帶有部分不確定性的平差算法在高程擬合中的應(yīng)用

左廷英，丁俊豪，宋迎春，肖兆兵

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

GPS測(cè)量能夠獲得測(cè)站點(diǎn)高精度的WGS-84坐標(biāo)，即大地經(jīng)度L，大地緯度B和大地高H[1-2]。通過(guò)高斯正算公式能將大地坐標(biāo)L和B轉(zhuǎn)換為高斯-克呂格投影平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y)，但高程則需利用高程擬合實(shí)現(xiàn)，考慮到大地高與正常高的差值(高程異常)，通常的方法是以平面坐標(biāo)(x,y)為自變量，高程異常值為因變量來(lái)建立擬合函數(shù)[3-4]。若僅考慮高程異常(觀測(cè)向量)的誤差，認(rèn)為平面坐標(biāo)無(wú)誤差，則可直接利用最小二乘法(Least-Squares，LS)求得擬合參數(shù)。由于測(cè)量技術(shù)手段和環(huán)境因素，平面坐標(biāo)必然存在誤差，有時(shí)這種誤差甚至是不確定的，造成法方程系數(shù)陣包含不確定性，最小二乘解不夠精確。研究者針對(duì)觀測(cè)向量和系數(shù)陣都含有誤差的情況，提出采用總體最小二乘法(Total Least-Squares，TLS)解決[5-10]。如王樂(lè)洋等人推導(dǎo)了利用監(jiān)測(cè)點(diǎn)位移或速度反演地殼應(yīng)變參數(shù)的總體最小二乘方法的求解過(guò)程；陸玨在相機(jī)定標(biāo)過(guò)程中，考慮像點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)地面點(diǎn)坐標(biāo)均存在誤差，采用總體最小二乘方法修正誤差方程中的系數(shù)陣和觀測(cè)向量，提出了更合理的計(jì)算模型。但考慮到總體最小二乘平差模型將不確定性(誤差)同時(shí)融入觀測(cè)矩陣和系數(shù)陣，可能導(dǎo)致系數(shù)陣過(guò)度修正[11]。于是，有研究者提出，引入不確定度(不確定性的度量指標(biāo))來(lái)限制不確定性。目前，在測(cè)繪領(lǐng)域，應(yīng)用不確定度理論，研究減小不確定性的方法仍是一個(gè)新熱點(diǎn)。如宋迎春將不確定度作為參數(shù)融入函數(shù)模型中，利用殘差最大不確定度達(dá)到最小的平差準(zhǔn)則(max-min準(zhǔn)則)，采用迭代算法解算不確定性平差模型[12]。鄒渤將前者帶不確定性的平差算法成功運(yùn)用于沉降A(chǔ)R模型中，獲得了較最小二乘和總體最小二乘更高的預(yù)測(cè)精度[13]。

本文考慮到系數(shù)陣中并非所有元素都含有不確定性，針對(duì)類(lèi)似于GPS高程擬合的案例，將系數(shù)陣進(jìn)行分塊處理[14]，對(duì)含有不確定性的區(qū)塊進(jìn)行限制，運(yùn)用帶部分不確定性的平差算法(PULS，Least-Squares with Part of Uncertainty)解算擬合參數(shù)，并與最小二乘、總體最小二乘對(duì)相同對(duì)象的解算結(jié)果進(jìn)行比較，分析 PULS算法的有效性。

1 GPS高程擬合模型

目前，主流的GPS高程擬合模型是針對(duì)高程異常的曲線擬合和曲面擬合[1]。本文以二次曲面擬合為研究對(duì)象，模型為

ξ=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2.

(1)

式中:ξ為高程異常值，(x,y)為高斯平面坐標(biāo)，ai(i=0,1,2,3,4,5)為擬合參數(shù)。求解這6個(gè)參數(shù)，至少需要6個(gè)平面點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的高程異常值，若有n個(gè)觀測(cè)值，則

(2)

組成誤差方程V=AX-L，其中

(3)

2 高程擬合模型的部分不確定性

觀測(cè)數(shù)據(jù)中常含一些不確定的附加信息或先驗(yàn)信息，它們的統(tǒng)計(jì)信息和概率分布函數(shù)無(wú)法確定。在GPS高程擬合模型中，平面坐標(biāo)和高程異常值含有不確定性的量，干擾量帶有不確定區(qū)間，即

(4)

‖ΔA2‖F(xiàn)≤α,‖ΔL‖F(xiàn)≤β.

(5)

融入不確定度參數(shù)α和β后，原平差模型轉(zhuǎn)化為帶部分不確定性的平差模型，即

(6)

在部分帶不確定性的平差模型中，不確定度α和β的上限已知，即帶不確定性的部分A2和觀測(cè)向量L的不確定性是已知的。在總體最小二乘平差(TLS)中，系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的不確定性都是未知的；而最小二乘平差(LS)不考慮系數(shù)矩陣的不確定性(即ΔA=0)，僅認(rèn)為觀測(cè)向量的不確定性未知。

在限制不確定性的情況下，對(duì)X進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可根據(jù)文獻(xiàn)[14]提出的min-max平差準(zhǔn)則，使殘差的不確定性達(dá)到最小，即

(7)

在上述準(zhǔn)則下，一個(gè)類(lèi)似的部分嶺估計(jì)[15]為

(8)

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3 實(shí)驗(yàn)分析

表1 模擬點(diǎn)坐標(biāo)及其對(duì)應(yīng)的高程異常值 m

圖1 模擬點(diǎn)分布

解算的擬合參數(shù)與其真值之間差值的二范數(shù)，表征解算精度見(jiàn)表2和圖2。從表2中可以看到，帶部分不確定性平差算法(PULS)解算參數(shù)的精度高于最小二乘(LS)和總體最小二乘(TLS)，差值二范數(shù)僅為0.015，而總體最小二乘平差由于系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量同時(shí)考慮不確定性，但這種不確定性的限度未知，導(dǎo)致了修正過(guò)度，使得結(jié)果不及最小二乘平差。為了檢驗(yàn)所求參數(shù)的適用性，另外設(shè)置50個(gè)均勻分布模擬點(diǎn)進(jìn)行高程異常內(nèi)插，以參數(shù)真值計(jì)算的高程異常真值作為評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)。50個(gè)高程異常利用MATLAB中MESH函數(shù)繪制的三維曲面圖見(jiàn)圖3。計(jì)算的各點(diǎn)高程異常值分別減去對(duì)應(yīng)的真值再取絕對(duì)值后繪制的折線圖見(jiàn)圖4，子圖中虛線表示平均絕對(duì)差值，三種平差模型計(jì)算的參數(shù)內(nèi)插高程異常得到的平均絕對(duì)差值分別為：0.56 mm(LS)、0.77 mm(TLS)和0.07 mm(PULS)，可以看到利用PULS計(jì)算的參數(shù)內(nèi)插高程異常的精度較LS和TLS高一個(gè)數(shù)量級(jí)，與表2得到的結(jié)論一致。另外從圖4可以看出，LS和TLS方法得到的擬合參數(shù)內(nèi)插高程異常的絕對(duì)差值有呈現(xiàn)總體逐漸增大的趨勢(shì)(隨坐標(biāo)的增大)，這與選取的二次曲面擬合模型有關(guān)系：帶不確定性的坐標(biāo)值增大，系數(shù)矩陣中的不確定性也隨之增大；但PULS方法在同樣的內(nèi)插范圍看，絕對(duì)差值卻呈現(xiàn)減小再增大趨勢(shì)，這也進(jìn)一步表明PULS在一定范圍內(nèi)對(duì)于較強(qiáng)不確定性的干擾有抵抗性。

表2 擬合參數(shù)解算結(jié)果

箭頭表示內(nèi)插點(diǎn)按點(diǎn)號(hào)排序圖2 高程異常內(nèi)插點(diǎn)的分布

圖3 三組參數(shù)計(jì)算的高程異常

圖4 高程異常內(nèi)插值與真值的絕對(duì)差值

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究GPS高程擬合二次曲面模型的不確定性，將系數(shù)矩陣進(jìn)行分塊，對(duì)含有不確定性的區(qū)塊加以限制，并將不確定度融入函數(shù)模型，運(yùn)用帶部分不確定性的平差算法(PULS)解算擬合參數(shù)。實(shí)驗(yàn)利用20個(gè)模擬點(diǎn)坐標(biāo)及其高程異常值，分別運(yùn)用LS，TLS以及PULS對(duì)擬合參數(shù)進(jìn)行解算，結(jié)果表明，PULS得到的擬合參數(shù)精度高于LS和TLS，另外由于TLS同時(shí)考慮系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量的不確定性，但這種不確定性的限度未知，導(dǎo)致了修正過(guò)度，使得結(jié)果不及LS。利用解算出的3組參數(shù)，在50個(gè)均勻分布的模擬點(diǎn)進(jìn)行高程異常內(nèi)插，內(nèi)插精度同樣反映出PULS解算結(jié)果的優(yōu)越性。

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