魯棒自適應(yīng)控制的靶機(jī)蛇形機(jī)動控制律設(shè)計

李雪兵， 李春濤， 坤 婭

(南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210016)

0 引言

當(dāng)無人機(jī)被鎖定時，如何擺脫來襲武器追擊，以提高無人機(jī)執(zhí)行任務(wù)時的生存率，這給機(jī)動控制技術(shù)造成巨大的困難。根據(jù)殲擊機(jī)躲避來襲武器的經(jīng)驗(yàn)可知，機(jī)動飛行能有效地降低被擊落的概率，而蛇形機(jī)動是擺脫鎖定追擊、降低來襲武器命中率的最有效機(jī)動方式之一。蛇形機(jī)動可以增大來襲武器的跟蹤誤差，降低被擊落的風(fēng)險，對提高戰(zhàn)場生存率大有裨益。但是蛇形機(jī)動時各通道之間耦合嚴(yán)重、控制指令變化劇烈、氣動參數(shù)攝動大，易激發(fā)出嚴(yán)重的非線性，給無人機(jī)的控制造成巨大的難題，傳統(tǒng)基于小擾動線性化的控制策略顯得難以應(yīng)對，然而，現(xiàn)代控制理論技術(shù)的發(fā)展和成熟為機(jī)動飛行控制帶來契機(jī)[1]。為了克服蛇形機(jī)動中不確定性因素的影響，保證系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性，采用魯棒伺服控制(RSLQR)加自適應(yīng)控制(MRAC)的策略[2]。魯棒伺服控制保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，自適應(yīng)控制對模型中的不確定性進(jìn)行在線補(bǔ)償，共同實(shí)現(xiàn)對控制指令精確、快速的跟蹤[3]。

1 問題表述

蛇形機(jī)動是指周期性改變無人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角，使無人機(jī)產(chǎn)生周期性的航向變化，以及類似蛇類爬行路線的水平航跡曲線。在蛇形機(jī)動中，航跡角和滾轉(zhuǎn)角的響應(yīng)能力是影響無人機(jī)蛇形機(jī)動交替變化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。航跡角和滾轉(zhuǎn)角的響應(yīng)速度越快，單位時間內(nèi)形成的蛇形軌跡越多，則無人機(jī)的蛇形機(jī)動能力越強(qiáng)；反之，則越弱。因此，如何設(shè)計出具有良好控制品質(zhì)的航跡角和滾轉(zhuǎn)角回路是蛇形機(jī)動飛行的一項關(guān)鍵技術(shù)。

2 無人機(jī)動態(tài)模型簡化

在慣性參考系中，描述任意時刻的運(yùn)動狀態(tài)需6個自由度，即3個質(zhì)心運(yùn)動和3個角運(yùn)動。為簡化建模過程，采用“平板地球假設(shè)”、“地面坐標(biāo)系即慣性坐標(biāo)系”、“質(zhì)量不變”假設(shè)條件，運(yùn)用牛頓定律建立六自由度模型[4]。

根據(jù)運(yùn)動方程組可得

(1)

在無側(cè)滑情況下，穩(wěn)定軸角速率(Ps,Rs)與機(jī)體軸角速率(P,R)有如下關(guān)系，即

(2)

假設(shè)配平迎角為α0，從式(2)求解(P,R)得

(3)

(4)

迎角、俯仰角以及爬升角滿足α=θ-γ，代入式(4)得

(5)

根據(jù)小側(cè)滑角β假設(shè)，側(cè)滑角動態(tài)方程為

(6)

式中：δR,V,g分別表示方向舵、空速、重力加速度；Y*表示*物理量引起的側(cè)力。

根據(jù)以上分析，無人機(jī)橫側(cè)向線性動態(tài)方程為

(7)

將式(7)改寫為

(8)

式中：

(9)

顯然，上述非線性的數(shù)學(xué)模型不足以完全刻畫實(shí)際無人機(jī)的運(yùn)動模型。因?yàn)闊o人機(jī)除了慣性耦合和操縱耦合之外，還存在舵面操縱效率偏差、氣動數(shù)據(jù)庫不準(zhǔn)確、外界大氣環(huán)境擾動、油耗導(dǎo)致重心變化、傳感器安裝位置偏差等未知擾動和不確定因素。蛇形機(jī)動時，橫側(cè)向運(yùn)動劇烈、交叉耦合嚴(yán)重，為保證蛇形機(jī)動的控制品質(zhì)，必須針對上述因素進(jìn)行克服，降低它們對系統(tǒng)的影響。為了便于分析，本文設(shè)舵面效率偏差為Λ，模型中所有未知有界擾動為w，所有不確定因素為f(x)。根據(jù)上述分析，可得無人機(jī)的非線性數(shù)學(xué)模型為

(10)

式中:x∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)量;u∈Rm是控制輸入量;Λ∈Rm×m是具有正對角元素的未知常數(shù)對角矩陣，體現(xiàn)控制通道中存在的舵效偏差;f(x)代表蛇形機(jī)動中所有不確定因素;wx表示和狀態(tài)量相關(guān)的未知有界干擾[6]。

為了克服無人機(jī)蛇形機(jī)動過程中的有界干擾和不確定因素，本文提出了一種以魯棒伺服控制為主，自適應(yīng)控制為輔的控制器架構(gòu)，控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

魯棒伺服控制策略是通過引入積分提高系統(tǒng)的型別，達(dá)到抑制擾動的目的。自適應(yīng)控制方法是把跟蹤誤差作為一個新的狀態(tài)變量引入到原系統(tǒng)中進(jìn)行系統(tǒng)增廣，令增廣系統(tǒng)中含有不確定因素項為零，可得到參考模型。將原系統(tǒng)輸出和參考模型輸出進(jìn)行在線補(bǔ)償，使系統(tǒng)的輸出跟蹤參考模型的輸出，達(dá)到補(bǔ)償系統(tǒng)中任意形式不確定性的目的。最后，將魯棒伺服控制器和自適應(yīng)控制器組成一種并聯(lián)的控制結(jié)構(gòu)，此結(jié)構(gòu)綜合了兩者的特點(diǎn)，不僅可以提高抑制擾動的能力，提高系統(tǒng)的魯棒性，而且還可以克服模型中潛在的不確定性，改善系統(tǒng)的響應(yīng)品質(zhì)[7]。

圖1 魯棒自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)Fig.1 Robust and adaptive control structure

3 控制律設(shè)計

3.1 橫側(cè)向增穩(wěn)控制律設(shè)計

樣例無人機(jī)采用“Λ”形尾氣動布局，其滾轉(zhuǎn)靜不穩(wěn)定(Clβ>0)，故需要增穩(wěn)設(shè)計。通過引入角速率和氣流角反饋達(dá)到增穩(wěn)的目的，增穩(wěn)的控制律為

(11)

3.2 航向通道控制律設(shè)計

蛇形機(jī)動時航向通道除增穩(wěn)之外，還必須具備協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎、快速消除側(cè)滑角的能力[9]。在氣流坐標(biāo)系下，根據(jù)側(cè)力Y的運(yùn)動方程

(12)

式中,(-Psinα+Rcosα)體現(xiàn)氣流角之間的交叉耦合效應(yīng)，在Y=0,α≈0°情況下，可簡化為

(13)

由于無人機(jī)運(yùn)動存在耦合，恒定滾轉(zhuǎn)角產(chǎn)生的附加恒定偏航角速率Rb為

(14)

該附加偏航角速率信號會使無人機(jī)在滾轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生不期望的恒定偏航運(yùn)動，故需要對運(yùn)動耦合進(jìn)行補(bǔ)償。本文采用滾轉(zhuǎn)角反饋加高通濾波的補(bǔ)償策略，滾轉(zhuǎn)角補(bǔ)償策略為

(15)

(16)

式中，τ為濾波時間常數(shù)。

3.3 滾轉(zhuǎn)通道控制律設(shè)計

根據(jù)六自由度運(yùn)動學(xué)方程，在慣性坐標(biāo)系下的側(cè)向速度方程為

(17)

式中：u,v,w分別表示體軸系三軸速度；ψ表示偏航角。

在縱向俯仰角較小并且穩(wěn)定飛行的狀態(tài)下，w≈0,sinθ≈0。故可對上式進(jìn)行簡化得

(18)

(19)

本文的控制策略將滾轉(zhuǎn)通道作為機(jī)動的主控通道，航向通道控制律設(shè)計已經(jīng)進(jìn)行介紹，故以下主要對滾轉(zhuǎn)通道進(jìn)行設(shè)計。為了便于設(shè)計，本文選取迎角0°，海拔高度1 km，指示空速為141 m/s為典型工作設(shè)計點(diǎn)，利用小擾動線性化的原理得滾轉(zhuǎn)通道的配平線性化的方程為

(20)

考慮橫側(cè)向未知有界擾動wx、不確定因素f(x)和舵面效率偏差Λ，將式(20)改寫為

(21)

取e作為一個新的狀態(tài)變量，從而構(gòu)建了一個新的伺服模型，其結(jié)構(gòu)為

(22)

考慮無限時間區(qū)間上的二次性能指標(biāo)函數(shù)，即

(23)

圖2 滾轉(zhuǎn)角速率時頻域響應(yīng)Fig.2 Time frequency response of roll angle rate

綜合滾轉(zhuǎn)角速率時頻域特性的響應(yīng)品質(zhì),選取q1=15,q2=1，再利用Qq陣和Rr陣求解黎卡提方程

(24)

(25)

當(dāng)系統(tǒng)存在未知有界擾動時，運(yùn)用RSLQR的方法強(qiáng)化對指令誤差的控制作用，保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性[11]。

根據(jù)滾轉(zhuǎn)角速率階躍響應(yīng)可知，系統(tǒng)快、準(zhǔn)、穩(wěn)地跟蹤控制指令。滾轉(zhuǎn)角速率的其他響應(yīng)品質(zhì)見表1，其中，ts為上升時間，wb為帶寬，h為幅值裕度，γ為相位裕度。

表1 滾轉(zhuǎn)角速率響應(yīng)品質(zhì)

在完成基于RSLQR的滾轉(zhuǎn)角速率內(nèi)環(huán)控制律設(shè)計之后設(shè)計外環(huán)滾轉(zhuǎn)角控制器，根據(jù)無人機(jī)角運(yùn)動方程可得

(26)

滾轉(zhuǎn)角的控制選取比例控制結(jié)構(gòu)

Pcmd=KφA(φ-φcmd)

。

(27)

結(jié)合滾轉(zhuǎn)角時頻域特性的要求，運(yùn)用根軌跡的設(shè)計方法得滾轉(zhuǎn)角參數(shù)KφA=-0.8。綜上所述，滾轉(zhuǎn)角的控制律結(jié)構(gòu)為

(28)

根據(jù)圖3可以看出，滾轉(zhuǎn)角滿足設(shè)計要求。

圖3 滾轉(zhuǎn)角階躍響應(yīng)及開環(huán)伯德圖Fig.3 Step response and open-loop Bode diagram of roll angle

魯棒伺服的控制策略雖然可以保證控制系統(tǒng)的魯棒性，但對模型中存在不確定擾動卻無法克服，而克服模型中的不確定因素，自適應(yīng)控制有先天性優(yōu)勢，以下主要給出自適應(yīng)的設(shè)計過程。令等式中wx=0，即只考慮系統(tǒng)存在不確定因素Λ和f(x)時，則等式簡化為

(29)

式中，f(x)是系統(tǒng)動態(tài)中所有不確定因素。針對蛇形機(jī)動，f(x)主要與P,β,R,δR相關(guān)。記為

f(x)=f1(P)+f2(β)+f3(R,δR)

(30)

由以上分析可知：航向通道主要作用是實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎消除側(cè)滑角，故忽略f2(β)的影響；f3(R,δR)體現(xiàn)的是操縱交叉耦合不確定性，此項耦合在設(shè)計控制律之初已經(jīng)考慮且與方向舵帶來的滾轉(zhuǎn)力矩和副翼操縱滾轉(zhuǎn)力矩相比可基本忽略不計。同時假設(shè)簡化后不確定函數(shù)可寫成已知基本函數(shù)和未知常值系數(shù)的線性組合，故蛇形機(jī)動過程中不確定因素簡化為

f(x)=f1(P)=ΘTΦ(xp) 。

(31)

(32)

假設(shè)最終控制輸入u=ubl+uad，設(shè)計目的是通過自適應(yīng)補(bǔ)償輸入uad來抵消Λ和f(x)對系統(tǒng)的影響。經(jīng)過魯棒伺服設(shè)計之后，控制輸入ubl為

(33)

將u=ubl+uad代入式(33)改寫狀態(tài)方程為

(34)

而ubl=-KLQRx，將其代入式(34)最終得

(35)

(36)

(37)

(38)

所以系統(tǒng)對不確定因素的補(bǔ)償輸入為

(39)

(40)

為了保證自適應(yīng)控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，設(shè)計徑向無界的二次Lyapunov函數(shù)

(41)

(42)

應(yīng)用矢量恒等式aTb=tr(baT)得

(43)

(44)

假設(shè)自適應(yīng)速率分別為Γu,ΓΘ，它們分別對應(yīng)于x和Φ(xp)，故系統(tǒng)的自適應(yīng)律為

(45)

則總的控制輸入為

(46)

綜合舵效以及滾轉(zhuǎn)阻尼導(dǎo)數(shù)對滾轉(zhuǎn)回路的影響，取f(x)=f1(P)=KPP，根據(jù)不確定性分析取Λ=0.7，KP=-1，這些特定的選擇對應(yīng)于控制有效性水平MδA和滾轉(zhuǎn)阻尼MP，而且不確定性是有意選擇的，目的是使得LQR閉環(huán)短周期開環(huán)動態(tài)不穩(wěn)定。經(jīng)過調(diào)試，最終選取自適應(yīng)率Γbl=50,ΓP=10。線性條件響應(yīng)如圖4所示，RSLQR在無擾動時控制效果良好，但是在擾動存在時控制動態(tài)性能變差，而加入自適應(yīng)后系統(tǒng)輸出動態(tài)性能明顯改觀，證明自適應(yīng)在線補(bǔ)償策略起到很好的作用。

圖4 系統(tǒng)的指令跟蹤性能Fig.4 Tracking performance of system instruction

綜上，蛇形機(jī)動時橫側(cè)向控制結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5 橫側(cè)向蛇形機(jī)動控制律Fig.5 Lateral-directional flight control law of S maneuver

4 蛇形機(jī)動指令

圖6 蛇形機(jī)動飛行過程與控制指令生成對應(yīng)關(guān)系Fig.6 The relationship between flight process and control instructions generation

圖中,A′,B′,C′,D′的航跡角分別為A′(φcmd),B′(φcmd),C′(-φcmd),D′(-φcmd)，其物理意義為當(dāng)飛機(jī)的航跡角大于或者等于航跡角指令時，就需要通過控制改變滾轉(zhuǎn)角以減小航跡角。為了得到合理的控制指令，首先對蛇形機(jī)動的運(yùn)動軌跡進(jìn)行分析。下面分析蛇形機(jī)動半個周期的運(yùn)動狀態(tài)。如圖6a所示，飛機(jī)從初始狀態(tài)右滾，到達(dá)A′點(diǎn)時，即φ=φcmd，為了減小航跡角，飛機(jī)需要進(jìn)行左滾。因響應(yīng)需要時間，故航跡角會由φcmd增大至φmax，記此點(diǎn)為E′。當(dāng)航跡角再由φmax減小至φcmd，此時飛機(jī)到達(dá)B′點(diǎn)。

飛機(jī)到達(dá)B′點(diǎn)，因飛機(jī)當(dāng)前處于左滾，航跡角會繼續(xù)減小，當(dāng)航跡角由φcmd減小到0°時，記此點(diǎn)為F′，此時慣性系下的側(cè)向位移達(dá)到最大值L。此時需要減小側(cè)向位移，所以飛機(jī)繼續(xù)保持左滾。當(dāng)航跡角由0°減小至-φcmd處時，飛機(jī)到達(dá)C′點(diǎn)。

飛機(jī)到達(dá)C′點(diǎn)，即φ=-φcmd，此時需要右滾以增大航跡角。同樣，航跡角會先減小至-φmax再恢復(fù)到-φcmd。此時飛機(jī)到達(dá)D′點(diǎn)。

飛機(jī)到達(dá)D′點(diǎn)，飛機(jī)處于右滾，有利于航跡角減小，當(dāng)航跡角由-φcmd增加到0°，此時側(cè)偏距為0 m。蛇形機(jī)動側(cè)向位移響應(yīng)的半個周期結(jié)束。按照此過程分析，滾轉(zhuǎn)角、航跡角與側(cè)向位移之間的相位關(guān)系見圖6b。根據(jù)圖6b的相位關(guān)系，確定基于滾轉(zhuǎn)角控制的蛇形機(jī)動指令形式為

(47)

5 蛇形機(jī)動控制律仿真

根據(jù)上述蛇形機(jī)動各物理量的動態(tài)變化過程，最終選取蛇形機(jī)動的控制指令為：滾轉(zhuǎn)角指令φcmd和航跡角指令φcmd。在包線范圍內(nèi)，為了充分發(fā)揮樣例無人機(jī)蛇形機(jī)動的能力，選取滾轉(zhuǎn)角指令φcmd=25°，選取航跡角指令φcmd=20°。則根據(jù)式(47)選取蛇形機(jī)動控制指令為

(48)

選取海拔高度在1 km，指示空速141 m/s的初始飛行狀態(tài)進(jìn)入蛇形機(jī)動。下面選取無擾動、風(fēng)擾動以及參數(shù)攝動3種情況在非線性環(huán)境下仿真。

1) 無擾動情況。

為了清晰地看出機(jī)動軌跡，圖7給出水平面內(nèi)兩個機(jī)動軌跡周期，其余信號只給出一個周期內(nèi)變化情況。在無干擾情況下，根據(jù)仿真曲線可以看出，在蛇形機(jī)動過程中側(cè)滑角誤差保持在±0.5°以內(nèi)，說明方向舵協(xié)調(diào)消除誤差策略起到良好的效果；根據(jù)滾轉(zhuǎn)角速率響應(yīng)可以看出，蛇形機(jī)動過程中滾轉(zhuǎn)角速率峰值達(dá)到38 (°)/s且響應(yīng)平穩(wěn)無超調(diào)，說明控制策略兼顧了快速性和控制品質(zhì)的要求，進(jìn)一步證明了控制策略的合理性和有效性。

圖7 正常無風(fēng)擾動條件Fig.7 Normal no wind disturbance conditions

2) 風(fēng)擾動情況。

為了驗(yàn)證控制律的魯棒性，需要驗(yàn)證無人機(jī)在風(fēng)擾動情況下的機(jī)動品質(zhì)。在慣性坐標(biāo)系下加入±15 m/s的順逆風(fēng)干擾。仿真情況如圖8所示。

圖8 順逆風(fēng)擾動條件Fig.8 Downwind and upwind disturbance conditions

根據(jù)圖8可知，樣例靶機(jī)在慣性坐標(biāo)系下加入順逆風(fēng)后，機(jī)動飛行中各物理量較無風(fēng)條件下無明顯的變化，說明本文采用的魯棒伺服控制為主、自適應(yīng)為輔的主輔架構(gòu)控制結(jié)構(gòu)可以較好地克服大氣環(huán)境變化帶來的不確定性和未知擾動，進(jìn)一步證明了控制策略的可行性和合理性。

3) 參數(shù)攝動情況。

選取蛇形機(jī)動的參數(shù)攝動主要包括副翼舵舵效、方向舵舵效各衰減30%和重心后拉偏0.2 m，仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 參數(shù)攝動條件Fig.9 Parameter interference conditions

通過對副翼舵舵效、方向舵舵效以及重心位置分別進(jìn)行拉偏仿真測試，從仿真測試結(jié)果前后對比可明顯看出，樣例靶機(jī)在參數(shù)攝動的干擾條件下，各物理量響應(yīng)均在正常的范圍內(nèi)，無明顯波動，說明設(shè)計的控制律可以容忍并克服此項干擾，從而證明了本文所采取的控制策略具有很強(qiáng)的抗擾動性能。

綜合仿真結(jié)果可以看出：在無風(fēng)標(biāo)定情況下機(jī)動指令的選取和控制律的設(shè)計滿足了蛇形機(jī)動的目標(biāo)，符合控制的需求；風(fēng)干擾雖然影響了航跡角的響應(yīng)，造成滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)的提前或滯后，導(dǎo)致水平面內(nèi)蛇形軌跡表現(xiàn)出一定的不對稱性，但是各信號量品質(zhì)和標(biāo)定情況相差無幾，依然滿足設(shè)計指標(biāo)；參數(shù)攝動的情況下，由于設(shè)計控制律的強(qiáng)魯棒性，保證了參數(shù)攝動情況下控制量零誤差、高動態(tài)、無超調(diào)地跟蹤控制指令，控制效果良好，滿足設(shè)計需求。

6 結(jié)束語

本文以某靶機(jī)為研究對象，采用了以魯棒伺服控制為主，以自適應(yīng)控制為輔的控制策略，設(shè)計了蛇形機(jī)動的控制律。魯棒伺服控制保證控制系統(tǒng)的魯棒性能，結(jié)合自適應(yīng)的補(bǔ)償原理，保證了在不確定性存在的條件下依然能良好地跟蹤控制指令。仿真曲線表明，在蛇形機(jī)動過程中，滾轉(zhuǎn)角能夠快速、穩(wěn)定、零誤差地跟蹤控制指令且快速消除側(cè)滑角。同時，為了驗(yàn)證控制律的抗擾動能力，對樣例靶機(jī)在氣動系數(shù)、重心位置拉偏以及風(fēng)擾動環(huán)境下進(jìn)行仿真測試，測試結(jié)果表明蛇形機(jī)動控制律具有良好的魯棒性，這也更加證明本文采用的魯棒伺服加自適應(yīng)主輔架構(gòu)的控制策略具有良好的理論研究和工程應(yīng)用價值。

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