一種結(jié)合Rosenbrock算法的混合MIMIC算法及其應(yīng)用

夏桂梅，張 丹，趙晉彬

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

MIMIC算法是一種依賴于解空間分布，具有較強(qiáng)全局搜索能力的分布估計(jì)算法， Rosenbrock算法是一種局部求精能力強(qiáng)的的優(yōu)化算法。本文將MIMIC算法與Rosenbrock算法相結(jié)合，提出一種結(jié)合Rosenbrock算法的混合MIMIC算法——Rb-MIMIC算法，并將其應(yīng)用在蝸桿傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。

蝸桿傳動(dòng)是一種具有傳動(dòng)比大，結(jié)構(gòu)緊湊，傳動(dòng)平穩(wěn)，可實(shí)現(xiàn)自鎖等優(yōu)點(diǎn)的空間嚙合傳動(dòng)，用于在空間交錯(cuò)的兩軸間傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力。蝸桿傳動(dòng)在機(jī)床，汽車，起重機(jī)械等很多領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用。通常采用碳鋼或合金鋼制蝸桿，采用青銅鑄造蝸輪，這樣可以使傳動(dòng)副具有良好的耐磨性，但是在制造過程中往往因?yàn)樵O(shè)計(jì)問題造成有色貴重金屬的浪費(fèi)。為了減少浪費(fèi)，降低成本，將蝸輪齒圈體積最小作為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)[1-4]。本文采用結(jié)合了Rosenbrock算法的MIMIC算法對(duì)蝸桿金屬圈體積進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，取得了良好的優(yōu)化結(jié)果。

1 結(jié)合Rosenbrock法的混合MIMIC算法

1.1 MIMIC算法

MIMIC(Mutual Information Maximization for Input Clustering)算法，是在1997年由美國(guó)MIT人工智能實(shí)驗(yàn)室的De Bonet等人提出的一種基于雙變量相關(guān)模型的分布估計(jì)算法[5]。算法通過在初始群體中建立一個(gè)概率模型，使得該模型可以描述解的分布，然后對(duì)概率模型進(jìn)行隨機(jī)采樣來產(chǎn)生新的種群，如此反復(fù)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)種群的進(jìn)化，直至得到滿意解6]。

在MIMIC算法中定義解空間概率分布模型：

其中，h(X)=-∑xP(X=x)logp(X=x)，

h(X|Y)=-∑yh(X|Y=y)p(Y=y)

h(X|Y=y)=

-∑x(p(X=x|Y=y)logp(X=x|Y=y))

MIMIC算法的過程是一個(gè)不斷更新概率模型，從而使概率模型越來越能反映優(yōu)秀個(gè)體的分布的過程，所以算法在進(jìn)化過程中，過于依靠解空間分布，導(dǎo)致算法在后期的進(jìn)化過程中速度變慢，種群的多樣性減少，這說明MIMIC算法具有比較強(qiáng)的全局搜索能力，但是局部求精能力較弱且易早熟。為了有效提高M(jìn)IMIC算法的尋優(yōu)能力，本文是在種群的進(jìn)化過程中加入了局部求精能力強(qiáng)，收斂速度快的旋轉(zhuǎn)方向法(Rosenbrock)，提出一種結(jié)合Rosenbrock法的分布估計(jì)算法(Rb-MIMIC).

1.2 Rb-MIMIC算法

旋轉(zhuǎn)方向法又稱轉(zhuǎn)軸法，是Rosenbrock于1960年提出的，Rosenbrock法是在當(dāng)前點(diǎn)構(gòu)造n個(gè)正交方向，然后在構(gòu)造的每個(gè)方向進(jìn)行探測(cè)移動(dòng)，找到函數(shù)值減小最快的方向，移動(dòng)某個(gè)步長(zhǎng)，然后利用軸向的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生一組新的方向作為下一次迭代的軸向，如此循環(huán)[7]。Rosenbrock法是一種局部搜索算法，具有較強(qiáng)的局部求精能力，而MIMIC算法的全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，但局部搜索能力較弱，易早熟，所以在MIMIC算法進(jìn)化過程中可以加入Rosenbrock法來提高算法的尋優(yōu)能力和效率。在MIMIC算法中，由于新個(gè)體的產(chǎn)生規(guī)則單一，導(dǎo)致新群體個(gè)性差異較小，為了增加種群的個(gè)性差異，同時(shí)又不背離群體的分布模型，在生成新的群體時(shí)，從當(dāng)前群體中隨機(jī)選擇出部分個(gè)體利用Rosenbrock法進(jìn)行搜索，將得到的新個(gè)體作為新群體中的一部分。具體步驟如下

步1 初始化群體。隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)個(gè)體作為初始群體pop.

步2 將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題[8-9]，這里利用罰函數(shù)法。

步3 評(píng)價(jià)適應(yīng)值。計(jì)算種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)值，如果滿足算法的終止條件，則算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)至下一步。算法的終止條件為達(dá)到規(guī)定的進(jìn)化代數(shù)(200代)，或者連續(xù)若干代(25代)最優(yōu)值沒有變化，或者誤差在某個(gè)范圍內(nèi)(10-10).

步4 選擇優(yōu)勢(shì)群體。算法采用截?cái)喾ê洼啽P賭法選擇S(N/2)個(gè)個(gè)體作為優(yōu)勢(shì)群體，并保留p個(gè)最優(yōu)個(gè)體。

步5 Rosenbrock法搜索。從當(dāng)前群體中隨機(jī)選擇T個(gè)個(gè)體作為初始點(diǎn)進(jìn)行Rosenbrock搜索，將得到的新個(gè)體作為新一代群體的一部分，增加種群的多樣性。

步6 根據(jù)貪婪算法尋找最優(yōu)排列構(gòu)建概率模型。

1)使用in=argminjhl(Xj)，找出排列θ=(i1,i2,…in)中的in；

2)對(duì)任意k=n-1,…,1，由式ik=argminjhl(Xj|Xk+1)，其中k≠ik+1,…,in，計(jì)算出排列θ=(i1,i2,…in)；

3)計(jì)算出概率分布

步7 采樣得到新個(gè)體。按逆序的方法依據(jù)概率模型采樣N-T-p次，與步3保留的p個(gè)最優(yōu)個(gè)體及Rosenbrock法得到的T個(gè)個(gè)體組成新一代群體，轉(zhuǎn)步2.

圖1 算法流程圖
Fig.1 Basic flow chart of algorithm

2 應(yīng)用實(shí)例

以某單級(jí)普通圓柱蝸桿齒輪減速器為例3]，它的輸入功率P1=6 kW，轉(zhuǎn)速n1=1 450 r/min，傳動(dòng)比i=20，載荷系數(shù)K=1.1，蝸輪齒圈許用接觸應(yīng)力[σH]=220 MPa.

2.1 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

圖2所示的是蝸輪齒圈尺寸結(jié)構(gòu)示意圖，包括：

圖2 蝸輪齒圈結(jié)構(gòu)示意圖
Fig.2 Worm gear ring structure diagram

齒頂圓直徑da、齒根圓直徑df、齒圈內(nèi)徑d0、齒圈的外徑de、齒寬b.蝸輪的齒圈體積為:

(1)

(2)

式(2)中，z2是蝸輪齒數(shù)；z1是蝸桿齒數(shù)；i是傳動(dòng)比，通常情況下是已知的；m是蝸輪模數(shù)；ψb是齒寬系數(shù)，按照蝸桿齒數(shù)不同，取0.75或0.67，通常情況下當(dāng)z1=1～2時(shí)，ψb=0.75，當(dāng)z1=3～6時(shí)，ψb=0.67；da1是蝸桿齒頂圓直徑；q是直徑系數(shù)；ψe是蝸輪齒圈外徑系數(shù)；按照蝸桿齒數(shù)的不同，取2、1.5、1.

將式(2)代入(1)中，可以將體積公式轉(zhuǎn)化為:

[(iz1+ψe+2)2-(iz1-4.4)2]

(3)

由式(3)可以看出，蝸輪齒圈體積與蝸桿頭數(shù)z1，模數(shù)m，直徑系數(shù)q有關(guān)，因此，選取蝸桿頭數(shù)z1，模數(shù)m，直徑系數(shù)q作為設(shè)計(jì)變量，即X=(x1,x2,x3)=(z1,m,q)，所以式(3)可以改寫為:

V=f(x)=

(ix1-4.4)2]

(4)

2.2 確定約束條件

(5)

2)蝸桿剛度的限制[4]。蝸桿工作時(shí)最大撓度不大于0.001d=0.001mq，即:

(6)

(3)蝸桿頭數(shù)的限制。一般要求2≤z1≤3，因此有:

g3(x)=x1-3≤0

(7)

g4(x)=2-x1≤0

(8)

(4)模數(shù)的限制。對(duì)于中小功率得蝸桿傳動(dòng)，一般要求3≤m≤5，因此有

g5(x)=x2-5≤0

(9)

g6(x)=3-x2≤0

(10)

(5)蝸桿直徑系數(shù)的限制。對(duì)于上述的模數(shù)范圍，要求5≤q≤16，因此有:

g7(x)=x3-16≤0

(11)

g8(x)=5-x3≤0

(12)

由上述可以得到蝸桿傳動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，式(4)是目標(biāo)函數(shù)，式(5)到式(12)為約束條件，可見這是一個(gè)非線性約束優(yōu)化問題，將本文提出的改進(jìn)后的MIMIC算法應(yīng)用在該模型中，進(jìn)行求解。

3 優(yōu)化結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

在實(shí)驗(yàn)中，MIMIC算法的參數(shù)設(shè)置如下，群體規(guī)模N=200，截?cái)噙x擇S=N/2，保留的最優(yōu)個(gè)體數(shù)p=20，最大迭代次數(shù)200，精度10-9，進(jìn)行Rosenbrock法的初始點(diǎn)個(gè)數(shù)T=20，Rosenbrock法的初始步長(zhǎng)δ=[1 1 1]，增大系數(shù)α=3，收縮系數(shù)β=0.5，分別進(jìn)行15次實(shí)驗(yàn)。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

表1 是經(jīng)過MIMIC算法和Rb-MIMIC算法對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化后得到的結(jié)果，由表1可以看出，改進(jìn)后的MIMIC算法，最優(yōu)值和平均最優(yōu)值明顯都要小于MIMIC算法，而我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果希望金屬圈體積盡可能的小，所以改進(jìn)后的MIMIC算法要優(yōu)于MIMIC算法，Rb-MIMIC算法在求精能力上有了顯著的提高。而且Rb-MIMIC算法相比MIMIC算法進(jìn)化代數(shù)也少了許多，說明Rb-MIMIC算法是一個(gè)可行的，求精能力強(qiáng)，收斂速度快的優(yōu)化算法。

將MIMIC算法和Rb-MIMIC算法得到的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行圓整，經(jīng)檢驗(yàn)，圓整后的結(jié)果滿足性能約束條件，將圓整后的結(jié)果與文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果進(jìn)行比較，對(duì)比結(jié)果見表2.經(jīng)過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，MIMIC算法和Rb-MIMIC算法相對(duì)于常規(guī)優(yōu)化設(shè)計(jì)，雖然蝸桿頭數(shù)增加了，但是齒圈體積卻大幅度減小，MIMIC算法和Rb-MIMIC算法優(yōu)化后的齒圈體積減少了31%，但是Rb-MIMIC算法的進(jìn)化代數(shù)明顯小于MIMIC算法，充分顯示了Rb-MIMIC算法的價(jià)值。

表1 MIMIC算法與Rb-MIMIC算法的比較
Tab.1 The comparison of MIMIC algorithm and Rb-MIMIC algorithm

算法最優(yōu)值平均最優(yōu)值蝸桿頭數(shù)z1模數(shù)m直徑系數(shù)q進(jìn)化代數(shù)MIMIC602066．91604401．3833．923585231650Rb?MIMIC601777．35602949．63433．9229782915．999694827

表2 優(yōu)化算法與常規(guī)設(shè)計(jì)對(duì)比結(jié)果
Tab.2 The results of optimization algorithm compared with conventional design

對(duì)比項(xiàng)蝸桿頭數(shù)z1模數(shù)m直徑系數(shù)q齒圈體積常規(guī)設(shè)計(jì)2518920226．4844MIMIC3416637934．1162Rb?MIMIC3416637934．1162

4 結(jié) 論

為了提高M(jìn)IMIC算法的局部求精能力，收斂速度，本文在MIMIC算法的進(jìn)化過程中加入局部求精能力強(qiáng)的Rosenbrock算法，利用Rosenbrock法隨機(jī)搜索若干個(gè)體，將得到的新個(gè)體作為新群體的一部分，增加種群的多樣性，從而使算法避免陷入早熟，使算法得到改進(jìn)。

蝸桿傳動(dòng)是機(jī)械優(yōu)化中一個(gè)廣泛的應(yīng)用，具有傳動(dòng)比大，傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)，但是在設(shè)計(jì)中往往把蝸輪體積設(shè)計(jì)的比較大，造成有色貴重金屬的浪費(fèi)。如何在確保傳動(dòng)性能穩(wěn)健可靠的前提下，使得蝸輪齒圈體積盡可能減小成為蝸桿傳動(dòng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)。本文將結(jié)合Rosenbrock算法的MIMIC算法應(yīng)用在蝸桿蝸輪傳動(dòng)優(yōu)化中。優(yōu)化結(jié)果相比MIMIC算法和常規(guī)優(yōu)化設(shè)計(jì)，體積顯著減少，降低了制造成本，且改進(jìn)后的MIMIC算法在收斂速度上也優(yōu)于傳統(tǒng)的MIMIC算法。優(yōu)化結(jié)果表明改進(jìn)后的MIMIC算法是一個(gè)有效的算法，求精能力強(qiáng)，收斂速度快，為蝸桿傳動(dòng)優(yōu)化等約束優(yōu)化問題提供了一種新的思路和方法。

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