提升思維品質 發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)
——從“高三導數(shù)綜合應用復習”說起

北京市第一〇一中學 謝 衛(wèi) 賀麗珍

在高三的教學實踐中，求解導數(shù)綜合問題對學生的思維能力要求較高，是培養(yǎng)學生思維能力的好素材。我們嘗試在導數(shù)綜合問題的教學中通過有效地設計教學過程，逐步引導學生克服思維障礙，打破思維瓶頸，明晰思維過程，提升思維品質。

下面以“高三復習課：導數(shù)綜合應用復習”為例，來談一談如何在高三專題復習課中提升思維品質，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、圍繞教學目標，精心設計數(shù)學問題

若想充分發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)，首先要留給學生充分的思考、討論、質疑的時間，讓生生對話、師生對話充分進行。一節(jié)課的教學內容不宜安排太多，應該少而精，選取能充分承載本內容所體現(xiàn)的數(shù)學思維特點的問題。比如，本節(jié)課只探討了一個問題。

問題：已知關于x的函數(shù)f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）當a=0時，求證：不等式f(x)≤x-1在區(qū)間（0，＋∞）上恒成立；（2）若在區(qū)間 ［1，＋∞）上，函數(shù)f(x)的圖象不出現(xiàn)在直線y＝x-1的上方，求a的最大值。

本題改編自2016成都模擬，原題是：

已 知 關 于x的 函 數(shù)f（x）＝ ln x＋a（x-1）2（a∈R）．

（1）求函數(shù)f（x）在點P（1，0）處的切線方程；

（2）若函數(shù)f（x）有極小值，試求a的取值范圍；

（3）若在區(qū)間［1，＋∞）上，函數(shù)f（x）不出現(xiàn)在直線y＝x-1的上方，試求a的最大值．

原題第（1）問是求在（1，0）處的切線，我們對第（1）問進行了改編：證明一個重要不等式ln x≤x-1，無論是把不等式恒成立問題轉化為構造函數(shù)進行研究的思路，還是這個不等式本身的結論都為第（2）問不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的解決提供思想方法和結論的支持。而且我們發(fā)現(xiàn)，很多函數(shù)問題都是在這些重要不等式的基礎上添加參數(shù)形成新的問題，都是由這些重要不等式生成的問題。

改編后的第（2）問的解決方法多樣，但研究函數(shù)與導數(shù)問題解決的特征：分析問題的結構、恰當構建函數(shù)、研究函數(shù)、解決問題是一致的，而且學生如果能整體分析函數(shù)解析式結構，合理作圖，整體把握問題，會找到簡潔的思路。

在高三復習課中如何精心選擇問題、改編問題？有以下幾個原則：（1）加強對數(shù)學知識本質及聯(lián)系的研究，把準教學內容的知識結構與要素。這樣，才能使所設計的問題具有“數(shù)學”性。（2）認真研究學生的思維過程。學習內容不同，學生的思維活動是不同的，認真分析學生的思維過程，才能使所設計的問題具有“思維”性。（3）精心選擇問題的起點、層次、跨度，同時注意所設計問題的系統(tǒng)性、整體性，使所設計的問題真正促進有效活動。（4）根據教學內容、學生情況，可以適當對原題進行改編，比如搭建臺階或者提出更加發(fā)散的問題等。

課前學生作答情況：

學生對于第（1）問的證明沒有障礙，書寫也比較嚴謹規(guī)范。對于第（2）問，所有學生都能夠將不等式恒成立轉化為作差構造函數(shù)

大部分學生把問題轉化為已知g（x）≤0，x≥1，構造差函數(shù)對a分類討論，求a的取值范圍。其中，有一多半學生注意到了可以直接應用第（1）問的結論，得到a≤ 0 時，g（x） ≤ 0 恒成立，但是a ＞ 0 時對每一類的函數(shù)特征敘述不清楚，尤其是對于a ＜這種情況，

學生能猜想g（x）≤ 0（x≥ 1）不恒成立，但找不到使得g（x）＞ 0的點，只有三、四名學生說清楚了。另外少數(shù)學生由于沒有聯(lián)系第（1）問，導致分類沒有思路，其中，有個別學生選擇用分離變量的方法構造函數(shù)，轉化為求新函數(shù)的最小值，但由于運算較煩鎖，只有一兩個同學做完整。

總體來說，第（2）問都寫得很煩瑣，但基本都沒全對，而且在獨立完成作業(yè)時沒有任何一名學生能夠從整體把握問題，抓住問題本質，得到最簡的解題思路。學生的作答情況反映了思維不夠嚴密，直觀思維欠缺、抽象能力偏弱、反思能力不強等數(shù)學思維方面的不足。

二、優(yōu)化教學過程，促進學生主動思維

在課堂教學中，我們通過設計針對性問題，給學生充分思考時間，讓學生充分參與，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)。在實際教學過程中，問題隨著課堂進程不斷生成和變化，教師要及時調整、反思與總結，以便真正與學生活動相吻合、促進學生主動思維，提升學生各方面的思維品質，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

在“導數(shù)綜合應用”中，根據我們對學生導數(shù)問題學習的調研和問題解答，分析得出學生運用導數(shù)等工具研究函數(shù)的初步性質掌握較好，但在解決函數(shù)綜合問題時有以下思維障礙：

（1）求導后無從下手，停留在操作層面，直觀性思維欠缺；

（2）不能恰當、有效地構建函數(shù)解決含有參數(shù)的方程和不等式問題；

（3）在解決問題過程中，數(shù)學運算能力欠缺。

針對學生在數(shù)學思維和能力上的不足，我們設計如下幾個教學環(huán)節(jié)：

（一）直觀性思維——數(shù)學的感知

第（1）問證明完畢后，我們提了如下問題：

不等式 ln x≤x-1（x＞0）的幾何意義是什么？等號成立的條件是什么？

學生畫出兩個函數(shù)的圖象（如圖1），從直觀上看到了不等式的幾何意義。

圖1

直觀性思維是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構建抽象結構的思維基礎。因此，每遇到一個代數(shù)結構，我們可以引導學生尋找它的幾何意義，幫助學生形成直觀性思維，從而優(yōu)化解題過程。

在學生具有了比較好的直觀性思維的基礎上，解決第（2）問時，把問題轉化為“已知 ln x+a(x-1)2≤x-1，求a的取值范圍”后，有的學生通過觀察、研究函數(shù)結構、畫出圖象，根據圖象整體特點，直接得到了答案。

圖2

當a=0時，第（1）問已證；求a的最大值，只需看a＞0。當a＞0時，拋物線開口向上，如圖2，在x≥1時，隨著x的增大，直線的增長速度保持不變，而拋物線增長得越來越快，所以當x充分大時，f(x) ＞ x-1總是成立，原不等式就不成立。因此，a ＞ 0都不符合，最大值就是0。

這時，教師給予總結：函數(shù)圖象能夠直觀形象地表示出函數(shù)的變化狀態(tài)，是我們在解決問題中需要特別關注的。但是不能以圖代證，還需要嚴格證明求解。

（二）特殊到一般——數(shù)學的聯(lián)想

在學生證明了第（1）問的不等式ln x≤x-1后，我們引導學生思考：

（1）你能得到類似的不等式嗎？比如，含有ex的不等式？

（2）試一試給這兩個不等式添加參數(shù)，使得不等式還成立，課后可以繼續(xù)思考。

學生得到：ex≥x+1（x∈R），從圖象上看，是關于y=x對稱的反函數(shù)，也可以證明，與 ln x≤x-1（x＞0）的證明方法類似。

學生還得到了以下不等式：

命題者很多時候就是在一些重要的不等式或方程中添加參數(shù)，構造一個求參數(shù)取值范圍或證明題，我們平時不妨引導學生主動構造一些新命題，或許能得到許多有趣的命題。

這個環(huán)節(jié)我們試圖挖掘命題者的命題思路，主動添加參數(shù)，構造新命題，讓學生學會整體把握問題，領悟數(shù)形結合、轉化與化歸、特殊與一般等數(shù)學思想。其實，任何一個數(shù)學問題的解決實際上是一個不斷轉化、不斷化歸的過程，更是一個不斷追根溯源的過程；從特殊到一般是數(shù)學探究的一條基本途徑也是培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)、提升學生科學品質的一條有效途徑，而培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)正是目前學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)的一個重要內容。

（三）直觀到運算——數(shù)學的抽象

如何嚴謹規(guī)范地解決第（2）問呢？在給予了學生充分思考的時間后，學生運用轉化思想得到：當a≤0時，問題直接轉化為（1）中的不等式；當a＞0時，不等式恒成立，通過作差構造函數(shù) :設g(x)=ln x+a(x-1)2- (x-1)，x≥ 1。

問題轉化為：x≥1，g(x)≤ 0恒成立，即x≥ ，gmax(x)≤0，即轉化為求函數(shù)的單調性和最大值問題。

下面是一個學生給出的解決過程：

數(shù)學抽象的實質是把握事物的本質，以簡馭繁，對學生抽象思維能力的培養(yǎng)應使得學生運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題。而數(shù)學運算實際是一種演繹推理，是解決數(shù)學問題的基本手段。

遇到某個數(shù)學概念或問題有多種途徑時，學會判斷選擇，尋找最佳途徑；遇到代數(shù)式，先關注代數(shù)結構，利用代數(shù)結構中提供的信息選擇轉化方向；關注運算中的化簡與整體意識，尋求并設計合理、簡捷的運算途徑。我們在教學過程中，應抓住時機進行不同運算方向的比較，使學生體會到數(shù)學運算智慧的重要性。

三、關注思維發(fā)展，引導學生積極反思

此時，我們似乎已經完美地尋找到了問題的解決方案，但這不是思維培養(yǎng)的最終目標。對問題做進一步的反思能力是數(shù)學素養(yǎng)的重要方面，經過反思，往往會有更深刻、更全面的認識。因此教學中，在完成對問題解決的第一個階段之后，我們要引導學生對問題和解答進行反思。

（一）數(shù)學反思之簡潔美

有學生發(fā)現(xiàn)了這個問題本質上的解法：其實不用求導，就可以解決第（2）問：

該生的解答簡潔干練，數(shù)學的簡潔之美感染了每一個學生，讓所有的學生感到震撼！每個學生的眼中流露出的躍躍欲試形成了本節(jié)課的第一個高潮。把問題分析透徹之后，整體把握函數(shù)結構和圖象特征，可以看到問題的本質，提升學生思維高度。愛因斯坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有借助數(shù)學，才能達到簡單性的美學準則。對問題進行反思和再認識，讓學生的數(shù)學素養(yǎng)得到了更深入的發(fā)展。

（二）數(shù)學反思之思維的多角度

一個學生提出對于第（2）問，他用分離變量的方法解決，過程如下：法則 ) 因此a≤ 0。

我們看到，這個學生沒有注意到與第（1）問的聯(lián)系，把第（2）問作為一個新問題，轉化為構造新函數(shù)（分離變量的方法）研究函數(shù)的最小值，其實，與前面作差構造新函數(shù)都是相同的思維過程，都是把不等式恒成立問題轉化為構造新函數(shù)，研究新函數(shù)最值的問題。這種構造方式，優(yōu)點是把參數(shù)完全分離出來，新函數(shù)不帶參數(shù)，不用分類討論；但像這個問題，新函數(shù)較復雜，求一次導數(shù)不能完全判斷符號，還需要把導函數(shù)作為新的函數(shù)二次求導。這個問題最后還用到了高等數(shù)學里的洛必達法則，感覺沒有直接作差來得簡單。

教師引導學生分析問題特征，對比幾種方法，體會思維的不同角度，并且盡量提煉出幾種方法的通性和本質，鼓勵學生積極思考、敢于挑戰(zhàn)、敢于嘗試、嚴謹分析和推理的數(shù)學研究態(tài)度。

在這個學生解答的基礎上，再次對問題進行反思和認識，發(fā)現(xiàn)，分離變量之后不用求導也可行：

這個解答再次震撼了所有學生，讓每一個人都很激動，形成了課堂的第二次討論高潮，學生的思維馳騁在數(shù)學課堂中，數(shù)學思維得到了升華……

以上是筆者結合高三一節(jié)專題復習課的案例對在教學中充分發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的探討。當然，數(shù)學思維不止是以上幾個方面，通過一節(jié)課也不能使學生所有的數(shù)學素養(yǎng)得到全面發(fā)展。但是，只要教師堅持有意識地在每一節(jié)課中去滲透，以問題為載體引導學生不斷思考、不斷提出問題以達到不斷優(yōu)化的目的，引導學生用數(shù)學的思維思考數(shù)學，學生通過不斷地實踐，數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學思維品質也定能得到相應的提升。

參考文獻

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［2］任子朝,陳昂.加快高考內容改革,增強基礎性和綜合性［J］.數(shù)學通報,2016,55(6).