采用混合算法優(yōu)化的并聯(lián)機械臂能量消耗與誤差仿真研究

陳麗敏,孟令新,王大鎮(zhèn)

(1.長春職業(yè)技術(shù)學院 工程技術(shù)分院,長春 130033; 2.新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學院 數(shù)控技術(shù)系,河南 新鄉(xiāng) 453006;3.集美大學 機械與能源工程學院,福建 廈門 361021)

機械臂類似于人的手臂,是機器人主要執(zhí)行機構(gòu).機械臂應用非常廣泛,不僅應用在傳統(tǒng)的加工制造業(yè)中,而且在海洋探測、宇宙探索中也有其身影[1].機械臂運動涉及機械、電子及控制等多方面學科.機械臂屬于非線性和強耦合機械動力學系統(tǒng),要達到較高的定位精度,不僅需要較好的控制方法,也需要合理的設計機械臂幾何參數(shù).目前,機械臂正在向人工智能方向發(fā)展,在代替人類手工勞動時,也消耗了大量能量.因此,研究機械臂能量消耗問題,對于節(jié)約資源、保護環(huán)境具有重要的意義.

隨著機械臂技術(shù)的改進,產(chǎn)生了大量的研究理論和方法.例如:文獻[2]針對飛機結(jié)構(gòu)件加工設計了并聯(lián)機器人,建立其動力性模型,利用彈簧自重優(yōu)化機構(gòu)參數(shù),從而平衡了并聯(lián)機械臂驅(qū)動力;文獻[3]對煤炭采樣機械臂傳動系統(tǒng)優(yōu)化進行了研究,并用Matlab和ADAMS進行聯(lián)合仿真,從而降低了機械臂質(zhì)量,提高了傳動系統(tǒng)的平穩(wěn)性;文獻[4-5]采用遺傳算法優(yōu)化RBF神經(jīng)網(wǎng)絡,將優(yōu)化后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡應用于機械臂運動軌跡跟蹤控制,從而提高了軌跡跟蹤性能.以往研究理論主要集中在機械臂控制精度上,對機械臂能量消耗研究很少,從而造成了能量資源浪費.對此,本文采用混合算法對并聯(lián)機械臂機構(gòu)進行參數(shù)優(yōu)化,主要是設計出機械臂的最佳參數(shù),在滿足機械臂動力學條件下,消耗的能量最小.在優(yōu)化過程中,建立了并聯(lián)機械臂簡圖模型,采用差分進化算法融合粒子群算法作為優(yōu)化工具,引用PID控制方法,將優(yōu)化結(jié)果輸入到Matlab軟件中進行仿真驗證,對仿真結(jié)果進行相互比較,為并聯(lián)機械臂運動時的能量消耗研究提供了參考依據(jù).

1 并聯(lián)機械臂運動分析

1.1 并聯(lián)機械臂簡圖

并聯(lián)機械臂簡圖模型如圖1所示,運動平臺如圖2所示.

在圖1中:αi為主動關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度;βi為被動關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度;Ai為基體位置;Mi為運動平臺位置;i=1,2,3;r1,r3,r5為主動連桿長度;r2,r4,r6為被動連桿長度;γ1,γ2,γ3分別代表角度BPM1,BPM2,BPM3;P(xm,ym)為末端控制器在坐標系{xyz}中的位置.

AiBiCi為每個基體到平臺的關(guān)節(jié)位置,每個關(guān)節(jié)的位置由笛卡爾坐標x和y定義,驅(qū)動關(guān)節(jié)A1,A2,A3的旋轉(zhuǎn)角度分別為θ1,θ2,θ3.

圖1 并聯(lián)機械臂簡圖模型Fig.1 A schematic model of parallel manipulator

圖2 機械臂的運動平臺Fig.2 Manipulator platform

1.2 齊次變換矩陣運動方程式

根據(jù)DH方法[6],結(jié)合圖1,并聯(lián)機械臂逆運動學方程式如下:

(1)

式中:bxi=nicosγi;byi=nisinγi;φ為運動平臺與x軸之間夾角.

式(1)的逆運動學解給出如下:

(2)

式中:

機械臂每一個主動連桿都可能產(chǎn)生“+”或“-”的解,因此,并聯(lián)機械臂會產(chǎn)生8種逆運動學解或者運動模式,如圖3所示.

圖3 并聯(lián)機械臂8種運動模式Fig.3 Eight motion modes of parallel manipulator

根據(jù)齊次變換矩陣[7]可知,連桿ri角速度方程如下:

(3)

式中:

點Ai為固定點,其線速度為0.但是,點Ai局部線速度矩陣為

(4)

2 優(yōu)化目標

2.1 設計變量

并聯(lián)機械臂能量的消耗主要轉(zhuǎn)換為連桿運動的動能,而連桿的動能主要與連桿質(zhì)量、連桿長度、平臺質(zhì)量及平臺半徑有關(guān).

機械臂連桿質(zhì)量求解公式為

(5)

式中:di為連桿橫截面直徑;ri為連桿長度;ρi為材料密度.

機械臂平臺質(zhì)量求解公式為

(6)

式中:dmp為橫截面直徑;rmp為平臺長度;ρmp為材料密度.

假設連桿的長度和平臺的長度已知,則機械臂優(yōu)化設計變量參數(shù)為X=[d1,d2,d3,d4,d5,d6,dmp].

2.2 目標函數(shù)

優(yōu)化目標為并聯(lián)機械臂主動執(zhí)行器能量消耗,其計算公式為

(7)

式中:t為連桿運動時間;PT為瞬時電功率.

瞬時功率PT的求解公式為

(8)

式中:Ia為電機電流;Ve為電機電壓;Ra為電樞電阻;La為電樞電感.

優(yōu)化的目標是使機械臂執(zhí)行器消耗的電能最小,電能消耗計算公式為

最小化

(9)

2.3 約束條件

機械臂連桿關(guān)節(jié)運動角度必須滿足以下約束條件[8]:

(10)

機械臂連桿和平臺橫截面積直徑必須滿足以下約束條件:

(11)

3 混合算法

3.1 差分進化算法

差分進化算法和遺傳算法相似,包括變異、交叉與選擇操作,具體過程如下:

(1) 變異操作.假設種群中的個體為xi,經(jīng)過變異后生成新的個體為vi,則vi表達式[9]為

vi=xi+F1(gi-xi)+F2(xr1-xr2)

(12)

式中:i∈[1,2,…,N];r1,r2∈[1,2,…,N];N為種群大小;F1,F2為縮放因子.

(2) 交叉操作.將變異后的個體vi與原來個人進行交叉操作得到新的個體[9]為

(13)

式中:q為隨機數(shù),q∈[0,1];λ為交叉概率因子;jq為隨機整數(shù),jq∈[0,D],D為粒子維數(shù),可以確保ui中至少有一維來自變異個體vi,避免與父代個體xi相同.

(3) 選擇操作.差分進化算法通過比較ui和xi,選擇出較優(yōu)值進入下一次迭代中.

3.2 粒子群算法(PSO)

粒子群算法通過移動每個個體粒子來搜索空間內(nèi)的最優(yōu)解,每個粒子都具有速度和位置兩個屬性.粒子速度vi,j根據(jù)個體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值進行不斷的更新,其更新迭代公式[10]為

式中:i=1,2,…,N;j=1,2,…,D;N為種群大小;D為粒子維數(shù);ω為慣性權(quán)重,ω∈[0,1];c1,c2為學習因子,c1,c2∈[0,2];q1,q2為隨機數(shù),q1,q2∈[0,1].

為了平衡局部、全局搜索的能力,采取線性方式修改慣性權(quán)重系數(shù)ω:

(16)

式中:ω0為初始權(quán)重;ω1為最終權(quán)重;k為當前迭代次數(shù);Tmax為最大迭代次數(shù).

3.3 混合優(yōu)化算法

根據(jù)以往研究經(jīng)驗,對不同算法進行融合,取長補短是解決優(yōu)化問題的有效方法,特別是在復雜問題優(yōu)化中表現(xiàn)得更加明顯.對此,本文采用差分進化算法融合粒子群算法,具體操作過程如下.

(1) 對種群大小N進行初始化.

(2) 隨機選擇兩個與個體xi的互不相同的個體xr1,xr2,采用差分進化算法變異方式生成個體pi,

(17)

式中:F1,F2為縮放因子.

(3) 將pi輸入到PSO速度更新迭代式(15)和式(16)中,從而更新粒子在t時刻的位置xi(t).

(4) 更新當前個體最優(yōu)值pi與全局最優(yōu)值g.

(5) 對當前全局最優(yōu)值g采取差分進化算法進行操作:

(18)

若g′適應值f(g′)優(yōu)于g的適應值f(g),則g′置換g,否則返回(2)中.

采用混合優(yōu)化算法對機械臂運動參數(shù)進行優(yōu)化,初始條件設置:種群大小為300,最大迭代次數(shù)為1 000,初始權(quán)重為ω0=0.90,最終權(quán)重為ω1= 0.4,學習因子為c1=c2=2,隨機數(shù)為q1=q2=1,交叉概率為0.02,變異概率為0.75,優(yōu)化后的橫截面積直徑如表1所示.

表1 機械臂連桿與平臺橫截面直徑優(yōu)化值Tab.1 Optimization value of cross section diameter ofmanipulator connecting rod and platform mm

4 機械臂PID控制及仿真

4.1 PID控制

PID控制是當今經(jīng)典的控制方式,主要由比例、積分和微分3個部分組成,其控制微分方程式[11]如下:

(19)

式中:u(t)為控制對象的輸出信號;e(t)為輸出與輸入之差信號;Kp,Ki,Kd分別為比例增益系數(shù)、積分增益系數(shù)及微分增益系數(shù).

本文采用經(jīng)典的PID控制對機械臂進行動力學控制,其控制方式如圖4所示.

圖4 機械臂動力學PID控制Fig.4 Manipulator dynamic PID control

4.2 能量與誤差仿真

假設并聯(lián)機械臂各連桿長度為15 cm,運動平臺為等邊三角形,其邊長為8 cm,運動平臺各連桿長度為5 cm,材料密度ρ=2.7 g/cm3,機械臂運動軌跡為x=10cos(πt/2),y=10sin(πt/2).假設機械臂在運動模式1條件下,根據(jù)PID控制方法,將機械臂優(yōu)化數(shù)據(jù)導入到Matlab軟件中進行仿真,并聯(lián)機械臂主動連桿能量消耗如圖5所示,被動連桿運動軌跡跟蹤誤差如圖6所示.其他7種運動模式條件下仿真結(jié)果與運動模式1相似,本文不再作仿真驗證.

根據(jù)圖5仿真曲線可知:在相同運動模式狀態(tài)下,優(yōu)化前,主動連桿運動所需要功率不穩(wěn)定,消耗能量大;優(yōu)化后,主動連桿運動所需功率相對穩(wěn)定,消耗能量小.根據(jù)圖6仿真曲線可知:在執(zhí)行相同的軌跡跟蹤任務時,優(yōu)化前,被動連桿運動軌跡所產(chǎn)生的誤差大;優(yōu)化后,被動連桿運動軌跡產(chǎn)生的誤差小.因此,綜合比較可知,采用混合算法優(yōu)化后的并聯(lián)機械臂連桿機構(gòu),在相同的控制條件下,不僅能夠節(jié)約能量,而且提高了運動精度.

圖5 運動模式1條件下各主動連桿能量消耗Fig.5 The energy consumption of each active link under the condition of motion mode one

圖6 運動模式1條件下各主動連桿軌跡跟蹤誤差Fig.6 The trajectory tracking error of each active link under the condition of motion mode one

5 結(jié)論

(1) 應用了混合算法優(yōu)化了并聯(lián)機械臂幾何參數(shù),并對能量消耗進行了仿真.改進了單一算法的缺點,從圖5仿真結(jié)果看出混合算法優(yōu)化后的能量消耗有所降低.

(2) 從圖6可以看出優(yōu)化后的并聯(lián)機械臂運動軌跡追蹤精度要優(yōu)于優(yōu)化前,改變了傳統(tǒng)方法的不足.

(3) 對于其他7種運動模式,同樣可以降低能量消耗,提高軌跡追蹤精度,也可以將混合算法優(yōu)化方法應用于其他機械領(lǐng)域優(yōu)化問題中.

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