讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的美

周宏光

內(nèi)容摘要： 本文用牛頓力學(xué)定律F=ma中的數(shù)學(xué)美作引子，先談一組奇妙等式、兩個數(shù)字黑洞的美妙，再談數(shù)形結(jié)合中的數(shù)學(xué)美、體現(xiàn)在建筑中的數(shù)學(xué)美，用概率與統(tǒng)計例子看現(xiàn)實生活中橫生的妙趣，最后用兩個數(shù)理邏輯悖論體會數(shù)學(xué)中的美不可妙言。

關(guān)鍵詞：欣賞 數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)語言，是人類“現(xiàn)代文明”的重要組成部分，其重要性不言而喻。數(shù)學(xué)中包含的美無處不在，可以這樣說，哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美。中學(xué)生熟知的F=ma，牛頓用一個數(shù)學(xué)公式，就把大自然中難以捉摸的力學(xué)現(xiàn)象，描述得那樣的簡潔、明了，進而推動了近代科學(xué)技術(shù)的大發(fā)展。我們可能體會不到牛頓發(fā)現(xiàn)這一偉大定律時內(nèi)心對美的享受，但是一定能體會得到這一數(shù)學(xué)公式的美。自然科學(xué)中用數(shù)學(xué)推演、描述的事就太多、太多了，要說數(shù)學(xué)被譽為“科學(xué)之母”，在現(xiàn)代科技的發(fā)展中起著定海神針般的作用，一點也不夸張。

本文就從數(shù)學(xué)的角度探討讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的美。

10個數(shù)字，構(gòu)筑起一個無限真與美的王國，數(shù)學(xué)就是人造的宇宙。隨著新課程的實施，審美教育的范圍正日益廣泛地滲透到人類社會的各個領(lǐng)域之中，人們不僅通過音樂、藝術(shù)，而且也通過自然美、社會美、科學(xué)美得到美的熏陶，美化精神境界。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，是應(yīng)當培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的審美能力，這不僅有利于激發(fā)他們對數(shù)學(xué)科學(xué)的愛好，也有助于增長他們的創(chuàng)造發(fā)明能力。

一、奇妙的數(shù)字世界

請看下面這些有趣的等式：

122=144，換一下次序：212=441；

同樣的數(shù)還有一串：1022=10404，2012=40401；

1122=12544，2112=44521；

1222=14884，2212=48841；

1132=12769，3112=96721；

還有更一般的形式：（100…02）2=100…04 00…04；

倒一下：（200…01）2=40…00 40…01

當學(xué)生們看到這些，會馬上想到怎么這樣美妙？這是為

什么？這種數(shù)究竟有多少？這種對稱、和諧的“數(shù)學(xué)美”將很好地激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣，埋下要探索的種子。還有更奇妙的“數(shù)學(xué)黑洞”精靈。 黑洞是物質(zhì)密度極大，引力極強，任何物質(zhì)（包括光線）經(jīng)過它的附近，都要被它吸引進去，再也不能出來，因此它不發(fā)光，黑洞的名稱由此而來。在數(shù)學(xué)中也有這種神秘的黑洞現(xiàn)象，無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個值，再也逃不出去了，就像宇宙中的黑洞一樣。

⑴123黑洞（即西西弗斯串）

數(shù)學(xué)中的123就跟英語中的ABC一樣平凡和簡單。然而，按以下運算順序，就可以觀察到這個最簡單的黑洞值：設(shè)定一個任意數(shù)字串，數(shù)出這個數(shù)中的偶數(shù)個數(shù)，奇數(shù)個數(shù)，及這個數(shù)中所包含的所有位數(shù)的總數(shù)，

例如，1234567890，

偶：數(shù)出該數(shù)數(shù)字中的偶數(shù)個數(shù)，在本例中為2，4，6，8，0，總共有 5 個。

奇：數(shù)出該數(shù)數(shù)字中的奇數(shù)個數(shù)，在本例中為1，3，5，7，9，總共有 5 個。

總：數(shù)出該數(shù)數(shù)字的總個數(shù)，本例中為 10 個。

新數(shù)：將答案按 “偶-奇-總”的位序，排出得到新數(shù)為：5510。

重復(fù)：將新數(shù)5510按以上算法重復(fù)運算，可得到新數(shù)：134。

重復(fù)：將新數(shù)134按以上算法重復(fù)運算，可得到新數(shù)：123。

結(jié)論：對數(shù)1234567890，按上述算法，最后必得出123的結(jié)果，我們可以用計算機寫出程序，測試出對任意一個數(shù)經(jīng)有限次重復(fù)后都會是123。換言之，任何數(shù)的最終結(jié)果都無法逃逸123黑洞。

（2）卡普雷卡爾黑洞（神奇的數(shù)字6174）

取任何一個4位數(shù)（4個數(shù)字均為同一個數(shù)字的例外），將組成該數(shù)的4個數(shù)字重新組合成可能的最大數(shù)和可能的最小數(shù)，再將兩者的差求出來；對此差值重復(fù)同樣的過程（例如：開始時取數(shù)8028，最大的重新組合數(shù)為8820，最小的為0288，二者的差8532。重復(fù)上述過程得出8532-2358=6174），最后總是達到卡普雷卡爾黑洞：6174。稱之“黑洞”是指再繼續(xù)運算，都重復(fù)這個數(shù)，“逃”不出去。把以上計算過程稱為卡普雷卡爾運算，這個現(xiàn)象稱歸斂，其結(jié)果6174稱歸斂結(jié)果。

二、豐富多彩的圖形世界

難以想象的是，看來嚴謹?shù)浇蹩贪宓臄?shù)學(xué)公式，竟然會與優(yōu)美的幾何圖形（如曲線）相映成趣，交織成大自然一幅幅絢麗無比的圖畫。例如，公式C = 2лR，司空見慣的圖形——圓，內(nèi)含的周長與半徑有著異常簡潔、和諧的關(guān)系，一個傳奇的數(shù)л把它們緊緊相連。河上架著的一座座橋，筆直地延伸不是省時又省力嗎？可人們偏要修成“九曲橋”“拱形橋”，為的是它不僅合于力學(xué)原則，還有觀賞價值。曲線不僅有柔和而流暢的外形，它還有豐富又深刻的內(nèi)涵和意蘊——圓，完美無缺，無可非議；螺旋線蜿蜒伸拓，暗示著某種人生真諦；漸近線欲達而不能，激起人們不懈的追求。

比例與對稱的數(shù)量關(guān)系，以其天造地設(shè)的美感令人嘆為觀止?！包S金分割”是最美、最巧妙的比例。世界上許多著名建筑的構(gòu)圖都融入了“黃金分割”的匠心。如，法國的巴黎圣母院、中國的故宮、希臘人建造的莊嚴肅穆的帕提儂神廟、埃及的胡夫金字塔等等。

幾何圖形的對稱美成了造型藝術(shù)、建筑美學(xué)的基礎(chǔ)。雪花的對稱性就是大自然的杰作。在人類賴以生存的建筑群中，幾乎處處都有美麗的對稱形圖案。古代皇宮中的壁畫，無不含有極為壯麗的對稱美。

三、妙趣橫生的概率與統(tǒng)計

嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)居然與游戲、賭博有密不可分的關(guān)系。為什么有的人買彩票能中大獎，而有的人卻一無所獲；拋一枚硬幣，落下時正面朝上還是反面朝上，誰也沒法回答；但大量重復(fù)上述實驗，正面朝上與反面朝上的幾率又各占一半，真是一個有趣的現(xiàn)象；輪盤賭博，撲克游戲充滿了不確定性，而又有無比的吸引力，讓許多人流連忘返；要對一批產(chǎn)品進行質(zhì)量檢驗，可隨機地抽取一部分樣本進行檢驗，以此推斷這批產(chǎn)品的質(zhì)量情況；這種用樣本估計總體的思想讓人久久玩味，其樂無窮。同桌兩人事先分別選定“奇數(shù)”和“偶數(shù)”，然后擲出兩枚骰子，并依據(jù)骰子點數(shù)之和的奇偶來決定勝負，你說這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？這些問題，真是令人興趣倍增。這難道還不美嗎？

四、幽默的數(shù)理邏輯

n2+ n + 72491（n是自然數(shù)），以 n = 1，2，3，…代入都表示一個質(zhì)數(shù)，那么一直無限代下去都對嗎？不對，當 n 取 72490 時，代數(shù)式的值就成了一個合數(shù)。推理產(chǎn)生障礙，所以用此方法進行命題的一般性證明是靠不住的。然而，用“數(shù)學(xué)歸納法”就可以解決這一難題。“數(shù)學(xué)歸納法”以藝術(shù)般的結(jié)構(gòu)布局，流暢的線條與鮮明的層次，令人信服地證明了一個又一個的“無限型命題”，充盈著無懈可擊的推理美感。

然而，幽默的邏輯也會開人們的玩笑。有個“難題”稱為“說謊者悖論”，困擾著形式邏輯世界長達2300多年。它具有最簡單的形式：

⑴說謊者悖論：

“我說的這句話是謊話”———這是真話，還是謊話？

把它判作真話，則它是謊話。判作謊話呢？則它已申明了自己說謊話，因此成了真話。真話？則又成了謊話……這就是數(shù)學(xué)推理中的悖論，悖論中富有美妙、多樣的情趣，極富幽默感。這是數(shù)學(xué)世界的喜劇。類似的例子還有很多。

⑵阿喀琉斯（Achilles）悖論

芝諾說，動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。

理由是追趕者首先應(yīng)該達到被追者出發(fā)之點，此時被追者已經(jīng)往前走了一段距離，因此被追者總是在追趕者前面。我們都知道動得最慢的物體遲早會被動得最快的物體追上，但是芝若說的又有那么一點道理。

雖然如柏拉圖描述說， 芝諾這樣的悖論， 是興之所至的小玩笑，但其中的美妙太折也磨人的思維___這是怎么一事呀？

無數(shù)事實證明：當你以審美的視野轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)世界時，一個巧思云集、群芳斗妍的科學(xué)“伊甸園”就呈現(xiàn)于你的眼前。數(shù)學(xué)始終是美的，簡單美、統(tǒng)一美、對稱美、秩序美奇異美等，無處不在，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的美，它將激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的喜愛，激發(fā)要去探索的沖動。