guān)鍵是把參數(shù)a，b的表達(dá)式3a+b用其他變量（或者是式子）表示出來，使得問題易于解決.

上述思想在解題中經(jīng)常用到，比如2017年4月浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽第3題：設(shè)f（x）=x2+ax+b在[0，1]中有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2-2b的取值范圍是________.

此題和剛才分析的題目幾乎一樣，只是最后所求的表達(dá)式不同. 有部分命題人是同時(shí)參加了這兩次考試的命題，筆者猜想命題人好像意猶未盡，又編制了一道相似的題目，像是在暗示我們盡量不要用線性規(guī)劃原理來解這類題目.

設(shè)方程x2+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2∈[0，1]，由韋達(dá)定理得

x1+x2=-a，

x1x2=b，于是a2-2b=（x1+x2）2-2x1x2=x+x∈[0，2].

2017年3月紹興調(diào)測(cè)卷命制了一道填空題把這類問題推向深入：已知a，b∈R且0≤a+b≤1，函數(shù)f（x）=x2+ax+b在區(qū)間-，0上至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則a-2b的取值范圍是________.

我們注意到f（1）=1+a+b[1，2]，如果設(shè)m∈-，0使得f（m）=0，即m2+am+b=0，我們就得到關(guān)于a，b的方程組

1+a+b=f（1），

m2+am+b=0，

解出a=，進(jìn)而a-2b=f（1）-3m-1. 因?yàn)閒（1）∈[1，2]，所以

-3m-1≤a-2b≤-3m-1.

因?yàn)?3m-1=3（1-m）+-6≥2-6=0，當(dāng)m=0時(shí)等號(hào)取到；又函數(shù)y=-3m-1=+3（1-m）-8在-，0上的最大值為1. 綜上所述，a-2b的取值范圍是[0，1].

本題的關(guān)鍵就是用f（1）和m表示參數(shù)a，b，從而把求a-2b的取值范圍轉(zhuǎn)化為求關(guān)于m的函數(shù)的最值問題.

再往前追溯，筆者發(fā)現(xiàn)在2013年的浙江高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中就出現(xiàn)了這類問題：已知二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a2+b2的最小值.

設(shè)m是f（x）在[3，4]上的零點(diǎn)，即

am2+（2b+1）m-a-2=0（*）

此時(shí)發(fā)現(xiàn)要把參數(shù)a，b表示出來缺少一個(gè)條件，我們?cè)O(shè)想把a(bǔ)2+b2整體用m表示.

把（*）整理成

2-m=a（m2-1）+2bm

應(yīng)用柯西不等式得

（m-2）2=[a（m2-1）+2bm]2≤（a2+b2）·[（m2-1）2+4m2]=（a2+b2）（m2+1）2

于是a2+b2≥≥≥.

因?yàn)閥=m-2++4是[3，4]上的減函數(shù)，所以上面的不等式在m=3時(shí)取到等號(hào). 此時(shí)8a+6b+1=0，

a2+b2=，解出a=-，

b=-. 故a2+b2的最小值是.

本題我們用柯西不等式成功地分離出了a2+b2，從而把雙參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為單變量的最值問題.

從上述各題中看出，運(yùn)用韋達(dá)定理、以值代參、變量歸一等手段，可以避免分類討論，從而快速求出問題的正確答案，提高解題效率.