《求數(shù)列的通項公式》教學(xué)設(shè)計

馮小軍

【考綱要求】

1.熟練掌握求通項公式的幾種常用方法.

2.了解數(shù)列通項公式的作用和應(yīng)用價值.

【命題方向預(yù)測】

數(shù)列的通項公式的考查在高考中主要考查利用 和 的關(guān)系求通項 ，以選擇、填空題為主，較為簡單，若涉及遞推公式常為解答題，屬中等難度題目.

一、題之源：課本基礎(chǔ)知識

1.通項公式：如果數(shù)列{an}的與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.

2.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

3.數(shù)列前n項和Sn與an的關(guān)系

已知Sn，則an=Sn-Sn-1（n≥2），（S1（n=1），）

4.等差數(shù)列的通項公式

若{an}是等差數(shù)列，則其通項公式an= ，

5.等比數(shù)列的通項公式 若{an}是等比數(shù)列，則通項an=

二、題之本：思想方法技巧

1.已知數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的通項公式，主要從以下幾個方面來考慮：

（1）如果符號正負相間，則符號可用（-1）n或 （-1）n+1來調(diào)節(jié).

（2）分式形式的數(shù)列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關(guān)系來解決.

（3）對于比較復(fù)雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來解決.

此類問題雖無固定模式，但也有規(guī)律可循，主要靠觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知的數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為等差、等比或其他特殊數(shù)列）等方法來解決.

2.an=Sn-Sn-1（n≥2），（S1（n=1），）注意an=Sn-Sn-1的條件是n≥2，還須驗證a1是否符合an（n≥2），

是則合并，否則寫成分段形式.

3.等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法：累加法、累乘法.

4.已知遞推關(guān)系求通項

累加法、累乘法、構(gòu)造法等.

5.涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊到一般等.

三、題之變：課本典例改編

題型1 已知數(shù)列前幾項求通項公式

在我們的教材中（必修5--2.1），有這樣的題目：

1.數(shù)列 的通項 ____________

2.數(shù)列 的通項 ______________

3.數(shù)列 的通項 _____________

題型2 公式法

在我們的教材中（必修5--2.3），有這樣的題目：

已知 是等比數(shù)列， ， ，求數(shù)列 的通項公式.

【走向高考】（2014新課標I-17）已知 是遞增的等差數(shù)列， 是方程 的根.（I）求 的通項公式；

（2016新課標I-15改編）設(shè)等比數(shù)列 滿足 ，則 ____________

題型3 由 與Sn的關(guān)系求通項公式

在我們的教材中（必修5第44頁例3），有這樣的題目：

已知數(shù)列 的前 項和為 ，則 ____________

變式：已知數(shù)列 的前 項和 ，則 ____________

【走向高考】（2013新課標I-14）若數(shù)列 的前 項和 ，則 ____________（2015新課標I-17） 為數(shù)列 的前 項和.已知

（I）求 的通項公式；

題型4 已知數(shù)列遞推公式求通項公式

題組一：由等差演化而來的“差型”遞推關(guān)系 ---

數(shù)列 中， ，求 的通項公式 .

變式1：數(shù)列 中， ，求 的通項公式 .

變式2：數(shù)列 中， ，求 的通項公式 .

題組二：由等比演化而來的“商型”遞推關(guān)系----

已知數(shù)列 的首項 ，且 ，求 的通項公式.

變式1：已知數(shù)列 的首項 ，且 ，求 的通項公式.

變式2：數(shù)列 中， ，求 的通項公式 .

題組三：可以一次變形后轉(zhuǎn)化為差型，商型的（構(gòu)造等差，等比數(shù)列）

在我們的教材中（必修五2.1 A組第4題），還有這樣的類型題：

寫出下列數(shù)列 的前5項：（1）

變式1：數(shù)列 中， ，求 的通項公式.

變式2：已知數(shù)列 滿足 求 的通項公式.

【走向高考】（2014·新課標Ⅱ-17）已知數(shù)列 滿足 .

（1）證明 是等比數(shù)列，并求 的通項公式；

【拓展延伸】（必修五課本69頁）已知數(shù)列 中， ，求 的通項公式.