具有p-Laplace算子的Hamilton系統(tǒng)同宿解的存在性*

黃麗麗，何小飛

(1.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000；2.吉首大學(xué)張家界學(xué)院，湖南 張家界 427000)

1 問題的提出

考慮如下Hamilton系統(tǒng)：

(1)

其中：p>1；t∈R；u(t)∈Rn；V:R×Rn→R；f:R→Rn；V(t,x(t))是V關(guān)于x(t)的梯度.P H Rabinowitz[1]研究了p=2,f(t)=0的情形.M Izydorek等[2]擴(kuò)展了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.筆者受文獻(xiàn)[2]的啟發(fā),將討論系統(tǒng)(1)的同宿解的存在性問題.

P H Rabinowitz[1]和M Izydorek等[2]均使用了如下條件：

條件1存在常數(shù)μ(μ>2)，使得0<μW(t,x(t))≤(W(t,x(t)),x(t)),?t∈R,x(t)∈Rn{0}.

2 預(yù)備知識(shí)

先引入如下條件：

(V3)存在常數(shù)b1,b2(b1,b2>0),使得b1|x(t)|p≤k(t,x(t))≤b2|x(t)|p,?(t,x(t))∈R×Rn；

(V4)k(t,x(t))≤(k(t,x(t)),x(t))≤pk(t,x(t)),?(t,x(t))∈R×Rn.

為了得到系統(tǒng)(1)的同宿解,首先考慮如下微分方程：

(2)

令fk(fk:R→Rn)是f[-kT,kT]的2kT-周期延拓,定義ηk(ηk:Ek→[0,+∞))如下：

(3)

由條件V3和(3)式，

(4)

定義泛函Ik(Ik:Ek→R)如下：

(5)

容易驗(yàn)證Ik∈C1(Ek,R),并對(duì)于?u(t),v(t)∈Ek，

顯然，Ik在Ek上的臨界點(diǎn)即系統(tǒng)(2)的經(jīng)典2kT-周期解[3-4].

由(3)，(5)式，

(6)

由條件V4和(6)式，

(7)

引理1[5]設(shè)E是實(shí)的Banach空間,I(I∈C1(E,R))滿足Palais-Smale條件.如果I滿足下列條件:

(ⅰ)I(0)=0；

(ⅱ)存在常數(shù)ρ,α(ρ,α>0),使得I∣?Bρ(0)≥α；

(ⅲ)存在e(e∈Eρ(0)),使得I(e)≤0.

引理3[2]對(duì)于?t∈[0,T],

(8)

引理4[2]設(shè)m:inf{W(t,x(t)):t∈[0,T],|x(t)|=1},對(duì)于?ξ∈R{0} 和x(t)∈Ek{0},

(9)

3 主要結(jié)果及其證明

定理1假設(shè)V和f滿足條件V1—V4及如下條件：

(V5)V(t,x(t))=-k(t,x(t))+W(t,x(t))，其中k,W∈C1(R×Rn,R)，且關(guān)于t是T-周期的,T>0；

(V6)當(dāng)|x(t)|→0時(shí)W(t,x(t))=o(|x(t)|p-1)；

(V8)f(f:R→Rn)是連續(xù)有界函數(shù).

則系統(tǒng)(1)有1個(gè)非平凡的同宿解.

證明(ⅰ)證明對(duì)于?k∈N,系統(tǒng)(2)有1個(gè)非平凡的2kT-周期解uk(t)(uk(t)∈Ek).

(10)

首先證明{Ik(uj(t))}j∈N是有界的.由條件V1，V3，V4，V6和(6)，(7)式，

(11)

不失一般性,假設(shè)‖uj(t)‖Ek≠0,那么對(duì)于?j∈N,由條件V3和(3)式，

由條件V7和(10)，(11)式，

(12)

接下來證明{uj(t)}j∈N在Ek上有收斂的子列,即在Ek上‖uj(t)‖→‖u(t)‖.由Ek(Ek?C([-kT,kT],Rn))嵌入的緊性可知,在Ek上,當(dāng)j→+∞時(shí),存在序列{uj(t)}的子列使得uj(t)→u(t),即uj(t)→u(t)在[-kT,kT]上一致成立.由于

又當(dāng)j→+∞時(shí)(I′(uj(t)),u(t)-uj(t))→0，

C2‖u(t)-uj(t)‖∞，

因此

從而(φ′(uj(t)),u(t)-uj(t))→0(j→+∞).又由H?lder不等式，

0≤(‖uj(t)‖p-1-‖u(t)‖p-1)(‖uj(t)‖-‖u(t)‖)≤(φ′(uj(t))-φ′(u(t)),uj(t)-u(t))，

從而在Ek上‖uj(t)‖→‖u(t)‖.

由條件V7和(6)式，

最后證明Ik滿足引理1的條件(ⅲ),即存在ek(t)(ek(t)∈Ekρ(0)),使得Ik(ek(t))≤0.由(4),(6),(9)式,對(duì)于?ξ∈R{0}和u(t)∈Ek{0},

(13)

取Q(t)(Q(t)∈E1),使得Q(±T)=0.因?yàn)棣?p,m>0,所以(13)式說明存在ξ(ξ∈R{0}),使得‖ξQ(t)‖E1>ρ,I1(ξQ(t))<0.設(shè)e1(t)=ξQ(t),

(14)

由k>0,ek(t)∈Ek,‖ek(t)‖Ek>ρ,Ik(ek(t))=I1(e1(t))<0和引理1可知,存在臨界值ck(ck≥α),形式為

(15)

其中

Γk={g∈([0,1],Ek):g(0)=0,g(1)=ek(t)}.

(16)

從而泛函uk(t)是系統(tǒng)(2)所需要的2kT周期解.因ck>0,故即使fk(t)=0,uk(t)也是其非平凡解.

先證明序列{ck}和{‖uk(t)‖Ek}k∈N有界.對(duì)于?k∈N,令gk(gk:[0,1]→Ek)是由g(s)=sek(t)確定的曲線族,其中ek(t)由(14)式定義,那么對(duì)于?gk∈Γk,Ik(gk(s))=I1(g1(s)),由(15)式可得

(17)

(18)

(19)

(20)

然后證明即使f(t)≡0,也有u0(t)?0.由引理5，

參考文獻(xiàn)：

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