二維耦合干摩擦振子黏滑運動分析

何尚文 賈文禎 何冰冰 梅永鋼 張莎莎

摘 要：針對工程中廣泛存在的二維干摩擦問題，通過引入斜彈簧建立一種可考慮x，y兩個方向耦合的振子模型。定義摩擦力方位角來描述動、靜摩擦力矢量分量，并考慮振子振動過程中可能出現(xiàn)黏滯，提出了一種分析二維耦合干摩擦振子黏滑運動的方法，給出了二維耦合干摩擦振子黏滑運動的復雜邊界條件?；谥笖?shù)型動態(tài)摩擦模型對二維耦合干摩擦振子的黏滑運動進行了數(shù)值仿真，給出了x方向和y方向相同激振頻率相同相位角、相同激振頻率不同相位角、不同激振頻率不同相位角3種工況下的仿真結果及系統(tǒng)解隨激振頻率和相位角的變化規(guī)律。仿真結果表明，二維耦合摩擦振子運動中可能出現(xiàn)黏滑狀態(tài)轉換;當 x方向和y方向的激勵頻率和相位角均不相等時，與前兩種工況相比，質量塊的運動軌跡、系統(tǒng)相圖均為更加復雜的平面曲線，同時一個周期內系統(tǒng)可出現(xiàn)多次黏滑轉換;兩個方向激振頻率相同時，改變激振頻率和激勵相位角，系統(tǒng)的解均沒有出現(xiàn)次諧波，振子為周期運動。所提出的方法可為進一步研究二維耦合干摩擦振子的動力學特性及運動穩(wěn)定性提供參考。

關鍵詞：機械動力學與振動;黏滑運動;二維干摩擦;摩擦力方位角;耦合;振動特性

中圖分類號：O322?文獻標志碼：A

文章編號：1008-1542（2018）06-0494-08

干摩擦結構在機械系統(tǒng)中廣泛存在[1]，在工程中會經常遇到二維摩擦問題，如渦輪葉片干摩擦阻尼器設計等。在二維摩擦問題中，摩擦力的大小和方向事先是未知的，且具有強時變性。因此，準確求解摩擦力的大小和方向是解決二維干摩擦問題的關鍵。

宋保江等[2]從宏觀尺度和微觀尺度兩個方面介紹了界面黏滑摩擦的研究進展。從一維局部滑動模型和軌跡跟蹤法出發(fā)，采用帶滑動觸點的并聯(lián)彈簧來模擬二維平面運動時葉片-阻尼器間的干摩擦接觸，何冰冰等[3]、何尚文等[4]提出了求解干摩擦阻尼器耦合振動的二維局部摩擦模型并做了仿真分析。TARIKU等[5]用sgn模型來模擬彈簧阻尼干摩擦結構的二維黏滑運動。黏滯時，質量塊靜止;滑動時，摩擦力隨著滑動速度的方向改變符號。解析法用來求解滑動狀態(tài)時的運動方程。XIA[6]提出了沒有剛度和阻尼耦合的二維干摩擦振子黏滑運動的分析方法。HE等[7]研究了考慮相鄰葉片之間的摩擦與碰撞的二維運動摩擦模型。將含干摩擦的非線性振動系統(tǒng)看作分段線性系統(tǒng)，張有強等[8]提出求解各黏滑狀態(tài)階段的解析方法。沈鋼等[9]通過研究一維、二維摩擦副動力學性能提高了車輛動力學模型中非線性元件數(shù)學模型的模擬精度。

諧波平衡法經常用來近似解析求解二維干摩擦振子在簡諧激勵下的響應?；谡w-局部統(tǒng)一滑動模型，何尚文等[10]用一次諧波平衡法對葉片緣板阻尼器的減振特性進行了分析。SANLITURK等[11]提出了平面運動的二維局部滑動模型，并且使用基于軌跡跟蹤法的一階諧波平衡法來求解該系統(tǒng)的非線性穩(wěn)態(tài)響應。由于一次諧波平衡法不能獲得諧波共振現(xiàn)象，CHEN等[12]提出了用以求解帶干摩擦結構強迫振動響應的多階諧波平衡法。PETROV等[13]和SANTHOSH等[14]采用多階諧波平衡法（MHBM）獲得了渦輪葉片系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解。

POPP等[15]研究了兩種離散和兩種連續(xù)的黏滑振動模型，它們表現(xiàn)出各種動態(tài)行為，包括混沌現(xiàn)象。文獻[16—17]研究了帶干摩擦系統(tǒng)響應的分岔和混沌現(xiàn)象，這些研究均基于一維摩擦模型，運動軌跡是一條直線。

本文研究了二維耦合干摩擦振子的黏滑運動，給出了二維干摩擦振子黏滑運動的邊界條件。基于指數(shù)型動態(tài)摩擦模型，提出了一種能夠求解非光滑摩擦和處理二維耦合的數(shù)值算法，可以用于計算任意激勵下干摩擦振子的響應。引入了用來確定動、靜摩擦力向量分量的摩擦力方位角的概念，摩擦力方位角由相對運動速度或非摩擦力分量確定。用龍格-庫塔法計算，振子由黏滯到滑動轉換的關鍵點用二分法捕捉。

1?力學模型與動力學方程的建立

二維干摩擦振子的力學模型如圖1所示。質量塊m與平面接觸并通過3個線性彈簧和3個線性黏性阻尼固定。k3和c3與軸的夾角為45°，這使得2個方向的運動耦合在一起。根據(jù)耦合振動的理論[18]，二維干摩擦振子的運動方程可以寫成式（1）。

4?結?論

引入斜彈簧建立了一種可考慮平面內2個方向耦合的二維干摩擦振子動力學模型;通過定義摩擦力方位角并考慮振子振動中可能出現(xiàn)黏滯的情況，提出了一種基于二維庫侖摩擦模型、可考慮黏滑轉換的運動分析方法，給出了二維干摩擦振子黏滑運動的復雜邊界條件。在此基礎上研究了二維耦合干摩擦振子的黏滑運動特性與系統(tǒng)解的變化規(guī)律，結論如下。

1）二維耦合干摩擦振子運動過程中可能出現(xiàn)黏滑狀態(tài)轉換。

2）考慮耦合的振子運動軌跡、相圖、摩擦力變化規(guī)律相比不考慮耦合時更為復雜;激勵頻率和相位角均不相等時，與激勵頻率相等且相位角相等或激勵頻率相等且相位角不等相比，振子的運動軌跡、系統(tǒng)相圖均為更加復雜的平面曲線，同時一個周期內系統(tǒng)可出現(xiàn)多次黏滑轉換。

3）x，y方向激振頻率相同情況下，隨著激勵頻率和激勵相位角變化，系統(tǒng)響應的性質沒有變化，均沒有出現(xiàn)次諧波且高次諧波分量很小，該情況下計算系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應減振效果時可使用諧波平衡法提高運算效率。

目前求解振子的振動特性時多假定基礎靜止，下一步將考慮基礎振動，對振子的動力學特性及運動穩(wěn)定性進行深入研究。

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