異重流潛入現(xiàn)象探討Ⅰ：水槽實(shí)驗(yàn)與理論分析成果回顧

范家驊，祁 偉，戴 清

（中國水利水電科學(xué)研究院，北京 100048）

1 異重流潛入及其工程問題

異重流的形成是兩種不同密度的流體相遇時，在一定條件下較重或較輕的流體從有壓水流或無壓水流向另一種不同密度的流體開始過渡到分層流（異重流）的相對運(yùn)動過程。需要研究的問題是：從非分層流過渡到分層流需要遵循哪些條件。這種過渡現(xiàn)象即在潛入點(diǎn)下游形成底部異重流流動，或稱之為異重流渾水楔。

（1）水庫入口處。洪峰期間或非汛期挾沙水流進(jìn)入水庫末端回水區(qū)，流至一定的水深處潛入庫底形成底部異重流，即異重流渾水楔。潛入點(diǎn)下游渾水楔長度隨洪峰歷時而變，洪峰歷時短時，渾水楔流不到壩址，全部淤在水庫內(nèi)；洪峰歷時長時，可通過壩底孔排出部分泥沙；而潛入點(diǎn)上游壅水區(qū)會形成三角洲泥沙淤積并導(dǎo)致河段水位抬高［1-2］。

（2）盲腸河段與河道的交匯處（船閘和引航道）。河道挾沙水流與盲腸河段內(nèi)靜止水體相遇因密度不同產(chǎn)生相對運(yùn)動（即所謂交換水流），挾沙水流潛入底部并流進(jìn)盲腸河段，同時上層清水則自盲腸河段流出進(jìn)入河道。由于河道含沙水流這樣持續(xù)不斷地進(jìn)入盲腸段而造成盲腸河段的累積淤積。

（3）河道交匯處。河道主流含沙量大于支流含沙量時，主流渾水潛入支流形成底部異重流并向支流上游方向運(yùn)動，且上溯至一定距離，形成一段具有一定長度的渾水楔；而當(dāng)支流含沙量大于主流含沙量時，支流渾水則潛入主流，也形成底部異重流和具有一定長度的渾水楔。工程設(shè)計(jì)或研究的內(nèi)容主要為楔內(nèi)泥沙沿程淤積和淤積處理方法。

（4）河口與海域的交匯處。海區(qū)鹽水與河道水流在河口處相遇，在一定條件下會形成向上游的鹽水楔運(yùn)動；而鹽水中含沙量較大時（受海灘風(fēng)浪掀沙影響），上溯水流與河道水流相遇，在一定條件下會形成含沙分層運(yùn)動的渾水楔，渾水楔沿程泥沙淤積會抬高航道底高，需挖除淤積礙航泥沙，才能保持一定航深的航道通航。另外河道挾沙水流流出河口，因其含沙量較小，渾水密度小于海水密度，渾水會向海面擴(kuò)散，形成上層異重流。

2 潛入現(xiàn)象研究回顧

異重流潛入現(xiàn)象的水槽實(shí)驗(yàn)、水力理論分析和模型數(shù)值計(jì)算工作，國內(nèi)國外不少學(xué)者進(jìn)行過研究，以下將分述和回顧各家研究成果；同時本文還將著重于渾水異重流在等寬水槽內(nèi)的現(xiàn)象，在筆者先前工作的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的分析，與前人工作進(jìn)行對比，以獲得對異重流潛入現(xiàn)象進(jìn)一步的認(rèn)識，并對潛入現(xiàn)象的水力分析中若干問題進(jìn)行討論，為工程設(shè)計(jì)中水力計(jì)算提供參考［1-2］。

2.1 水庫壅水區(qū)渾水潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn) 渾水異重流潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)有范家驊［3］、蘆田和男［4］、曹如軒［5］、曹如軒與錢善琪［6］、俞維升［7］、姚鵬與王興奎［8-9］和焦恩澤［10］等。筆者分別在寬15 cm水槽和寬50 cm水槽內(nèi)進(jìn)行過渾水潛入實(shí)驗(yàn)，異重流潛入過程如圖1所示。

水槽實(shí)驗(yàn)中一般觀測記錄潛入點(diǎn)的水深、含沙量、流速以及潛入點(diǎn)潛入后交界面線的沿程變化，并進(jìn)行部分測次若干斷面的含沙量垂線分布和流速分布的測量。對潛入點(diǎn)測定數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱分析，可獲得潛入點(diǎn)斷面密度Froude數(shù)Fp的值。根據(jù)Schijf和Schonfeld［11］的異重流雙層漸變流方程，潛入點(diǎn)水深過渡到潛入點(diǎn)異重流水深之間會存在一個交界面線的拐點(diǎn)，該處密度Froude數(shù)等于1；而潛入點(diǎn)水深大于該處臨界密度Froude數(shù)中的水深，故可見潛入點(diǎn)處密度Froude數(shù)Fp小于1。資料分析得潛入點(diǎn)處密度Froude數(shù)：

圖1 異重流潛入圖

式中：up為異重流潛入點(diǎn)流速；hp為潛入點(diǎn)水深；g′=(?ρ/ρ)g。1961年筆者又在長50 m、寬0.5 m、高2 m水槽內(nèi)進(jìn)行異重流潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)沙粒徑d90=0.0145～0.05mm，d50=0.0055～0.008 mm，觀測沿程渾水水深、含沙量和泥沙粒徑的變化，4次實(shí)驗(yàn)后得Fp=0.58～0.66。

蘆田和男［4］進(jìn)行渾水實(shí)驗(yàn)，分析得：其中hp為潛入點(diǎn)水深；S為底部比降；q為單寬流量。曹如軒等曾對上式利用他們的實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行比較，其系數(shù)大于蘆田和男的0.365，一般在0.4～0.57之間，平均值為0.44。

曹如軒［5］利用3個水槽進(jìn)行含沙量6.5～715 kg/m3的渾水潛入實(shí)驗(yàn)，其中根據(jù)含沙量在30 kg/m3以下的資料得：而渾水含沙量大于100 kg/m3時Fp值較小，且隨著含沙量的增加Fp值減小。含沙量在100～360 kg/m3時，F(xiàn)p=0.4～0.2。曹如軒等對含沙量高且流體黏滯系數(shù)大的高含沙水流，利用Bingham體有關(guān)參數(shù)和流體阻力系數(shù)聯(lián)系來分析潛入點(diǎn)密度Froude數(shù)與含沙濃度的某種關(guān)系，分析得到符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)變化趨勢的結(jié)果。曹如軒與錢善琪［6］進(jìn)行含粗沙高含沙量潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)，得到與低含沙量潛入類似的Fp值結(jié)果。俞維升［7］用高岺土和石英沙挾沙水流以及鹽水進(jìn)行潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)，觀察到潛入點(diǎn)向下游移動至一定處趨于穩(wěn)定的現(xiàn)象，且平均Fp≈0.71；同時通過沿程流速測量與分析，計(jì)算得潛入后異重流流量沿程增加的現(xiàn)象。姚鵬與王興奎［8-9］在長而寬的水槽內(nèi)進(jìn)行4種底坡的渾水異重流潛入點(diǎn)試驗(yàn)，槽寬1.2 m、長63.8 m，觀察到潛入點(diǎn)Fp值因底坡加大而降低，變化范圍在0.67～0.57之間。焦恩澤［10］進(jìn)行不同含沙量（12～479 kg/m3）的潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)，其中大量試驗(yàn)為高含沙量異重流實(shí)驗(yàn)。同曹如軒實(shí)驗(yàn)類似，F(xiàn)p值隨含沙量增加而變小，并利用Bingham體參數(shù)與潛入點(diǎn)建立一定關(guān)系。范家驊［12］考慮小浪底水庫的含沙量范圍可用曹如軒、焦恩澤等人的高含沙異重流潛入點(diǎn)數(shù)據(jù)，并采用量綱分析方法，得到含沙量在400 kg/m3以下范圍內(nèi)的Fp平均關(guān)系為Fp=0.9c0.1，c為含沙量。

近年來國內(nèi)關(guān)于水庫潛入點(diǎn)Fp的研究公開發(fā)表的論文近20余篇，主要為小浪底水庫高含沙量異重流的控制運(yùn)用中進(jìn)行異重流潛入點(diǎn)參數(shù)的研究，并對包括小浪底水庫及其它水庫的觀測資料、水槽實(shí)驗(yàn)和模型試驗(yàn)資料進(jìn)行有關(guān)水沙因素與Fp的影響分析。如李濤和張俊華等［13］、李書霞等［14］、李濤和夏軍強(qiáng)等［15］的研究，可見在高含沙量異重流潛入點(diǎn)處，F(xiàn)p參數(shù)與含沙量值有一定影響。

各家實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及渾水模型、數(shù)值計(jì)算結(jié)果列于表1。

表1 渾水異重流潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)、數(shù)值計(jì)算與水力分析

2.2 鹽水與冷熱水潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn) 除了渾水實(shí)驗(yàn)，尚有利用鹽水和冷熱水模擬渾水進(jìn)入水庫壅水區(qū)潛入的水槽實(shí)驗(yàn)，有Keulegan［17］、Singh與Shah［18］、Itakura與Kishi［19］、Fukuoka等［20］、Kan與Tamai［21］等人的鹽水實(shí)驗(yàn)，以及Farrell與Stefan［22］、Akiyama與Stefan［23-24］等人的冷熱水實(shí)驗(yàn)。各家實(shí)驗(yàn)結(jié)果列于表2。

Keulegan［17］進(jìn)行無潮河口鹽水水槽實(shí)驗(yàn)，觀測進(jìn)槽的鹽水異重流前鋒加速運(yùn)動規(guī)律。令進(jìn)口水深即為潛入點(diǎn)水深，以hp表示；異重流前鋒速度以ud表示。用資料分析可得：hp=2hd且0.57，故有

表2 鹽水和冷熱水潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)

Singh與Shah［18］用鹽水在水槽內(nèi)進(jìn)行了異重流潛入實(shí)驗(yàn)。水槽長14 m，寬0.4 m，進(jìn)槽單寬流量0.5～135 cm2/s，密度差為0.0005～0.013 g/cm3，異重流水深為1.5～17 cm，潛入點(diǎn)水深3～22.5 cm，水槽底坡S為0.005～0.02。他們使用量綱分析潛入點(diǎn)水深Re（Reynolds數(shù)）和底坡S諸因素的函數(shù)，并點(diǎn)繪潛入點(diǎn)水深與Re和S底坡的關(guān)系，表明在Re=600～11000以及S=0.0056～0.0215之間，此兩因素對潛入點(diǎn)水深無多大影響；在低流量和高密度的某些測次，水面有明顯的分界線，但未觀測到有向下游流動的異重流，這些測次的值小于2 cm，均未包括在分析之中。最后分析對較大值有：

以密度Froude數(shù)Fp可表示為：

Fukuoka等［20］在長6.9 m、高0.9 m、寬0.20 m水槽內(nèi)進(jìn)行鹽水潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)。槽底比降為1/10的實(shí)驗(yàn)7次、比降1/60的實(shí)驗(yàn)7次，觀測潛入點(diǎn)交界面形狀、流速分布、鹽分分布等；并分析點(diǎn)繪潛入點(diǎn)水深與的關(guān)系；還加入石橋和巖崎在水庫中數(shù)次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得平均值：Fu?kuoka等認(rèn)為他們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與他們在文中介紹Benjamin的理論分析結(jié)果接近，并計(jì)算出摻混系數(shù)E在0.046×10-2～1.8×10-2之間，還點(diǎn)繪實(shí)測和計(jì)算的沿程交界面高度的變化。

Kan與Tamai［21］在槽長6 m、高0.9 m、寬0.3 m、底坡為0.1～0.25的水槽內(nèi)進(jìn)行鹽水異重流潛入實(shí)驗(yàn)，進(jìn)槽鹽水密度為1.00006～1.056 g/cm3，q=2.4～2.5 cm3/cm，得潛入點(diǎn)Fp平均值0.63，此值系26次數(shù)據(jù)0.45～0.92的平均值。

Farrell與Stefan［22］應(yīng)用k-ε模型計(jì)算了潛入點(diǎn)水流現(xiàn)象，并進(jìn)行了水槽冷熱水實(shí)驗(yàn)。槽長40呎、寬16.5呎、底坡S=0.047，觀測潛入點(diǎn)處水深、流速和溫度差以及潛入?yún)^(qū)下游異重流水深、流速及溫度等。實(shí)驗(yàn)共進(jìn)行7次，實(shí)驗(yàn)資料分析得：Fp=0.69。實(shí)驗(yàn)還觀測了1次摻混系數(shù)：式中Qm為異重流流量，Q0為進(jìn)槽流量。

Akiyama與 Stefan［23-24］在槽寬61 cm、深30.5 cm且具有一邊擴(kuò)展角1°、3°和7°的水槽內(nèi)進(jìn)行冷熱水異重流潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)，研究槽寬擴(kuò)寬對潛入的影響，實(shí)測獲得Fp=0.56～0.89之間，平均值為0.68；實(shí)驗(yàn)中還測得潛入點(diǎn)下游異重流水深hd和潛入點(diǎn)水深hp的比值在0.65～0.9之間；并實(shí)測摻混系數(shù)γ＝0～0.31，摻混系數(shù)的定義為Q0為進(jìn)槽流量，Qd、Qp分別為異重流流量和潛入點(diǎn)流量。該文中點(diǎn)繪Fp和F0的關(guān)系，可看出在1°時，F(xiàn)p在0.6～0.7之間；3°時Fp=0.65～0.8之間；7°時Fp=0.6～0.8之間；總的范圍在0.6～0.8之間，可見F0對Fp的影響不大。關(guān)于此關(guān)系，Stefan與Johnson［25］在他們論文中補(bǔ)充了擴(kuò)展角3°共計(jì)5個新的測點(diǎn)，點(diǎn)繪在一起，顯示Fp與F0和δ兩者無多大關(guān)系。

2.3 “交換水流”渾水及鹽水潛入實(shí)驗(yàn)與水力分析 引航道口門渾水潛入形成渾水楔、船閘鹽水交換以及無潮河口入海處含鹽水流潛入河口段形成鹽水楔示意圖見圖2。

圖2 引航道河口門異重流潛入圖

這類船閘“交換水流”潛入實(shí)驗(yàn)的研究重點(diǎn)在于：求取船閘閘門打開后鹽水進(jìn)入儲有清水的船閘時潛入形成底層水流的鹽水和前鋒速度兩者的關(guān)系，可用密度Froude數(shù)的值表示，式中符號：前鋒速度uf（即異重流流速ud），河口水深H（即潛入點(diǎn)水深hp），清水與鹽水的密度差?ρ/ρ。

進(jìn)行相關(guān)理論分析和鹽水實(shí)驗(yàn)工作的有O'Brien 與 Cherno［26］、 Yih C S（易 家 訓(xùn)）［27］、Keulegan［28］、Middleton［29］、Rozovsky［30］、Kersey和 Hsu［31］、 Lam［32］、Barr［33］、Rottman 與 Simp?son［34］。利用渾水進(jìn)行引航道異重流潛入實(shí)驗(yàn)的有范家驊［1］。此外陳國謙和李行偉［35］利用k－ε（BN6）模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與水力分析列于表3。

至于各家水槽實(shí)驗(yàn)，由于上下層水深不同以及交界的阻力系數(shù)的影響，F(xiàn)p值略大于或略小于0.25。

水庫壅水區(qū)和引航道口門這兩類異重流潛入，因?yàn)闈撊胩幍膸缀魏退鳁l件不同，主要由于上層水流流速ua值在水庫中很小，分析時可忽略不計(jì)；而在引航道中ua接近ud。故兩者的潛入點(diǎn)密度Froude數(shù)Fp有差異。綜上所述：水庫中Fp在0.5～0.8之間，引航道中Fp在0.25左右。

表3 船閘交換水流鹽水、渾水實(shí)驗(yàn)與水力分析

3 異重流潛入現(xiàn)象的理論分析成果

3.1 von Karman的理論分析成果 von Karman［36］應(yīng)軍事部門的求詢，討論一種理想流體模型。圖3為較重液體ρ2在較輕液體ρ1中運(yùn)動，考慮較輕液體在無限深度假設(shè)前提下，推導(dǎo)下層較重液體恒定運(yùn)動的流動速度c1。

von Karman應(yīng)用A點(diǎn)和B點(diǎn)的Bernoulli方程：

在以一定速度運(yùn)動的框架之中水流為恒定，因?yàn)橄鄬τ谶@框架，水流為靜止：

因此有：

3.2 Benjamin的理論分析成果 Benjamin［37］認(rèn)為von Karman利用能量方程并忽略滯流點(diǎn)前端頭部高密度水流受到與上層水流混合的能量損失是不能接受的，雖然Benjamin的推理得到同樣的c1結(jié)果。易家訓(xùn)［38］的看法是von Karman雖然在這一點(diǎn)上是一個疏忽，但使用Bernoulli方程所取上下游兩點(diǎn)，如果在上游的點(diǎn)取的位置更上游一些，下游的點(diǎn)更下游一些，使用Bernoulli方程則無問題。

Benjamin分析兩平板之間的空穴流的空穴移動速度，分析中忽略黏性和表面張力，上游無窮遠(yuǎn)處水深為d，流速為c1，下游無限遠(yuǎn)處水深為h，流速為c2。概化圖見圖4。

沿表面的Bernoulli方程，O點(diǎn)表面的壓力為零：

無限遠(yuǎn)處的壓力p0：

上下游遠(yuǎn)處的斷面壓力分布為靜水壓力分布，動量守恒方程為：

圖3 von Karman異重流概化圖

圖4 Benjamin空穴流概化圖

連續(xù)條件為c1d=c2h，解得：

其次Benjamin考慮水流的能量損失：假定水流有水頭損失，流速c2在很遠(yuǎn)的下游會變成均勻流，定義Δ為水頭損失，則有：

此式與力平衡所得的下式：

相等，可得：當(dāng)h＜0.5d時，Δ為負(fù)值，故在實(shí)際中不能發(fā)生。利用以上各式，可得當(dāng)h＞0.5d時，有：

3.3 Singh和Shah的理論分析成果 Singh和Shah［18］除了進(jìn)行鹽水潛入點(diǎn)水槽實(shí)驗(yàn)外，還用動量方程分析潛入現(xiàn)象，動量方程為：

式中：左邊代表動量的改變率，β1和β2為動量系數(shù)；v1和v2為兩斷面的平均流速；P1和P2為兩斷面的壓力；F1和F2為底部和交界面的剪力阻力；Ws為兩斷面間液體重量的分力。

Singh在分析中作出如下假定：水壓力為靜水壓力分布；每一點(diǎn)的水流方向平行于槽底；潛入長度L和底坡S均為小值，故第2斷面總水深等于第1斷面的水深，即潛入點(diǎn)水深；交界面上的阻力F2假定平行于槽底。概化圖見圖5。

為簡化分析，忽略F1、F2和Ws小值，可得：

對上式的分析采用三種簡化：第一種是忽略潛入點(diǎn)斷面與下游異重流斷面之間底部阻力和交界面阻力，并忽略動量流速分布系數(shù)，得：第二種考慮動量流速分布系數(shù)，計(jì)算得該系數(shù)β1和β2等于1.18，則：第三種考慮潛入點(diǎn)潛入?yún)^(qū)距離之內(nèi)的底部和交界面阻力的影響，Singh從均勻異重流中計(jì)算得平均總阻力系數(shù)f為底部阻力系數(shù)與交界面系數(shù)之和，其值為0.13，最后得：

Singh按三種關(guān)系式計(jì)算的潛入點(diǎn)水深值同實(shí)驗(yàn)測得的潛入點(diǎn)水深值點(diǎn)繪在同一圖上對比，顯示三條平均線在水深較小部分計(jì)算值偏大，在水深較大時則偏差較小。

3.4 Savage和Brimberg的理論分析成果 Savage與Brimberg［39］采用類似Benjamin的方法分析潛入點(diǎn)的水力特性。應(yīng)用Bernoulli原理，分析恒定二維兩種密度ρ1和ρ2的流體，斷面1處于潛入點(diǎn)上游遠(yuǎn)處，流速為u1，水深為h1；斷面2處于潛入點(diǎn)的下游遠(yuǎn)處，流速為u2，水深為h2。概化圖見圖6。設(shè)

O點(diǎn)為滯流點(diǎn)，沿自由水面的O點(diǎn)的上游應(yīng)用Bernoulli原理；其次應(yīng)用Bernoulli原理自O(shè)點(diǎn)沿交界面下游；并設(shè)在潛入點(diǎn)上游相當(dāng)遠(yuǎn)處和下游相當(dāng)遠(yuǎn)處水壓力為靜水壓力，運(yùn)用動量平衡方程可導(dǎo)得：

圖5 Singh潛入點(diǎn)概化圖

圖6 Savage潛入點(diǎn)概化圖

令潛入點(diǎn)水深h1即為hp，可表示為：

Savage用以上推導(dǎo)的關(guān)系式同Singh的潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)水深比較，兩者較接近，但測點(diǎn)分散。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示除以外尚有其它參數(shù)的影響，如底坡和交界面剪應(yīng)力。Savage考慮到第一部分的水力分析工作忽略了底部比降和剪應(yīng)力，故利用Schijf與Schonfeld［11］的雙層漸變流一維運(yùn)動方程來分析潛入點(diǎn)現(xiàn)象，分析中令水流為恒定及上層流速為零，對動力方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

Savage為了定性描述潛入點(diǎn)下游的交界面形狀，利用底層漸變流方程，將潛入點(diǎn)處的底部作為坐標(biāo)零點(diǎn)，垂向坐標(biāo)z代表水深，縱向坐標(biāo)為距離x，推求漸變流方程的解。這樣就類似于明渠漸變水流，可分為數(shù)種水面線類型。

從潛入點(diǎn)起向下游的交界面線在緩坡和急坡情況下可能出現(xiàn)的是接近M2和S2的曲線。數(shù)值計(jì)算的結(jié)果可建立Fp為f，α和S（底坡）的函數(shù)。對于緩坡有：

上式是在f=0.01～0.09，α=0.2～0.8，α=fi/f以及緩坡范圍內(nèi)的計(jì)算結(jié)果。

而在急流條件下，計(jì)算表明其性質(zhì)與緩坡情況類似。但有一點(diǎn)不同，當(dāng)潛入點(diǎn)密度Froude數(shù)為Fp=0.8至0.845時，交界面曲線出現(xiàn)劇烈變化。Savage分析Singh的實(shí)驗(yàn)資料，其潛入點(diǎn)Fp值小于0.8，在0.3～0.8之間，點(diǎn)繪的關(guān)系線，并以參數(shù)Fp=0.3～0.8作直線，測點(diǎn)絕大部分在Fp＝0.3～0.8線的范圍之內(nèi)。

3.5 Jain的理論分析成果 Jain［40］著文檢驗(yàn)Savage的論文，提出一些不同意見。他認(rèn)為用能量方程于潛入點(diǎn)附近的水流在物理上是不可能的。潛入點(diǎn)附近的能量耗損不可忽視，因此他利用動量方程和能量方程（考慮能量損失Δ）進(jìn)行分析，概化圖見圖7。并得到以下關(guān)系式：

圖7 Jain潛入點(diǎn)概化圖

Jain指出Savage和Brimberg的分析，F(xiàn)1＝0.5為以上關(guān)系式當(dāng)HL＝0和且β＝0.5時的特解。Jain對Δ值作出的假定，表示β與的相應(yīng)關(guān)系。Jain計(jì)算出在不同β值時動量方程的解，并且指出對于某一已知β值存在一個F1的極大值（F1max），大于此值時不能發(fā)生潛入現(xiàn)象。

Jain的論文第二部分分析交界面曲線的計(jì)算，認(rèn)為積分的方向是敏感的，計(jì)算應(yīng)從控制斷面算起。他利用Schijf與Schonfeld［11］的雙層漸變流的一維方程進(jìn)行計(jì)算，并假定其上層水流的平均流速為零。上層水面為水平，水深為a1，下層水深為a2，在潛入點(diǎn)處a1=0，如圖5所示圖形。可得：

上式僅包含兩個無量綱參數(shù)λ和ηc，可用不同的λ和ηc值和不同下游條件求得數(shù)值解，其積分是從下游控制斷面向上游方向計(jì)算。

對緩坡的計(jì)算，設(shè)一定的阻力系數(shù)α=0.5、λ=1 3和ηc＜1（即臨界水深小于正常水深，如ηc=0.5）以及若干下游條件向上游進(jìn)行積分。所求得的對于大范圍的下游條件的交界面曲線在潛入點(diǎn)附近連接，且潛入點(diǎn)水深值與下游邊界條件無關(guān)。但當(dāng)積分是從上游向下游進(jìn)行計(jì)算，即使很小的差別，卻會造成不同的交界面曲線。

對陡坡（ηc＞1）計(jì)算兩種典型的交界面曲線ηc=1.3以及λ=1 3（α=0.5），交界面曲線S1和S3均為緩流。

對于潛入水深，無量綱潛入點(diǎn)水深ηp僅為ηc和λ（或α）的函數(shù)，有下列近似關(guān)系：

3.6 朱鵬程的理論分析成果 朱鵬程［41］首先對異重流潛入條件按以下概化圖形（見圖8）進(jìn)行了理論分析，得：

得：

曹如軒等［5］用同樣方法，得上述相同公式。朱鵬程注意到上列動量方程導(dǎo)得的方程類似水躍前后的共軛水深，因此其間須經(jīng)過臨界水深。他認(rèn)為要產(chǎn)生共軛水深，F(xiàn)p必須小于1且Fd必須大于1。

蘆田和男［4］對異重流潛入現(xiàn)象進(jìn)行分析和渾水實(shí)驗(yàn)，求解潛入點(diǎn)水深。解得：

3.7 Akiyama和Stefan的理論分析成果 Akiyama與Stefan［42-43］分析潛入現(xiàn)象時，首先利用動量公式并引進(jìn)摻混系數(shù)γ，推導(dǎo)潛入點(diǎn)密度Froude數(shù)與潛入點(diǎn)下游異重流厚度等因子的關(guān)系。

圖9概化圖形中的CVⅠ動量方程假定可忽略混合區(qū)的底部阻力以及忽略比降的影響，得下式：

他們定義摻混系數(shù)γ（水庫清水混入底部異重流的水量）：

CVⅡ的動量方程：

圖8 朱鵬程異重流潛入點(diǎn)概化圖

圖9 Akiyama異重流潛入點(diǎn)概化圖

以上兩動量方程合并，得：

式（19）中Fd為潛入點(diǎn)下游的異重流密度Froude數(shù)，此式表明Fd和和γ的關(guān)系。

為了分析潛入點(diǎn)水沙因子與底部阻力、交界面阻力以及下游異重流的影響，Akiyama作出假定：潛入點(diǎn)下游異重流在急坡時Fd等于臨界值；在緩坡時Fd等于正常值Fn。他們利用Ellison與Turner［44］的具有摻混系數(shù)的異重流緩變方程，求解緩坡和急坡時的與摻混系數(shù)、阻力系數(shù)、底部比降以及異重流流速分布系數(shù)的關(guān)系式。由于所求得的關(guān)系式中阻力系數(shù)與摻混系數(shù)的各項(xiàng)關(guān)系式過長，為了同Singh等人實(shí)驗(yàn)資料做比較，Akiyama假定在進(jìn)口處無摻混現(xiàn)象，即γ=0，故得下式：

緩坡：

陡坡：

式中的異重流流速分布系數(shù)采用Ellison與Turner的實(shí)驗(yàn)值。（Ellison與Turner用鹽水做實(shí)驗(yàn)所得流速分布系數(shù)S1、S2值遠(yuǎn)較Parker等［45］渾水異重流實(shí)驗(yàn)測得值為?。?。Akiyama將此兩式與Singh的鹽水潛入實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行對比，實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值符合。

3.8 Parker和Toniolo的理論分析成果 Parker和Toniolo［46］專門針對Akiyama與Stefan的論文［43］提出意見。他們指出：Akiyama文中在分析阻力系數(shù)和底部比降等影響時所假定潛入點(diǎn)下游的異重流運(yùn)動在緩坡時的Fd值為正常值、在急坡時的Fd值為臨界值是錯誤的，也是沒有必要的。他們認(rèn)為Akiya?ma的分析，用兩種CVⅠ和CVⅡ的動量守恒方程就足以闡明hd和hp的關(guān)系，而且能得到Fp和Fd兩者僅為摻混系數(shù)γ的關(guān)系式。

Parker分析CVⅠ的動量方程，導(dǎo)得以下兩式：

當(dāng)γ=0時，式（22）可得與朱鵬程推導(dǎo)相同的式（16）。

從式（22）可計(jì)算k為Fp和γ的函數(shù)，如果hp、up、εγ（來水密度以及γ為已知，則hd、ud和εd（異重流密度可從式（22）、連續(xù)方程求得。

Parker根據(jù)CVⅡ的動量方程，導(dǎo)得：

將式（24）代入式（22）

Parker認(rèn)為利用CVⅡ的動量方程，有了式（24）就可直接計(jì)算Fp，如僅有CVⅠ的動量方程，所求得的式（22）還須先知道Fp和γ（或Fd和γ）用于計(jì)算k值，而用CVⅡ動量方程求得的式（24）和式（25），F(xiàn)p和k兩者可從已知γ時求得。

4 異重流潛入現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型計(jì)算成果

方春明等［16］對水庫異重流潛入條件采用動量方程分析得：

根據(jù)兩種概化圖形，利用能量方程和動量方程進(jìn)行理論分析，探討了異重流在水庫中潛入點(diǎn)密度Froude數(shù)小于1的水沙條件。方春明等還建立了二維水流和懸沙數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒Y(jié)果，選取曹如軒9組水槽潛入點(diǎn)實(shí)驗(yàn)所測資料進(jìn)行對比計(jì)算，計(jì)算得Fp=0.48～0.77，與實(shí)驗(yàn)Fp=0.45～0.75比較，兩者接近。而且他們對影響水流和泥沙模型計(jì)算結(jié)果的幾個因素進(jìn)行了潛入點(diǎn)流態(tài)和潛入點(diǎn)水深的對比計(jì)算；還計(jì)算了異重流潛入點(diǎn)的流場、清渾水交界面水深的縱向變化以及水面線的縱向變化，發(fā)現(xiàn)在壅水區(qū)水面線在潛入點(diǎn)附近出現(xiàn)倒比降。此計(jì)算結(jié)果與Savage提出的異重流潛入現(xiàn)象分析的概化圖形中下游斷面水位隆起高度Δ在定性上相符。

Farrell與Stafan［22，47］對水庫中異重流潛入現(xiàn)象用k～ε模型進(jìn)行計(jì)算，模型包括水流動量方程和溫度方程，共進(jìn)行12次紊流模型方程計(jì)算，得，即Fp=0.5。潛入點(diǎn)水深與Singh和Shah、Farrell和Stefan的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)系數(shù)1.3相比大20%，F(xiàn)arrell和Stafan尚難解釋其差別的原因；其次這12次計(jì)算中，計(jì)算初期混合系數(shù)（用符號γ表示）在0.028～0.19之間，γ的變化可用下式表示，Q0為進(jìn)槽流量，Qd為異重流流量。

Bournet等［48］的異重流潛入數(shù)值模型計(jì)算，應(yīng)用水流動量方程、k-ε模型以及溫度輸移方程，計(jì)算流速場和溫度在等寬槽和水槽其中一邊擴(kuò)展一個小的角度（1°～7°）兩種情況下的分布。在等寬槽的計(jì)算中引進(jìn)摻混系數(shù)，其值在0.005～0.012之間，計(jì)算得潛入點(diǎn)水深此式hp計(jì)算值較Singh實(shí)驗(yàn)值大些。

表4 水庫異重流潛入點(diǎn)理論分析與數(shù)值計(jì)算

表5 引航道口門異重流潛入點(diǎn)理論分析

以上各家理論分析和數(shù)值模型計(jì)算成果，匯總列于表4和表5。有關(guān)渾水異重流潛入實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析，將在本文第Ⅱ篇中給予介紹。

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