運(yùn)行和方差控制圖的改進(jìn)

楊 靜，宋向東，張雪芳，焦博雅

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

0 引言

控制圖被看作是統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制（SPC）中最有效的工具之一，用于監(jiān)控過(guò)程參數(shù)和檢測(cè)生產(chǎn)過(guò)程是否處于受控狀態(tài)。檢測(cè)過(guò)程方差與檢測(cè)過(guò)程均值一樣重要。過(guò)程方差的增加會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品質(zhì)量的降低，過(guò)程方差的降低意味著生產(chǎn)水平的提高，可能預(yù)示了未來(lái)產(chǎn)品質(zhì)量的提高。當(dāng)前最普遍使用的檢測(cè)過(guò)程方差的控制圖是休哈特（Shewhart）R圖，S圖和S2圖。眾所周知，傳統(tǒng)的休哈特控制圖只對(duì)大偏移敏感，對(duì)小的和中等的偏移不敏感，另外它們?cè)跇颖救萘亢苄r(shí)，檢測(cè)過(guò)程工藝提高的效率低下。

為了克服這些缺點(diǎn)，一些學(xué)者提出和研究了帶有運(yùn)行規(guī)則的檢測(cè)過(guò)程方差的控制圖，之后Reynolds進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。起初，它的提出是用于檢測(cè)過(guò)程均值。Jaehn[1]提出了運(yùn)行和控制圖的一個(gè)特例，控制圖在中心線上下各劃分四個(gè)區(qū)域，把這種控制圖叫做區(qū)域控制圖。Davis等[2]研究了區(qū)域控制圖的改進(jìn)。Champhe和Rigdon[3]用馬爾科夫鏈方法分析了運(yùn)行和圖平均鏈長(zhǎng)的分布。Rakitzis和Antzoulakos[4]提出的監(jiān)測(cè)過(guò)程方差的運(yùn)行和控制圖。Schoonhoven[5]研究和分析了帶估計(jì)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差控制圖。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]介紹了運(yùn)行和控制圖中的其他研究工作。郝惠娟[8]改進(jìn)了基于對(duì)數(shù)方差的累積和控制圖，設(shè)計(jì)了可變抽樣區(qū)間累積和方差控制圖。薛麗[9]提出了可變抽樣區(qū)間的二項(xiàng)變量累積和控制圖。張斌和周偉燦等[10]針對(duì)過(guò)程異常導(dǎo)致均值和標(biāo)準(zhǔn)差同時(shí)發(fā)生漂移的情況，考慮田口質(zhì)量損失、抽樣成本等，構(gòu)建了綜合損失模型，提出了可變抽樣區(qū)間X-R圖優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。本文在前人研究基礎(chǔ)上，給出不同區(qū)域劃分，設(shè)計(jì)了加入-1得分的單邊運(yùn)行和方差控制圖，并研究其平均鏈長(zhǎng)表現(xiàn)。

1 單側(cè)運(yùn)行和方差控制圖（RSS）設(shè)計(jì)及平均鏈長(zhǎng)的計(jì)算

1.1 傳統(tǒng)S圖

Xij為來(lái)自質(zhì)量特性值X的樣本容量為n的第i個(gè)隨機(jī)樣本的第 j個(gè)觀測(cè)值。第i個(gè)樣本的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

假定樣本獨(dú)立，且質(zhì)量特性值X服從正態(tài)分布，其受控下標(biāo)準(zhǔn)差為σ0（假設(shè)X的均值一直保持在目標(biāo)值，且不失一般性本文采用σ0=1），一個(gè)失控的標(biāo)準(zhǔn)差值記作σ1=τσ0(τ＞0)。 τ＞1和 0＜τ＜1分別對(duì)應(yīng)過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差的增加和減少。對(duì)于τ=1代表過(guò)程處于受控狀態(tài)。

對(duì)于傳統(tǒng)的雙邊S圖，隨著樣本數(shù)量i，統(tǒng)計(jì)量Si它的統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)需要一對(duì)控制線的設(shè)定：一個(gè)上控制線UCL和一個(gè)下控制線LCL，對(duì)于單邊S圖則只需要上控制線UCL。由于S統(tǒng)計(jì)量的偏斜，一些研究者提倡使用概率極限，以此代替?zhèn)鹘y(tǒng)的3σ極限。因此對(duì)于錯(cuò)誤警報(bào)率為a的單邊S圖，上控制限為（其中 χ2n-1;a代表自由度為n-1的卡方分布的上a分位點(diǎn)）。一旦有觀測(cè)點(diǎn)落在控制限外，即Si＞UCL，表明過(guò)程方差可能增加，與之對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)過(guò)程變差。

控制圖常用的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)是它的平均鏈長(zhǎng)（ARL）。對(duì)于一個(gè)過(guò)程參數(shù)給定偏移的情況，ARL是直到發(fā)生報(bào)警那一刻樣本點(diǎn)落在控制圖上的平均數(shù)量。在休哈特控制圖中，ARL=1/p，p是一個(gè)點(diǎn)落在控制限之外的概率。因此當(dāng)過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差偏移σ1=τσ0(τ＞1)，單邊有上限的控制圖失控的ARL（記作ARL1）可由如下P計(jì)算：

1.2 單邊的運(yùn)行和方差控制圖及ARL計(jì)算

單邊的運(yùn)行和方差控制圖需要把傳統(tǒng)單邊S圖分為若干個(gè)區(qū)域，對(duì)每個(gè)區(qū)域給定一個(gè)得分，統(tǒng)計(jì)量落在哪個(gè)區(qū)域則累加相應(yīng)得分，當(dāng)累積得分超過(guò)一個(gè)規(guī)定值，控制圖就會(huì)發(fā)生失控信號(hào)。本文只研究把單邊控制圖劃分為四個(gè)區(qū)域的情況，這也是其他學(xué)者們研究最多的情況，被稱作是區(qū)域控制圖。在單邊控制圖中加入3個(gè)上控制線，UCL1＜UCL2＜UCL3。其中：

本文把包含四個(gè)區(qū)域，得分分別為 a1，a2，a3，a4，決策值為 H 單邊的運(yùn)行和方差控制圖記為 RSSH(a1，a2，a3，a4)。劃分區(qū)域，對(duì)應(yīng)得分以及概率如表1所示。

表1 RSSH（a1，a2，a3，a4 ）的區(qū)間劃分，對(duì)應(yīng)得分及概率

由表1可得得分與觀測(cè)值對(duì)應(yīng)函數(shù)：

對(duì)于單邊運(yùn)行和控制圖的檢驗(yàn)，基于統(tǒng)計(jì)量：

其中i=1，2，…，j=1，2，3且C0≥0。C0的初始值取決于是否加入初始響應(yīng)。單邊的控制圖報(bào)警當(dāng)Ci≥H，其中H是一個(gè)合適的決策值。顯然，累積得分取正整數(shù)值0，1，2…，H 。過(guò)程的初始狀態(tài)記為 E0；若Cn=i，則稱過(guò)程處于Ei；若Ci≥H，則稱過(guò)程處于吸收態(tài)EH得到狀態(tài)空間后，求得每個(gè)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率Pij=P(Cn+1∈Ej|Cn∈Ei)，得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

其中R為P除去最后一行最后一列得到的矩陣，I為H維單位陣，1為元素全為1的H維列向量。根據(jù)以下公式（8）可以求出ARL值。

RSSH（a）1，a2，a3，a4的控制限的決定僅僅取決于 L值的選擇，而L值得選取是根據(jù)預(yù)期設(shè)定的ARL0水平，記為c。因此，對(duì)于RSSH（a）1，a2，a3，a4的統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)，建議步驟如下：

步驟2：設(shè)定 ARL0=c；

步驟3：根據(jù)ARL0=c計(jì)算合適的L值；

步驟4：在第i個(gè)樣本，如果Ci＞H，則判定過(guò)程失控。

假設(shè)受控下分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差偏移倍數(shù)τ從1到2.5，求得帶有不同得分的運(yùn)行和方差控制圖（RSS）的ARL，結(jié)果見(jiàn)表2所示。

表2中數(shù)據(jù)分別是取受控狀態(tài)下ARL0為370時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差偏移倍數(shù)從1.0到2.5時(shí)，運(yùn)行和方差控制圖RSS14(-1，1，6，12),RSS20(-1，2，7，13),RSS20(-1，2，7，14),RSS20(-1，3，4，12),RSS16(-1，2，3，8),RSS30(-1，3，8，15),RSS42(-1，3，11，19)的ARL值。本文選取其中檢測(cè)效率最高的RSS14(-1，1，6，12)控制圖進(jìn)行以下研究。

表2 不同參數(shù)運(yùn)行和方差控制圖的ARL表現(xiàn)(ARL0=370，n=5)

2 運(yùn)行和方差控制圖和其他控制圖的比較

2.1 與現(xiàn)有運(yùn)行和方差控制圖的比較

對(duì)比現(xiàn)有的運(yùn)行和方差控制圖，本文給出了不同區(qū)域得分以及門(mén)限值的參數(shù)設(shè)置方法。令受控下的平均鏈長(zhǎng)均為370，當(dāng)方差偏移倍數(shù)從1.1到2.5時(shí)，現(xiàn)有參數(shù)設(shè)置的平均鏈長(zhǎng)表現(xiàn)與本文中平均鏈長(zhǎng)的表現(xiàn)對(duì)比結(jié)果如圖1所示。

圖1 本文參數(shù)設(shè)置效果

可以看出，受控下平均鏈長(zhǎng)均為370時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差偏移倍數(shù)從1.1到2.5時(shí)，本文參數(shù)設(shè)置方法產(chǎn)生的運(yùn)行和方差控制圖的平均鏈長(zhǎng)明顯小于現(xiàn)有參數(shù)設(shè)置的運(yùn)行和方差控制圖，可以更快地發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)過(guò)程中的質(zhì)量變化，檢測(cè)效率顯著提高。

2.2 與累積和控制圖的比較

2.2.1 累積和控制圖計(jì)算原理

先用樣本方差s2來(lái)估計(jì)總體方差σ2。假定所有觀測(cè)值都服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，其中總體均值相同，即xi～N(μ0，σ2)，f為概率密度函數(shù)，考慮如下假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：

原假設(shè)H0成立時(shí)，所有的樣本都來(lái)自相同的分布，此時(shí)方差波動(dòng)在控制范圍內(nèi)，過(guò)程處于受控狀態(tài)。備擇假設(shè)H1成立說(shuō)明方差波動(dòng)不在控制范圍內(nèi)，過(guò)程失控。由統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，樣本方差 s2服從伽馬分布，概率密度函數(shù)為：

利用序貫概率比的基本方法對(duì)過(guò)程方差進(jìn)行檢驗(yàn)，似然比統(tǒng)計(jì)量為：

令λn＞A來(lái)對(duì)過(guò)程異常做出判斷，對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)得：

由上式可以定義檢驗(yàn)過(guò)程方差向上漂移的CUSUM統(tǒng)計(jì)量：

2.2.2 運(yùn)行和方差控制圖與累積和控制圖效果對(duì)比

根據(jù)檢驗(yàn)過(guò)程方差向上漂移的CUSUM的以上參數(shù)設(shè)置，用matlab軟件進(jìn)行萬(wàn)次隨機(jī)模擬，可求出當(dāng)受控下平均鏈長(zhǎng)約為370時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差偏移倍數(shù)從1.1到2.5時(shí)，CUSUM控制圖的平均鏈長(zhǎng)。圖2為過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差在不同偏移倍數(shù)下運(yùn)行和方差控制圖和CUSUM控制圖的平均鏈長(zhǎng)對(duì)比結(jié)果。

圖2 RSS與CUSUM效果對(duì)比

由圖2可以看出，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差偏移倍數(shù)從1到2.5時(shí)，運(yùn)行和方差控制圖相比CUSUM平均鏈長(zhǎng)表現(xiàn)并沒(méi)有明顯的優(yōu)越性。

3 加入初始響應(yīng)的運(yùn)行和方差控制圖與累積和控制圖的比較

初始響應(yīng)特性（fast initial response，F(xiàn)IR），在CUSUM控制圖對(duì)過(guò)程是否處在受控狀態(tài)的判定中顯示出良好的效果。因此，通過(guò)加入初值響應(yīng)的方法改進(jìn)RSS控制圖，以提高其檢測(cè)效率。初始響應(yīng)值記為S1，以下是RSS14(-1，1，6，12)分別加入7和10的初值響應(yīng)，對(duì)CUSUM分別加入0.25H，0.5H和0.75H時(shí)，各控制圖的運(yùn)行鏈長(zhǎng)表現(xiàn)，見(jiàn)表3所示。

表3 加入FIR后RSS與CUSUM效果對(duì)比

從表3可以看出，當(dāng)方差無(wú)偏移時(shí)ARL近似相等情形下，初始響應(yīng)值分別為7和10的RSS控制圖相比帶有0.25H，0.5H，0.75H的CUSUM控制圖，在標(biāo)準(zhǔn)差偏移倍數(shù)在1到1.3時(shí)，RSS檢測(cè)效率不如CUSUM。在標(biāo)準(zhǔn)差偏移倍數(shù)大于1.3時(shí)，RSS檢測(cè)效率均優(yōu)于CUSUM控制圖，說(shuō)明設(shè)計(jì)的運(yùn)行和方差控制圖在檢測(cè)中等偏移和大偏移時(shí)具有優(yōu)越性。

4 結(jié)論

本文對(duì)檢測(cè)向上漂移的單側(cè)運(yùn)行和方差控制圖進(jìn)行了不同的參數(shù)設(shè)計(jì)，利用馬爾科夫鏈方法近似計(jì)算控制圖的平均鏈長(zhǎng)，運(yùn)行鏈長(zhǎng)結(jié)果顯示本文參數(shù)設(shè)置相比現(xiàn)有的運(yùn)行和方差控制圖的參數(shù)設(shè)置，檢測(cè)效率明顯提高。但RSS控制圖相比于CUSUM控制圖，效果不具有明顯優(yōu)越性。因此，本文對(duì)RSS和CUSUM分別加入不同的初始響應(yīng)值，運(yùn)行鏈長(zhǎng)結(jié)果顯示，對(duì)于方差不同倍數(shù)的偏移，RSS在檢測(cè)中等偏移和大偏移時(shí)具有優(yōu)越性。鑒于RSS控制圖比CUSUM實(shí)施步驟簡(jiǎn)單易操作，但其檢測(cè)效果可與CUSUM相媲美，因此運(yùn)行和方差控制圖具有實(shí)際可行性。它的進(jìn)一步研究是有實(shí)際意義的。

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