建模分析中的聯(lián)合正態(tài)分布與仿真

李明奇，覃思義

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

在多源信號的輸入建模中，輸入信號一般是隨機(jī)的，或者受隨機(jī)擾動(dòng)的影響。這些高維輸入的隨機(jī)性經(jīng)常通過正態(tài)隨機(jī)向量進(jìn)行刻畫。在模型隨機(jī)分析中，正態(tài)隨機(jī)向量常常需要做變換才能得到輸出，線性系統(tǒng)就是常見的一類變換。經(jīng)線性變換得到的隨機(jī)向量在許多工程問題與系統(tǒng)建模中非常重要[1]。

正態(tài)隨機(jī)向量各分量線性組合的分布問題，已經(jīng)有許多研究結(jié)論，并且許多文獻(xiàn)都構(gòu)造了應(yīng)用實(shí)例。文獻(xiàn)[2]構(gòu)造了兩個(gè)分量都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的二維隨機(jī)向量，其分量之和不服從一維正態(tài)分布。文獻(xiàn)[3]給出了兩類非線性數(shù)值函數(shù)f(x)，使得復(fù)合隨機(jī)變量f(x)仍然服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。文獻(xiàn)[4]給出了若干非線性函數(shù)，使得復(fù)合隨機(jī)變量仍然服從正態(tài)分布。文獻(xiàn)[5]給出了非獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量其線性組合為非正態(tài)分布的例子。文獻(xiàn)[6]給出了n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量其線性組合分布性質(zhì)的一個(gè)充要條件，即在組合系數(shù)都非零的情況下該組合變量是非正態(tài)隨機(jī)變量，其任意r(r＜n)個(gè)的線性組合均為正態(tài)隨機(jī)變量。文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了兩個(gè)例子，說明了n(n≥2)個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量之和不是正態(tài)隨機(jī)變量。文獻(xiàn)[8]構(gòu)造了任意n個(gè)非獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量之和不是正態(tài)隨機(jī)變量的例子。文獻(xiàn)[9]研究了二維正態(tài)隨機(jī)變量的組合問題。

然而，對于聯(lián)合正態(tài)隨機(jī)向量經(jīng)變換所得到的新的向量組分布問題所見文獻(xiàn)不多，仍然需要深入研究。本文研究服從聯(lián)合正態(tài)分布的向量經(jīng)過線性變換后是否構(gòu)成新的聯(lián)合正態(tài)分布的問題，并設(shè)計(jì)了數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真分析。

由于非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量通過簡單的變換就可以變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，本文假設(shè)各正態(tài)隨機(jī)變量均值為零，方差為1。此時(shí)，相關(guān)矩陣與協(xié)方差矩陣一致。

首先，討論線性方程組

的非零解問題。

將線性方程組(1)變換為常見形式:

記αk＝(ck1，ck2，…，ckn)T。 方程組(2)的左端可以寫成系數(shù)矩陣的列向量線性組合形式:

于是，方程組(2)等價(jià)于

因此，要使線性方程組(1)無非零解，向量組{α1，α2，…，αm}必須線性無關(guān)。即矩陣

CT＝列滿秩。

從而，在矩陣C行滿秩時(shí)，方程組(1)無非零解。于是，可以得到引理1:

若線性方程組

(x1，x2，…，xm)C＝(0，0，…，0)，C＝(cij)m×n，cij∈R的系數(shù)矩陣滿足行滿秩，則方程組無非零解；否則方程組有非零解。

1 隨機(jī)向量線性變換的分布

下面分兩種情況討論正態(tài)隨機(jī)變量組

ζ1，ζ2，…，ζn線性變換的分布。

1.1 n個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量分布

ζ1，ζ2，…，ζn是n個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，ζk～N(0，σ2k)。其相關(guān)矩陣B為:

易知，相關(guān)矩陣B是正定矩陣。若正態(tài)隨機(jī)變量組ζ1，ζ2，…，ζn的線性變換為:

則隨機(jī)變量組η1，η2，…，ηn的相關(guān)矩陣滿足

于是，當(dāng)‖x‖2≠0時(shí)，得到以下兩個(gè)結(jié)論:

1) 若 (x1，x2，…，xm)C＝(0，0，…，0) 無非零解，則對于任意非零向量(x1，x2，…xm)，有

(x1，x2，…，xm)CBCT(x1，x2，…，xm)T＝

[(x1，x2，…，xm)C]B[(x1，x2，…，xm)C]T＞0，

即相關(guān)矩陣CBCT是正定矩陣。這時(shí)，隨機(jī)變量組η1，η2，…，ηn服從聯(lián)合正態(tài)分布。

2) 若 (x1，x2，…，xm)C＝(0，0，…，0) 有非零解，則對于任意非零向量(x1，x2，…，xm)，有

(x1，x2，…xm)CBCT(x1，x2，…，xm)T

即矩陣CBCT是半正定矩陣。說明隨機(jī)變量組η1，η2，…，ηn在這種情況下服從退化的聯(lián)合正態(tài)分布。

以上分析可以歸納為定理1:

ζ1，ζ2，…，ζn，ζk～N(0，σ2k)，相互獨(dú)立。當(dāng)Cm×n滿足行滿秩時(shí)，向量 (η1，η2，…，ηn) 服從非退化聯(lián)合正態(tài)分布；否則服從退化的聯(lián)合正態(tài)分布。

1.2 n維非退化的聯(lián)合正態(tài)分布

(ζ1，ζ2，…，ζn)服從n維非退化的聯(lián)合正態(tài)分布，ζk～N(0，σ2k)。其正定相關(guān)矩陣B為:

這時(shí)，矩陣不一定是對角矩陣。隨機(jī)向量組(ζ1，ζ2，…，ζn)經(jīng)過線性變換后得到的向量組(η1，η2，…，ηm) 為:

則相關(guān)矩陣B滿足

于是，對于任意非零向量x，有

因此，設(shè)(ζ1，ζ2，…，ζn)服從n維非退化的聯(lián)合正態(tài)分布，ζk～N(0，σ2k)。其線性變換為:

通過類似于定理1的分析由引理1可以得到如下定理2:

(ζ1，ζ2，…，ζn) 服從n維非退化的聯(lián)合正態(tài)分布，ζk～N(0，σ2k)。當(dāng)矩陣Cm×n滿足行滿秩時(shí)隨機(jī)向量(η1，η2，…，ηn)服從非退化的聯(lián)合正態(tài)分布，否則服從退化的聯(lián)合正態(tài)分布。

事實(shí)上，定理2是定理1的推廣形式。n維聯(lián)合正態(tài)分布問題在建模分析和信號處理中得到廣泛的應(yīng)用。在處理這些問題過程中，定理1和定理2給出了簡潔的判定準(zhǔn)則，將會(huì)使分析過程更加嚴(yán)謹(jǐn)。對于n維聯(lián)合正態(tài)隨機(jī)向量的非線性變換，其分布情況已有一些成果但仍然需要進(jìn)一步研究。

2 實(shí)例仿真實(shí)驗(yàn)

下面，通過對服從二維聯(lián)合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)點(diǎn)的線性變換所得的二維數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真對比分析。仿真實(shí)驗(yàn)過程分以下3個(gè)步驟。

1)產(chǎn)生70個(gè)二維聯(lián)合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x，y)，其協(xié)方差

這些二維正態(tài)分布點(diǎn)如圖1所示，是以下隨機(jī)點(diǎn)產(chǎn)生的基礎(chǔ)。

圖1 正態(tài)分布的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x，y)

2)對已經(jīng)有的二維聯(lián)合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)點(diǎn)(x，y)進(jìn)行行秩為1的線性變換，由

得到數(shù)據(jù)點(diǎn)(u，v)，如圖2所示。點(diǎn)沿著一根直線隨機(jī)分布。隨機(jī)性從二維退化到一維，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與定理2的結(jié)論一致。

圖2 進(jìn)行行秩為1的線性變換后的數(shù)據(jù)點(diǎn)(u，v)

3)對數(shù)據(jù)點(diǎn)(x，y)進(jìn)行行滿秩的線性變換，由

得到數(shù)據(jù)點(diǎn)(m，n)，如圖3所示。

對數(shù)據(jù)點(diǎn)(x，y)進(jìn)行行滿秩的線性變換，由得到數(shù)據(jù)點(diǎn)(α，β)，如圖4所示。

圖3和圖4表明，行滿秩線性變換后的點(diǎn)仍然保持了二維隨機(jī)特征，與定理2的結(jié)論一致。

圖3 進(jìn)行行滿秩線性變換后的數(shù)據(jù)點(diǎn)(m，n)

圖4 進(jìn)行行滿秩線性變換后的數(shù)據(jù)點(diǎn)(α，β)

若仿真實(shí)驗(yàn)中所產(chǎn)生的二維隨機(jī)信號是MIMO通信系統(tǒng)中的兩根發(fā)射天線的發(fā)送信號，發(fā)射前的線性預(yù)處理通常有助于改善信號的特征。若處理不當(dāng)，將會(huì)造成信息的嚴(yán)重?fù)p失 (如圖2所示)。同時(shí)，定理2和仿真結(jié)果也說明二維聯(lián)合正態(tài)分布的信號經(jīng)過行滿秩線性映射到兩根天線后，發(fā)射信號的隨機(jī)特征不會(huì)發(fā)生變化；經(jīng)過非行滿秩線性映射到兩根或更多天線上，發(fā)射信號的隨機(jī)特征將會(huì)發(fā)生變化，如圖3和圖4所示。

3 結(jié)束語

對n維聯(lián)合正態(tài)隨機(jī)向量進(jìn)行線性變換，根據(jù)定理2，只有該變換為行滿秩時(shí)才能得到服從聯(lián)合正態(tài)分布的新的向量，否則，新向量將服從退化的聯(lián)合正態(tài)分布。仿真實(shí)驗(yàn)顯示了不同變換情況下點(diǎn)的隨機(jī)性差異。本文所得判定準(zhǔn)則簡潔易于分析，其結(jié)果有助于高維信號的分析和建模。

[1]ROMANO J P，SIEGEL A F.Counter Examples in Probability and Statistics[M].California:Wadsworth ＆Brooks，1986.

[2]徐全智.關(guān)于正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)的分布[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，1990(z1):153－154.

[3]唐加山.正態(tài)隨機(jī)變量的非線性函數(shù)具有正態(tài)性的兩個(gè)例子[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，19(1):83－85.

[4]唐加山，趙林.關(guān)于正態(tài)隨機(jī)變量函數(shù)的正態(tài)性[J].南京郵電大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2001，21(4):60－63.

[5]李亞蘭.關(guān)于正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合分布[J].仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，17(2):51－55.

[6]尹傳存.關(guān)于正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的分布的一個(gè)充要條件[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，1991(2):28－32.

[7]呂黎明.正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的分布探討[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，25(9):30－32.

[8]傅自晦.關(guān)于正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的分布[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，1988(4):38－41.

[9]任耀峰，王玉琢.正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的分布問題[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013，16(4):104－106.