播下理解的種子
——以教學(xué)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)幾倍的實(shí)際問(wèn)題”一課為例

江蘇無(wú)錫市東林小學(xué)（214000） 吳 萍

小學(xué)階段是打基礎(chǔ)的階段,是播種培根的階段，而低學(xué)段數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量更是重中之重，直接影響學(xué)生日后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的質(zhì)量，關(guān)系到學(xué)生的“數(shù)學(xué)之樹(shù)”能否生根、發(fā)芽、開(kāi)花、結(jié)果。“倍”是比較數(shù)量時(shí)一種較常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，在各大版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中均涉及關(guān)于“倍”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，可以說(shuō)，“倍的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)經(jīng)典的概念課。二年級(jí)的學(xué)生在學(xué)習(xí)本課時(shí)已經(jīng)具備了比較兩數(shù)產(chǎn)生相差關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，有了除法、平均分等知識(shí)儲(chǔ)備，也積累了相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)與方法。此課為首次認(rèn)識(shí)“倍”，是起始課，在初步認(rèn)識(shí)“倍”，會(huì)解決求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的問(wèn)題后，學(xué)習(xí)鏈將延伸到求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的實(shí)際問(wèn)題、和倍問(wèn)題、差倍問(wèn)題、倍比關(guān)系等知識(shí)發(fā)展鏈中。可以說(shuō)，學(xué)生初次對(duì)倍的認(rèn)識(shí)是否扎實(shí)，對(duì)概念的理解是否通透，直接影響著后續(xù)相關(guān)學(xué)習(xí)鏈的起點(diǎn)與質(zhì)量。基于這樣的思考，在教學(xué)此課時(shí)，旨在幫助學(xué)生在具體情境中和在多次的比較中理解倍的含義，讓學(xué)生知道解決求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的實(shí)際問(wèn)題就是想一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)，會(huì)用除法來(lái)計(jì)算，使學(xué)生經(jīng)歷交流和思考的過(guò)程,增強(qiáng)表達(dá)的意識(shí)與能力，讓學(xué)生做到學(xué)以致用、舉一反三、融會(huì)貫通。

一、把握起點(diǎn)，導(dǎo)入新知

師（出示自己的個(gè)人照片）：猜猜老師有多少歲？（用“猜大了”或“猜小了”等提示學(xué)生；畫(huà)出一條線段，標(biāo)上“40 歲”）

師（出示一張學(xué)生照片，再畫(huà)一條線段，并標(biāo)上“10歲”）：比一比我倆的年齡，你發(fā)現(xiàn)了什么？

師：在我們身邊找一些事物來(lái)比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？和同桌互相說(shuō)說(shuō)。

【評(píng)析：上課之前，學(xué)生已經(jīng)有了比較的經(jīng)驗(yàn)，知道兩數(shù)相比會(huì)產(chǎn)生相差關(guān)系，因此，教師由此導(dǎo)入新知，不但找到了學(xué)生學(xué)習(xí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，還將其自然地延伸到比較兩個(gè)數(shù)量的另一種角度——倍。】

二、兩次比較，學(xué)習(xí)新知

（一）比較帶子的長(zhǎng)度，初步建立“倍”的概念

1．設(shè)疑

師（拿出一根綠帶子和一根紅帶子）：將一端對(duì)齊后比一比，能看出什么？比一比，很容易就發(fā)現(xiàn)兩根帶子長(zhǎng)度間的相差關(guān)系。不過(guò)，它們之間還藏著另一種關(guān)系，讓我們換個(gè)角度再來(lái)比一比。

2.經(jīng)歷

師：如果把綠帶子的長(zhǎng)看作1份（板書(shū)：1份），估一估，紅帶子的長(zhǎng)有幾個(gè)這樣的一份？可以嘗試用綠帶子這一份來(lái)量一量。1份、2份……正好是這樣的3份。

3.揭示

師：剛才我們?cè)诒容^帶子的長(zhǎng)度時(shí)，把綠帶子的長(zhǎng)看作1份，得到紅帶子的長(zhǎng)有3個(gè)這樣的一份，因此紅帶子的長(zhǎng)是綠帶子的3倍。

4.反思

師：想一想，我們是怎么知道“紅帶子的長(zhǎng)是綠帶子的3倍”的？（出示題目：把（ ）看作一份，（ ）有（ ）個(gè)這樣的一份，（ ）的長(zhǎng)是（ ）的（ ）倍）

5.變式鞏固

①綠帶子這一份的長(zhǎng)不變，紅帶子的長(zhǎng)再添2份，現(xiàn)在紅帶子的長(zhǎng)是綠帶子的（ ）倍。你是怎么知道的？

②（出示：綠帶子1份，紅帶子2份）紅帶子的長(zhǎng)是綠帶子的（ ）倍。和同桌說(shuō)說(shuō)你是怎么知道的。

③若將綠帶子的長(zhǎng)剪去一半，而紅帶子的長(zhǎng)不變，現(xiàn)在紅帶子的長(zhǎng)還是綠帶子的2倍嗎？應(yīng)該是幾倍？你是怎么知道的？

6.回顧整理

師（將比較紅、綠帶子的圖文放在一起）：讓我們一起回顧剛才比較帶子長(zhǎng)度的學(xué)習(xí)過(guò)程，在比較帶子的長(zhǎng)度時(shí)，我們從另一個(gè)角度“倍”來(lái)進(jìn)行觀察與思考，把一段長(zhǎng)度看作一份，另一段長(zhǎng)度里有幾個(gè)這樣的一份，就是它的幾倍。今天我們就一起來(lái)認(rèn)識(shí)“倍”。（揭題）

【評(píng)析：在“較兩根帶子的長(zhǎng)度是學(xué)生學(xué)習(xí)新知時(shí)的第一次比較，在設(shè)疑—經(jīng)歷—揭示—反思—變式鞏固—回顧整理”這些環(huán)節(jié)中，學(xué)生經(jīng)歷了比較的過(guò)程、思考的過(guò)程、表達(dá)的過(guò)程，認(rèn)識(shí)到在比較兩根帶子的長(zhǎng)度時(shí)，把一段長(zhǎng)度看作一份，另一段長(zhǎng)度里有幾個(gè)這樣的一份就是它的幾倍。雖然帶子圖看起來(lái)像是線段圖的雛形，和例題的比較花朵相比要更抽象，但對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，相比較“把一段長(zhǎng)度看作一份”和“例題中把兩朵藍(lán)花看作一份”，前者會(huì)更清晰明了，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，更有利于學(xué)生初步建立“倍”的概念?！?/p>

（二）比較花的朵數(shù)，鞏固對(duì)“倍”的認(rèn)知

師：比較了帶子的長(zhǎng)度，再來(lái)比比花園里花的朵數(shù)（藍(lán)花：2朵；黃花：6朵；紅花：8朵），找找與倍有關(guān)的關(guān)系。

1.比較藍(lán)花和黃花的朵數(shù)

師：黃花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？要求什么？想一想剛才比較帶子的過(guò)程，比較藍(lán)花和黃花的朵數(shù)時(shí)，是把什么看作一份？黃花呢？

師：在比較時(shí)，可以把2朵藍(lán)花看作一份，為了看得更清楚，把2朵藍(lán)花圈起來(lái)表示1份，那么黃花朵數(shù)里有幾個(gè)這樣的1份？幾朵圈一圈？幾個(gè)2朵？我來(lái)圈，你們來(lái)數(shù)。

生（齊）：1個(gè)2朵，2個(gè)2朵，3個(gè)2朵。

師：把2朵藍(lán)花看作一份，黃花有3個(gè)2朵，那么黃花的朵數(shù)是藍(lán)花的3倍。

2.比較藍(lán)花和紅花的朵數(shù)

師：紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？要求這個(gè)問(wèn)題你會(huì)選擇哪兩個(gè)條件？

師：你會(huì)把什么看作一份，幾朵圈一圈？請(qǐng)你圈一圈，然后填一填“紅花有（ ）個(gè)2朵，紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的（ ）倍”。

師：知道了藍(lán)花有2朵，紅花有8朵，要求紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍，除了用圈一圈的方法，還有其他的方法嗎？

（學(xué)生交流除法算式蘊(yùn)含的算理）

師（整理）：藍(lán)花有2朵，紅花有8朵，要求紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍，就是想紅花的朵數(shù)里有幾個(gè)藍(lán)花那么多，也就是求8里面有幾個(gè)2。把8朵花按2朵、2朵……這樣分一分，能分成幾份？用除法計(jì)算8÷2=4。

師：由于“倍”表示兩個(gè)數(shù)量間的關(guān)系，并不表示具體的數(shù)量，因此倍不是單位名稱，得數(shù)后面不需寫(xiě)“倍”。

師：要求黃花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍，還可以用除法計(jì)算，關(guān)于這一點(diǎn)，請(qǐng)你把你的想法和同桌說(shuō)一說(shuō)。

3.回顧與整理

師（將兩種方法放在一起）：在比較藍(lán)花和黃花的朵數(shù)時(shí)，要求黃花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍，可以把2朵藍(lán)花看作一份，圈一圈、數(shù)一數(shù)就能找到答案，也可以直接想8里面有幾個(gè)2，用除法算式來(lái)算一算。

4.變式與鞏固

師：再來(lái)比一比下面的藍(lán)花和紅花。

①（藍(lán)花：3朵；紅花：15朵）紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的（ ）倍。

②（藍(lán)花：5朵；紅花：15朵）紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的（ ）倍。

師：紅花的朵數(shù)都是15朵，為什么紅花的朵數(shù)一會(huì)兒是藍(lán)花的5倍，一會(huì)兒又是藍(lán)花的3倍？（突出看作一份的藍(lán)花朵數(shù)變了，紅花的朵數(shù)和藍(lán)花的朵數(shù)的倍數(shù)關(guān)系也隨之變化）

5.比較內(nèi)化

師：藍(lán)花有8朵、紅花有72朵，紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？你選擇圈數(shù)的辦法還是列式計(jì)算的方法？（讓學(xué)生體會(huì)：當(dāng)比較的數(shù)量比較大時(shí)，圈數(shù)的方法不夠方便，直接列式計(jì)算更簡(jiǎn)捷）

師：藍(lán)花5朵、黃花3朵、紫花9朵、粉花10朵、紅花100朵……這里有很多花，比一比，粉花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？怎么解決？誰(shuí)能提出新的問(wèn)題？

生1：紅花的朵數(shù)是粉花的幾倍？

師：你能學(xué)以致用，真了不起！你能列出解決問(wèn)題的算式嗎？

師（總結(jié)）：知道了兩種花的朵數(shù)，要求一種花的朵數(shù)是另一種花的幾倍，就是想一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)，用除法計(jì)算。

【評(píng)析：這是學(xué)習(xí)新知的第二次比較，即例題教學(xué)——比較花的朵數(shù)。“比較了帶子的長(zhǎng)度，再來(lái)比比花園里花的朵數(shù)。”“紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？要求這個(gè)問(wèn)題你會(huì)選擇哪兩個(gè)條件？”……課始，教師首先設(shè)計(jì)了根據(jù)問(wèn)題選擇條件的環(huán)節(jié)，適時(shí)滲透數(shù)量關(guān)系，學(xué)生就能很自然地進(jìn)行遷移，將2朵藍(lán)花看作一份，教師圈，學(xué)生數(shù)，很快就找到了答案。接著，教師順勢(shì)提出問(wèn)題：“紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍？”“你會(huì)把什么看作一份？幾朵圈一圈？”待學(xué)生通過(guò)圈一圈、填一填順利解決問(wèn)題后，教師又話鋒一轉(zhuǎn)，讓學(xué)生尋找其他方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。至此，溝通了除法的含義，學(xué)生已經(jīng)能理解和解釋除法算式的合理性。隨后，進(jìn)入鞏固變式練習(xí)，用極易混淆的題組來(lái)幫助學(xué)生夯實(shí)“一份數(shù)，幾朵一圈”和“求一個(gè)數(shù)里有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)用除法計(jì)算”，學(xué)生就能感受到“一份數(shù)的變化，另一個(gè)數(shù)不變，相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系也會(huì)發(fā)生變化”。當(dāng)知道藍(lán)花8朵、紅花72朵，要求紅花的朵數(shù)是藍(lán)花的幾倍時(shí)，很多學(xué)生都能選擇“算”這一簡(jiǎn)便和快捷的方法。最后，教師給出各種數(shù)量的花，讓學(xué)生提一個(gè)有關(guān)倍的問(wèn)題并解答，再次夯實(shí)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的實(shí)際問(wèn)題用除法計(jì)算”的知識(shí)?！?/p>

三、兩次比較，具象到抽象

師：回頭看師生年齡圖，再來(lái)比一比兩人的年齡，你能從新的角度找到新的發(fā)現(xiàn)嗎？

師：40里面有4個(gè)10，40是10的4倍。在5、15、3、6、12、4、2、8 、24中找兩個(gè)數(shù)比一比。比如說(shuō)，15是 5的幾倍？

【評(píng)析：教師往往只關(guān)注學(xué)生以具體形象思維為主的特征，于是教學(xué)長(zhǎng)期停留在就事論事的層次，但是，沒(méi)有抽象的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，學(xué)生的認(rèn)知就得不到提升，這會(huì)給學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展造成障礙。因此，設(shè)計(jì)這一抽象的環(huán)節(jié)，有兩個(gè)意圖：一是溝通課前比較年齡的知識(shí)點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生用新的角度再來(lái)比較兩個(gè)數(shù)量；二是將數(shù)量抽象成兩個(gè)數(shù)之間的比較，給出一列數(shù)，找到相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系。這是學(xué)習(xí)中新知的第三次和第四次比較，從具象走向抽象，更有利于學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)?！?/p>

四、回顧整理，全課小結(jié)

師：回顧這節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，比較帶子的長(zhǎng)度，比較花的朵數(shù)，比較年齡的大小，比較兩個(gè)數(shù)，都可以從一個(gè)新的角度“倍”來(lái)進(jìn)行思考，要解決“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以用什么？

【評(píng)析：這是對(duì)全課的回顧與整理，回顧了四次比較，凸顯了比較時(shí)的新角度——倍，及如何解決求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的實(shí)際問(wèn)題?！?/p>

五、走近生活，認(rèn)識(shí)倍

師：生活中也藏著有關(guān)倍的知識(shí)，讓我們來(lái)看一看。

（1）甲型流感傳播能力為普通流感的4倍。

你想支些什么招？——生活小細(xì)節(jié)，決定大健康。

（2）事半功倍和事倍功半

事半功倍：指做事有方法，費(fèi)力小，效果好。

事倍功半：指做事費(fèi)了好大的力氣，效果卻很差。

在學(xué)習(xí)生活中你愿意事半功倍還是事倍功半？

【評(píng)析：到生活中找一找“倍”，能夠溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，與語(yǔ)文、生活指導(dǎo)及思品課程等的鏈接，也有利于學(xué)生綜合能力的發(fā)展?！?/p>

六、拓展提升

【評(píng)析：拓展性練習(xí)以線段圖的方式呈現(xiàn)，一方面考慮到線段圖是學(xué)生學(xué)習(xí)和理解數(shù)量關(guān)系的好幫手，也是解決問(wèn)題的工具之一，在低段課中滲透線段圖，能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)并主動(dòng)用線段圖解決問(wèn)題；另一方面是線段圖能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)多角度地思考以及擁有靈活的解決問(wèn)題的思路與方式。第1題是比較三個(gè)數(shù)量，兩兩相比，發(fā)現(xiàn)其中清晰以及隱藏的倍數(shù)關(guān)系；第2題是從今天的學(xué)習(xí)延伸到今后的學(xué)習(xí)中，通過(guò)條件和問(wèn)題的四次變換，引導(dǎo)學(xué)生在變換中能根據(jù)自己對(duì)倍的認(rèn)識(shí)和理解舉一反三、融會(huì)貫通。】

低段的數(shù)學(xué)概念看似簡(jiǎn)單，卻包含著知識(shí)的本質(zhì)，低段的概念教學(xué)是種子的教學(xué)，是培根的教學(xué)，關(guān)系到學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。因此，教師不僅要研究教材、把握教材，明晰數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、起源以及發(fā)展體系和結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，還要研究學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和學(xué)習(xí)特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，夯實(shí)概念理解，加強(qiáng)回顧與反思，注重延伸與拓展，將概念理解的種子有效播種于日常教學(xué)中。