基于帶遺忘因子交替廣義最小二乘法的多變量耦合系統(tǒng)參數(shù)辨識

焦慧方，陳希亮，高 敏，馬忠玲

（1.西北大學(xué) a.科學(xué)史高等研究院，b.繼續(xù)教育學(xué)院，陜西 西安 710127；2.西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西 西安 710049；3.西北工業(yè)集團，陜西 西安 710043）

近年來，隨著工業(yè)自動化控制理論的不斷發(fā)展，控制對象的復(fù)雜性也不斷提高，有著多變量、強耦合等特征[1]。大多數(shù)情況下，被控對象數(shù)學(xué)模型往往是難以獲得并且是時變的，為了實現(xiàn)最優(yōu)控制，我們需要不斷修正系統(tǒng)模型參數(shù)[2]。

系統(tǒng)辨識是一個通過觀察系統(tǒng)輸入、輸出數(shù)據(jù)，來建立動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。與理論分析法不同的是，系統(tǒng)辨識不需要深入了解系統(tǒng)的原理，只需要通過設(shè)計合理的實驗來獲得大量的實驗數(shù)據(jù)，進行辨識計算，從而擬合出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。最小二乘法作為最基本的辨識算法，有著廣泛的應(yīng)用，但是最小二乘法每次處理數(shù)據(jù)量過大，需要消耗大量計算機資源易導(dǎo)致程序失去響應(yīng)甚至死機[3-4]。遞推最小二乘法是在最小二乘法基礎(chǔ)上進行優(yōu)化，不僅可以減小計算量和存儲量，而且能實現(xiàn)在線實時系統(tǒng)辨識，但是估計結(jié)果往往是有偏的[5-6]。廣義最小二乘法做了一些推廣，能夠?qū)崿F(xiàn)無偏估計，但計算也變得很復(fù)雜[7-8]。

本文結(jié)合遞推最小二乘法與廣義最小二乘法的優(yōu)點，加入遺忘因子，提出一種交替的廣義最小二乘法，并通過dSPACE公司DS1103搭建了一個兩入兩出的水箱耦合系統(tǒng)，以驗證該方法的有效性和可靠性。

在最小二乘法中，滿足殘差平方和最小的參數(shù)被認(rèn)為是最佳估計值，其值為

1.2遞推最小二乘法

遞推最小二乘法利用矩陣變化和矩陣求逆引定理，得到第N組估計值和第N+1組估計值的遞推關(guān)系，

1.3廣義最小二乘法

1傳統(tǒng)最小二乘法

1.1最小二乘法

設(shè)線性定常系統(tǒng)的差分方程為

廣義最小二乘法是針對線性自回歸滑動平均模型（CARMA模型）的一種辨識方法，它能克服最小二乘法有偏估計。這種方法計算比較復(fù)雜，但效果比較好。設(shè)系統(tǒng)差分方程為其中u(k)和x(k)分別為系統(tǒng)輸入信號和系統(tǒng)輸出真實值，設(shè)x(k)的觀測值為y(k)。

測得n+N個輸出輸入值y(1)，y(2)，… ，y(n+N)，u(1)，u(2)，… ，u(n+N)，可以得到N個方程，這N個方程的矩陣形式為

在廣義最小二乘法中，有色噪聲被替換為白噪聲ε(k)通過線性系統(tǒng)后所得到的結(jié)果，目的是將有色噪聲表示成白噪聲，其向量矩陣形式

根據(jù)最小二乘法得到參數(shù)向量f的表達(dá)式為

設(shè)e(k)為 y(k)與式(3)的某一行 y?(k)之差，稱 e(k)為殘差，殘差矩陣記為e，則

因為式(12)中ξ(k)是未知的，所以不能直接計算，只好在計算時用殘差e(k)來代替ξ(k)，將代入系統(tǒng)方程得到白噪聲ε(k)和系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上由最小二乘法進行迭代計算得到 a1，a2，…，an，b0，b1，…，bn的無偏估計。

2帶遺忘因子交替廣義最小二乘法

通過對遞推最小二乘法與廣義最小二乘法進行優(yōu)化，本文推導(dǎo)出一種交替廣義最小二乘法。和最小二乘法相比，該方法辨識結(jié)果沒有偏差。由式(2)與式(10)有

交替廣義最小二乘法將方程組表示為

利用最小二乘法得到β的估計值

遞推算法為

在式(18)中

其中

一般的遞推算法適用于常參數(shù)估計，如果遇到時變參數(shù)，由于一般遞推算法會受到大量老舊數(shù)據(jù)的影響，會降低新數(shù)據(jù)對辨識結(jié)果的影響，從而無法準(zhǔn)確辨識出時變參數(shù)。我們可以引入遺忘因子來對新老數(shù)據(jù)加以權(quán)重影響，老數(shù)據(jù)的權(quán)重比較低，從而降低老數(shù)據(jù)對時變參數(shù)的影響，新數(shù)據(jù)的權(quán)重比較高，所以新數(shù)據(jù)對時變參數(shù)影響會加強。這樣我們就可以較為精確地辨識出時變參數(shù)。

建立加入遺忘因子的系統(tǒng)辨識目標(biāo)函數(shù)

式中0＜α≤1稱為遺忘因子，也可稱為加權(quán)因子。當(dāng)α=1時，即為普通的遞推最小二乘。對于0＜α＜1，時間越早的數(shù)據(jù)權(quán)重就越小，調(diào)整遺忘因子α的大小就可以調(diào)整遺忘數(shù)據(jù)的速度，α越小，遺忘舊數(shù)據(jù)的速度就越快。加入遺忘因子的交替廣義最小二乘辨識算法為

3實驗分析

3.1實驗裝置

本文選用兩入兩出水箱系統(tǒng)來進行相應(yīng)實驗，該系統(tǒng)有著典型的非線性、大慣性、時變性、多變量、耦合性等特性。在工業(yè)控制中，有許多被控對象均可抽象成水箱液位控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，中水箱通過閥門向下水箱排水，下水箱通過閥門向儲水箱排水，兩個水泵分別供水。兩個輸入分別為電動調(diào)節(jié)閥開度、變頻器輸出，兩個輸出分別為中、下水箱水位，輸入輸出之間存在耦合關(guān)系，實驗對象模型如圖1所示。

圖1實驗對象模型

3.2實驗對象模型

由圖1，設(shè)通過220V磁力驅(qū)動泵進入中水箱的流量記為u1(t)，通過閥門排出中水箱的流量記為x1(t)，中水箱液位高度記為y1(t)，中水箱截面積記為A1，通過電動調(diào)節(jié)閥進入下水箱的流量記為u2(t)，通過閥門流出下水箱的流量記為x2(t)，下水箱液位高度記為y2(t)，下水箱截面積記為A2。根據(jù)水總量不變，即入流量減去出流量等于液位高度變化率乘水箱截面積，可得到。

當(dāng)液位平衡的時候，出水量等于入水量，即液位變化率為0，則有

當(dāng)出水量不等于入水量時，液位會發(fā)生變化，進而出水口壓力變化，導(dǎo)致出水量也發(fā)生變化。由流體力學(xué)知識可得，流體在紊流的情況下，液位高度與流量之間成非線性關(guān)系。為簡化模型，可作如下近似處理：認(rèn)為液位高度與流量呈線性關(guān)系，流量與液位高度成正比，與閥門阻力成反比。設(shè)中水箱出水閥阻力記為R1，下水箱出水閥阻力記為R2，則可得

將式(26)、(27)代入式(24)、(25)中，再進行拉氏變換可得

由式(28)與式(29)可得實驗系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

由式(30)，圖1所示的兩入兩出水箱系統(tǒng)是一個多回路之間相互耦合的多輸入多輸出系統(tǒng)。

3.3實驗結(jié)果

3.3.1啟動階段

系統(tǒng)在啟動階段先采用手動運行，待系統(tǒng)辨識結(jié)果穩(wěn)定后再切入自動運行。實驗中系統(tǒng)啟動階段的輸入信號、輸出信號、辨識結(jié)果如圖2所示。由圖2(a)可以看出，手動階段輸入信號是一個階躍信號和隨機信號的疊加，這樣的輸入信號可讓辨識算法對系統(tǒng)進行充分辨識。在50 s左右，系統(tǒng)切入自動模式。從圖3(c)可以看出，切入自動模式時系統(tǒng)辨識結(jié)果基本穩(wěn)定，此時切入自動模式是在一個較為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上的。

3.3.2中水箱設(shè)定值改變

切入自動控制后，液位可由算法自動控制。圖3(a)、(b)、(c)分別為中水箱設(shè)定值由1.6 V降到1.4 V之后系統(tǒng)的輸入信號、輸出信號、辨識結(jié)果。而下水箱設(shè)定值保持1.2 V不變。

由圖3(a)可得，設(shè)定值變化后中水箱液位迅速下降，而下水箱液位先有一定上升，然后下降，隨后平穩(wěn)到原先的1.2 V設(shè)定值，而中水箱也經(jīng)過一段調(diào)整，穩(wěn)定在1.4 V設(shè)定值上。理論上中水箱液位變化不會影響到下水箱，但是因為辨識模型和真實對象有一定誤差，有一定波動，之后在控制算法作用下趨于穩(wěn)定。

圖2 啟動階段實驗結(jié)果

從圖3(c)中可以看出，系統(tǒng)辨識結(jié)果開始有一定波動，隨后在30 s時候回歸穩(wěn)定。系統(tǒng)進入正常算法控制階段，之所以有波動是因為電動調(diào)節(jié)閥的控制信號在20 s左右降為0，信號的0輸入會對系統(tǒng)辨識造成一定影響，所以在30 s前液位變化波動很大，辨識算法會進行一段時間的辨識，到30 s時辨識結(jié)果穩(wěn)定，控制算法會使液位逐漸趨于設(shè)定值。

圖3中水箱設(shè)定值改變

4結(jié)論

本文針對多變量耦合系統(tǒng)，在傳統(tǒng)最小二乘法基礎(chǔ)上，提出了一種帶遺忘因子交替廣義最小二乘法，該方法結(jié)合了遞推最小二乘法與廣義最小二乘法的優(yōu)點，既能夠?qū)崿F(xiàn)無偏估計，計算又得到簡化。該方法應(yīng)用于多變量耦合系統(tǒng)，通過在線系統(tǒng)辨識，能夠快速跟蹤系統(tǒng)時變參數(shù)，可以獲得高精度參數(shù)估計。最后通過dSPACE公司DS1103搭建了一個兩入兩出的水箱耦合系統(tǒng)，實驗結(jié)果表明該系統(tǒng)辨識方法的有效性和可靠性。

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