馬小蕓 錢鑫
摘要:引導(dǎo)學(xué)生體會、領(lǐng)悟、挖掘、運用蘊含在概念教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想方法。
關(guān)鍵詞:概念;數(shù)形結(jié)合思想;分類討論思想
《九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》指出:“初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識主要是概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法?!睂W(xué)生數(shù)學(xué)能力的差異,后進(jìn)生的分化,也往往從學(xué)習(xí)基本概念開始,所以在進(jìn)行概念教學(xué)時,引導(dǎo)學(xué)生體會、領(lǐng)悟、挖掘、運用蘊含在概念教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)思想方法是課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。
絕對值不僅是初一新生的學(xué)習(xí)難點,也是整個初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一大難點,很多學(xué)生對絕對值概念理解不透,記憶模糊,更談不上靈活運用。下面就絕對值概念教學(xué)談幾點個人的體會:
一、 在絕對值概念引入過程中引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想方法
本節(jié)教學(xué)目標(biāo)要求:1. 理解并掌握絕對值的幾何定義與代數(shù)定義;2. 在絕對值概念的學(xué)習(xí)過程中體會數(shù)形結(jié)合思想方法和分類討論思想方法,豐富解決數(shù)學(xué)問題的策略。
在這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中,首先創(chuàng)設(shè)情境引入概念:
問題:兩只蝸牛從同一處O出發(fā),分別向東、西方向爬行7 cm,到達(dá)A、B兩處,它們的行駛路線相同嗎?它們行駛路程的遠(yuǎn)近(線段OA、OB的長度)相同嗎?(學(xué)生畫圖討論)
學(xué)生討論回答兩只蝸牛的行駛路線相反,它們行駛的路程相同都是7 cm。
教師指出:在實際生活中,有時存在這樣的情況,無需考慮數(shù)的正負(fù)性質(zhì),比如:在計算蝸牛行駛的路程中,與它們行駛的方向無關(guān),路程只需用正數(shù)(從形和數(shù)兩個角度去感受絕對值)。此時引入絕對值的幾何定義:數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點之間的距離。借助概念,學(xué)生很快得出|±6|=6,|-2.5,|0|=0。同時抓住時機(jī)滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想方法,讓學(xué)生初步理解絕對值的幾何定義,體會一個數(shù)的絕對值對應(yīng)的就是數(shù)軸上一條線段的長度,與表示這個數(shù)的點在原點的左邊或右邊無關(guān)。
然后出示例1.求下列各數(shù)的絕對值:+0.9,-5,-0.9,0,+5。
學(xué)生迅速口答得出正確答案。又提出:從以上答案中你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論?學(xué)生和老師共同歸納得出:①正數(shù)的絕對值是它本身;②0的絕對值是0;③負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);④任何有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù);⑤一對相反數(shù)的絕對值相等。適時引入絕對值的代數(shù)定義,同時對概念提煉升華。這一環(huán)節(jié)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上,從不同方面考慮問題,獲得新結(jié)論,層層深入,達(dá)到循序漸進(jìn)的教學(xué)效果。同時學(xué)生領(lǐng)悟“分類討論”的思想方法,也就是求一個數(shù)的絕對值時,先判斷其正負(fù),再確定其絕對值。
二、 在問題解決過程中運用概念,把握本質(zhì),領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法
很多學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)只是停留在簡單機(jī)械記憶,直接應(yīng)用,并沒有抓住概念的本質(zhì)特征,更談不上靈活運用概念。在教學(xué)中,教師不但要引導(dǎo)學(xué)生直接應(yīng)用概念,也要學(xué)會逆用概念解決數(shù)學(xué)問題,從而對概念有深刻本質(zhì)的認(rèn)識,從而達(dá)到真正掌握概念、靈活運用的目的。如下列問題:
(1) 已知|x|=4,求x的值。(2)已知|x|≤4,求滿足條件的整數(shù)x的值。(3)若|x|=-x,則x0。
分析:在問題(1)中,學(xué)生會出現(xiàn)兩種不同解法,方法一:求絕對值等于4的數(shù)就是找出數(shù)軸上到原點距離等于4的數(shù),即x=±4;方法二:數(shù)x既可以是正數(shù)又可以是負(fù)數(shù),所以當(dāng)x是正數(shù)時,x=4,當(dāng)x是負(fù)數(shù)時,-x=4,即x=-4。方法一運用了絕對值的幾何定義,方法二則運用了絕對值的代數(shù)定義,這兩種解法分別體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法和分類討論的思想方法。
問題(2)與問題(1)相比,難度略有增加,這里可以帶領(lǐng)學(xué)生換個角度來讀題,把|x|借助概念“翻譯”為“數(shù)軸上表示數(shù)x的點到原點的距離”,貌似死搬概念,學(xué)生卻有恍然大悟的感覺,同時學(xué)生也體會到概念的重要性。這時學(xué)生馬上就會想象數(shù)軸上到原點距離不大于4的整數(shù)都有哪些,在這一過程由數(shù)想圖、由圖想數(shù),充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法,問題(2)馬上得到準(zhǔn)確解答。
問題(3)的解答,多數(shù)學(xué)生會填“>”,卻忽略了0的絕對值等于0的本質(zhì)是:0的絕對值即等于它本身又等于它的相反數(shù),從而造成了漏解。也體現(xiàn)出學(xué)生對所學(xué)概念沒有把握本質(zhì)特征。
三、 變式引申,強(qiáng)化探索,運用數(shù)學(xué)思想,提升數(shù)學(xué)能力
概念的教學(xué)不能只停留在新授課上,增加變式練習(xí),才能使學(xué)生對概念的理解更透徹,運用更自如。如以下問題:
(4)已知a 分析:問題(4)對于初一新生而言會感到比較難,不知從哪下手,實質(zhì)上此題難在學(xué)生對用字母表示數(shù)認(rèn)知模糊,思維上對字母與數(shù)的角色轉(zhuǎn)換沒有意識,只要引導(dǎo)學(xué)生逐一分析出a、b-c、a-b、c的正負(fù),學(xué)生就會得出|a|=a,|b-c|=b-c,|a-b|=-(a-b),|c|=-c這樣學(xué)生就能順利化簡。在此題的解答過程中,絕對值的代數(shù)定義是解決問題的核心,通過這一問題的解答,概念的認(rèn)知就會更明確,其中滲透的分類思想也顯現(xiàn)出來。 學(xué)生在已經(jīng)基本掌握絕對值概念后,面對問題(5)仍會有不知所措的感覺,解決的關(guān)鍵是|x-1|的化簡,把復(fù)雜問題簡單化,提出如何化簡|x-1|,這里既沒有圖形,又不知x的取值范圍,提示學(xué)生把x-1看作一個整體時該怎樣化簡,這時學(xué)生們會按x-1>0、x-1=0、x-1<0分別化簡,這時師生共同探討x-1>0、x-1=0、x-1<0時,x>1、x=1、x<1。至此難點解決,引導(dǎo)學(xué)生寫出此方程的解答過程即可。在這一問題的探究中,學(xué)生不僅學(xué)習(xí)運用了分類討論的方法解決問題,同時也體會到了整體思想及轉(zhuǎn)化思想的運用。 問題(6)的提出是建立在問題(5)的基礎(chǔ)上,學(xué)生對單獨化簡|x-1|和|3+x|有了一定的認(rèn)識,教師可以明確指出x的化簡分x>1、x=1、x<1三種情況,|3+x|的化簡分x>-3、x=-3、x<-3三種情況,但綜合在一個題中就要全面考慮x的取值范圍,同時兼顧兩個絕對值的化簡,此時利用數(shù)軸展示引導(dǎo)學(xué)生得出:按x<-3,x=-3、-3 通過上面變式問題的學(xué)習(xí),學(xué)生對絕對值的概念的認(rèn)識才會更全面、更深刻??傊?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注重概念教學(xué),使學(xué)生清晰地掌握概念,透徹地理解概念,靈活地運用概念,站在數(shù)學(xué)思想方法的高度上把握概念,形成數(shù)學(xué)能力。 作者簡介: 馬小蕓,錢鑫,甘肅省平?jīng)鍪?,平?jīng)鍪袕V成學(xué)校。