案例： 應用一元一次方程

朱海英

一、背景分析

“打折銷售”是我們生活中經(jīng)常遇到的問題，蘊藏了豐富的數(shù)學知識，是引導學生探索發(fā)現(xiàn)問題的好素材。學習這部分內容會使學生進一步認識到方程的出現(xiàn)源于解決問題的需要，體會方程的應用價值及建模思想。

《數(shù)學課程標準》對這部分的要求是“通過用方程表述數(shù)量關系的過程，體會模型思想，建立符號意識。能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型?！?/p>

“打折銷售”是在學習了“水箱變高了”這一節(jié)知識的基礎上，進一步把“一元一次方程”和“實際問題”有機結合在一起，是對這一章內容的深化與延伸。通過對生活中常見的“打折銷售”問題的探究，讓學生對實際問題反映的數(shù)學信息進行分析處理，探究出其中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，并用數(shù)學語言準確地表述，經(jīng)歷將一個實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，體驗數(shù)學來源于生活又服務于生活，體會數(shù)學的應用價值。學習本節(jié)對于發(fā)展學生的符號意識和應用意識，提高學生分析問題、解決問題的能力具有重要的作用。課標中提出的數(shù)感、符號意識、運算能力、模型思想以及應用意識和創(chuàng)新意識在本節(jié)中都有體現(xiàn)。通過本節(jié)課的學習，可以進一步體會看似抽象的整式運算在解決實際問題中的用處，加深對相關內容的認識。

本節(jié)課的學習目標是知道進價、標價、售價、利潤、利潤率之間的關系；分析實際問題中的數(shù)量關系，列出一元一次方程解決打折、利潤問題，體會數(shù)學的應用價值。

本節(jié)課的教學以問題串的方式展開，通過合作交流，讓學生在分析問題的過程中獲得數(shù)學新知識，積累活動經(jīng)驗，掌握解決問題的方法，形成實事求是的科學態(tài)度以及進行質疑和獨立思考的良好習慣。通過用數(shù)學知識分析商家的各類打折現(xiàn)象，滲透誠信教育和理性消費觀念。

二、教學思考

有關打折銷售的實際問題學生在生活中接觸過，在小學的學習中也有初步認識，只是在解法上多用算術法求解。學生由于受小學算術方法的影響，不習慣代數(shù)的思考方式，往往不知如何思考。本節(jié)課是一元一次方程應用的第二節(jié)課，學生通過第一節(jié)課的學習，對用方程解決實際問題有了初步的認識。

“打折銷售”是對本章內容的深化和延伸，我把教學重點確定為：從實際問題中抽象出數(shù)學問題，建立等量關系，列出一元一次方程解決實際問題。這樣定重點的原因是：用方程解決實際問題的過程就是將實際問題“數(shù)學化”的過程，這恰恰也是與小學算術法的不同之處。要實現(xiàn)這一過程需要學生認真審題，正確理解表示數(shù)量關系的關鍵性詞語，理清問題中的數(shù)量關系，設出適當未知數(shù)，引入數(shù)學符號，用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出其他未知量，將實際問題數(shù)學化為一元一次方程。我把教學難點確定為：進一步經(jīng)歷運用方程解決實際問題的過程，體會運用方程解決實際問題的一般過程。本節(jié)課的難點難在等量關系不再那么直接，要復雜一些，需要學生結合具體問題自己去尋找。

教學中將思考的過程以問題串和填空的形式呈現(xiàn)出來，先由學生獨立思考，再小組內相互交流，學生間產(chǎn)生不同的想法時，鼓勵學生大膽質疑，運用數(shù)學知識進行說理解釋，做到有理有據(jù)，形成實事求是的態(tài)度。教學過程中，用幻燈片展示今年3.15晚會中曝光的有關打折銷售的實際問題。讓學生運用本節(jié)課所學知識解決這些問題，并通過這些問題的解決引導學生發(fā)現(xiàn)：對于消費者來說，“打折”能買到實惠；但追逐利益是商家本性，對商家來說“打折”是一種促銷手段，要在誠信的前提下獲取利潤。消費者也不能盲目購物，要根據(jù)自己的需要理性的消費。

評價學生時既要看學生是否會列出方程和解方程的正確與否，還要關注學生參與活動的程度以及在活動中的思維過程。在建立方程模型的過程中，要關注學生能否理解題目的意思，能否思考出解決問題的策略，能否列出方程表示出數(shù)量之間的相等關系。還應鼓勵學生從多個角度進行思考，提出不同的、有價值的解題策略。對于表現(xiàn)突出的同學，要給予表揚。允許學生在列方程時選擇不同的方法，關注學生的個性發(fā)展。為了了解學生課程目標的達成狀況，我設計了書面測試題。測試題的選取力求問題生活化、趣味化，還要便于評價和發(fā)展學生的模型思想，以及分析問題和解決問題的能力。

三、案例實錄

【第一環(huán)節(jié)】創(chuàng)設情境，引入課題

1.師生活動

師：相信大家一定有過去商場逛商店的經(jīng)歷，你在商店里看到有關商品銷售的什么現(xiàn)象呢？

學生回答見到的各種現(xiàn)象.

師：剛才大家說到的這些都是商家進行促銷的方式，促銷的目的是為了獲取較多的利潤。打折銷售是我們生活中常見的促銷方式，今天我們一起來學習列方程解決與商品銷售有關的實際問題.（板書課題）

2.設計目的

通過學生的舉例，讓學生意識到 “打折銷售”是我們生活中經(jīng)常遇到的問題，與生活密不可分，以此調動學生的學習積極性和求知的欲望，迫切的需要用我們的數(shù)學知識解決這些問題。

3.活動預期

激發(fā)學生的興趣，在短時間里集中學生的注意力，形成較高的課堂關注.

【第二環(huán)節(jié)】借助實例引入與銷售有關的量，明確它們之間的關系

1.師生活動

師：為了幫助大家更好的了解商品銷售中的有關量以及它們之間的關系，今天我們每個人都嘗試做一次老板?，F(xiàn)在我們從一批衣服的購進開始今天的學習。

師：假設我們購進了一批單價是100元的上衣，接下來你們想怎樣賣掉這批衣服呢？

學生甲：我想以150元的單價賣，這樣我這件上衣能賺50元。

學生乙：我覺得過幾天就是黃金周，我想在150元的基礎上8折優(yōu)惠賣出，這樣雖然一件賺20元，但是我認為銷量會多一些，總贏利不會少。

學生丙：我想在100元的基礎上加價50%，再打折出售。

（出售商品的最終目的是獲取利潤，對學生的不同想法提出表揚，進一步表揚乙同學，能抓住黃金周，迎合消費者的心里，薄利多銷。）

（在這個過程中學生知道100元是進價（有時也稱成本價），150元是標價，也能算出售價是150×80%=120元，利潤是120-100=20元。教師引導學生算出利潤率，告訴學生50%是提高率，8是折扣數(shù)。）教師給出以下板書，這樣就得到了商品銷售中的各個量以及它們間的關系圖。在學生獨立思考的基礎上再與小組成員交流，得出它們間的關系是：

標價=成本價×（1+提高率）； 售價=標價× ；

利潤=售價-成本價； 利潤率=

2.設計目的

“打折銷售”雖是生活中的常見現(xiàn)象，但學生這方面的經(jīng)驗不多。通過這個活動，讓學生親身經(jīng)歷一批商品由購進到賣出，再到盈利、計算利潤率的整個過程，幫助學生理解商品銷售中的各個量間的關系。

3. 活動預期

學生在具體的題目中能算出各個量的值，在用語言表述關系時存有困難，需在小組充分交流和教師的引導下歸納出具體的數(shù)量關系。

【第三環(huán)節(jié)】小試身手，初步經(jīng)歷將實際問題數(shù)學化的過程

1.師生活動

幻燈片展示：一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折優(yōu)惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的成本是多少元？

師：想一想本題涉及到哪些量？

學生回答本題涉及到成本價、標價、售價、利潤

師：若設這種服裝每件的成本是 元，你能用含 的代數(shù)式表示其他的量嗎？

學生回答標價是（1+40%）x；售價是（1+40%）x×80%；利潤是（1+40%）x×80%-x

師：你由題目中的那句話得出標價是 （1+40%）x？

學生：由“按成本價提高40%后標價”得到的。

師：售價是（1+40%）x×80%和利潤是（1+40%）x×80%-x呢？

學生：由“又以8折優(yōu)惠賣出”得到售價是（1+40%）x×80%.由“利潤=售價-成本價” 得到利潤是（1+40%）x×80%-x。

師：問題中有怎樣的等量關系？

學生：利潤=售價-成本價，由“每件仍獲利15元”得到（1+40%）x×80%-x=15

（實現(xiàn)從實際問題抽象出數(shù)學問題，列出一元一次方程的過程）

學生解方程，再用方程的解解釋實際問題，體會方程的出現(xiàn)源于解決問題的需要，也從中體會學習方程的意義和方程的應用價值，理解數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系。

2.設計目的

學生受小學算術方法的影響，不習慣代數(shù)的思考方式，所以采用問題串和填空的形式呈現(xiàn)出來，幫助學生對實際問題反映的數(shù)學信息進行分析處理，探究出其中的數(shù)量關系，并用數(shù)學語言準確地表述，經(jīng)歷將一個實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程。3. 活動預期

（1）找出本題中涉及到的量。

（2）在教師給出恰當?shù)奈粗獢?shù)后，根據(jù)題目中的關鍵語句用含x的代數(shù)式表示出其它未知量。

（3）根據(jù)關鍵語句，結合對題意的理解，找出等量關系，列出方程。

【第四環(huán)節(jié)】學以致用，進一步體會數(shù)學的應用價值

1.師生活動

幻燈片展示：例1 某商場將某種商品按原價的8折出售，此時商品的利潤率是10%，已知這種商品的進價為1800元，那么這種商品的原價是多少？

（在第三個環(huán)節(jié)進行完后，學生初步掌握了分析問題的方法，所以例1的解決完全放手給學生，在學生獨立思考和小組充分交流的基礎上，每個小組派出一位代表展示本題的做法）

假設這種商品的原價是x元，學生根據(jù)找到的等量關系列出了不同的方程.

方法1：根據(jù)“利潤率= ”，列出的方程是

方法2：根據(jù)“利潤=售價-進價=利潤率×進價”，列出的方程是

方法3：根據(jù)“進價+利潤=售價”， 列出的方程是

2.設計目的

在初步掌握了分析問題的方法后，嘗試運用所學的知識解決生活中的實際問題，鼓勵學生一題多解，提高分析問題、解決問題的能力.。

3. 活動預期

培養(yǎng)學生的綜合應用能力，體會將實際問題數(shù)學化的過程，鼓勵學生一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維，大致了解用一元一次方程解決實際問題的一般步驟.。

【第五環(huán)節(jié)】達標檢測，評價矯正，對學生進行德育滲透

1.學生活動

1. （1）超市店慶促銷，某種書包原價每個x元，第一次降價打“八折”，第二次降價每個又減10元，經(jīng)兩次降價后售價為90元，則得到方程 .

2.（2）互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺上一件商品標價為200元，

按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為 .

3. （3）消費者劉先生在“天貓網(wǎng)”某網(wǎng)店花29.9元購買了一件正在搞“僅此一天”促銷活動的窗簾.。

（1）若網(wǎng)店是按6折優(yōu)惠賣給劉先生的，請算出窗簾的原價.。

（2）事后劉先生發(fā)現(xiàn)該窗簾的宣傳頁面連續(xù)數(shù)天使用了“僅此一天”的宣傳用語，于是劉先生向12315中心進行了投訴.談談你對這件事情的看法.。

2.設計目的

進一步熟悉進價、標價、售價、利潤、利潤率之間的關系；能運用本節(jié)課學到的知識分析實際問題中的數(shù)量關系，列出一元一次方程解決打折、利潤問題，體會數(shù)學的應用價值。

3.活動預期

通過第3題的第（2）問，讓學生認識到網(wǎng)店虛假廣告的銷售行為屬于典型的消費欺詐行為，侵犯了消費者的知情權，違背了誠信原則，誤導了消費者的購買意向，擾亂了正常的市場秩序，應加大對虛假廣告違法行為的打擊力度，凈化網(wǎng)絡消費環(huán)境，切實維護消費者的合法權益.。

【第六環(huán)節(jié)】總結串聯(lián)、納入系統(tǒng)

1.學生活動 與大家分享本節(jié)課的收獲.對于本節(jié)課的學習還有什么困惑？

（1）知道了商品銷售中各個量之間的關系，學會了列一元一次方程解決打折銷售問題；

標價=成本價×（1+提高率）； 售價=標價×

利潤=售價-成本價； 利潤率=

（2）知道了列一元一次方程解決實際問題的基本步驟；

（3）體會了方程的應用價值. ；

（4）銷售商品時，在誠信當先的基礎上，采用合適的銷售策略創(chuàng)造較多的利潤.。

2.設計目的

梳理知識的內在聯(lián)系，提煉思想方法，從知識的學習、方法的領悟等方面引導學生歸納、總結本節(jié)課，使學生將本節(jié)課所學知識納入方程學習的知識體系.。

3. 活動預期

學生能總結出本節(jié)課所學的知識點，數(shù)學建模思想的意識需在教師的引導下說出.。

【第七環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

必做：課本146頁2、3、4題；選做：課本146頁1題。

課后反思：

本節(jié)課的教學我是在深入領會教科書編寫意圖，充分挖掘與本節(jié)課有關的教學資源，了解學生已有的生活經(jīng)驗與認知基礎，以培養(yǎng)學生獨立思考、解決實際問題能力為主線對整堂課的教學活動進行了設計的，教學過程中適時滲透堅持真理、修正錯誤、嚴謹求實的科學態(tài)度及誠實守信、理性消費等人生價值觀.。

將實際問題數(shù)學化是本節(jié)課的重點也是難點，我在教學活動充分展現(xiàn)了這一過程.。為了解決實際問題，選擇了恰當?shù)奈粗獢?shù)，引入了數(shù)學符號，再用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，結合題意找到已知量和未知量之間的等量關系，列出方程.。又進一步讓學生解釋方程中每個代數(shù)式的含義.。通過強化實際問題與數(shù)學問題之間的轉化，有助于激發(fā)學生的學習數(shù)學的積極性，提高他們的研究能力、應用能力，也有助于學生進一步理解數(shù)學的價值.。

不足之處是對教學思考中的“德育實現(xiàn)策略”及案例實錄中體現(xiàn)德育點的環(huán)節(jié)不夠深入，個別地方語言不夠精煉。.

全文刊登