基于最小塑性區(qū)半徑準(zhǔn)則的巖石裂紋起裂規(guī)律

高 瑋，崔 爽，肖 婷，陳 新，周 聰，胡承杰

(1.河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京 210098; 2.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210098)

巖石是一種典型的地質(zhì)體，其中含有大量裂隙、節(jié)理及微裂紋。國(guó)內(nèi)外大量工程實(shí)踐和研究表明，巖石工程的失穩(wěn)破壞大多與自身的裂紋起裂擴(kuò)展有關(guān)，巖石的變形破壞過(guò)程實(shí)質(zhì)是內(nèi)部裂紋不斷產(chǎn)生、演化和擴(kuò)展的過(guò)程[1]。巖石中多裂紋的起裂及其貫通破壞機(jī)制研究是巖石斷裂力學(xué)研究的重點(diǎn)課題之一，同時(shí)也對(duì)裂隙巖體工程穩(wěn)定性、邊坡滑坡預(yù)防及構(gòu)造地震產(chǎn)生機(jī)制及預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)等研究具有重要的理論和實(shí)際意義[2]。因此，研究巖石中多裂紋的起裂規(guī)律對(duì)巖體工程的穩(wěn)定性具有重要的理論意義和工程價(jià)值。

目前，研究者對(duì)巖石中多裂紋的起裂規(guī)律已進(jìn)行了大量研究，主要研究方法有理論計(jì)算、室內(nèi)試驗(yàn)和數(shù)值模擬。

在理論計(jì)算方面，許多學(xué)者從能量、應(yīng)力和應(yīng)變等角度分別建立了不同的斷裂準(zhǔn)則。席婧儀[3]采用最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則和應(yīng)變能密度因子準(zhǔn)則分別計(jì)算了受拉和受壓多裂紋的起裂角。劉紅巖[4]將T應(yīng)力引入到傳統(tǒng)斷裂力學(xué)的最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則，提出了考慮T應(yīng)力的修正最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，研究了巖石壓剪裂紋的起裂機(jī)理。劉洋等[5]用最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則計(jì)算了單一裂紋在單軸壓縮荷載作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子及其擴(kuò)展趨勢(shì)，認(rèn)為斷裂角只與裂紋和載荷有關(guān)。李宏福等[6]以受單向壓縮的中心斜裂紋為研究對(duì)象，基于修正的最大周向拉應(yīng)力準(zhǔn)則分析了裂紋間的摩擦因數(shù)、閉合度對(duì)主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子及裂紋起裂角的影響。盡管目前裂紋起裂理論計(jì)算方面已經(jīng)有了較多研究成果，但大部分研究均為彈性斷裂的研究，考慮裂尖塑性區(qū)影響的研究尚不多。

研究多裂紋起裂常用的試驗(yàn)方法有CT掃描、壓縮斷裂試驗(yàn)、光彈性試驗(yàn)、數(shù)字圖像相關(guān)方法和聲發(fā)射等。郭奇峰等[7]采用聲發(fā)射與表面應(yīng)變監(jiān)測(cè)等手段，采用最大畸變能理論對(duì)單軸壓縮條件下裂隙花崗巖的裂紋起裂荷載、起裂角以及裂紋擴(kuò)展路徑進(jìn)行試驗(yàn)與計(jì)算。CAO等[8]基于含三條預(yù)置裂紋的類(lèi)巖石材料單軸壓縮試驗(yàn)，研究了多裂紋的起裂、壓密、擴(kuò)展和貫通機(jī)制。徐麗海[9]以巖石裂紋系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用類(lèi)巖石材料物理試驗(yàn)和數(shù)字圖像相關(guān)方法相結(jié)合的手段研究了類(lèi)巖石材料中不同尺寸及布置形式的單裂紋、雙裂紋的起裂及擴(kuò)展規(guī)律。李存寶等[10]為研究頁(yè)巖在破壞過(guò)程中的起裂機(jī)制，對(duì)具有不同層理傾角的頁(yè)巖巖樣進(jìn)行了不同圍壓下的常規(guī)三軸壓縮實(shí)驗(yàn)，研究了層理傾角對(duì)起裂荷載和裂紋損傷應(yīng)力的影響。盡管目前裂紋起裂試驗(yàn)研究方面已經(jīng)有了較多成果，但大部分研究均為裂紋彈性擴(kuò)展的研究，關(guān)于裂紋尖端塑性區(qū)影響的研究尚不多。

數(shù)值模擬研究方面，楊慶和劉元俊[11]采用顆粒流軟件PFC2D實(shí)現(xiàn)了含不同巖橋傾角的預(yù)制雙裂紋石膏材料在單軸壓縮作用下裂紋擴(kuò)展貫通的過(guò)程。李錚等[12]采用近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法模擬了單軸壓縮狀態(tài)下，含預(yù)制裂紋的類(lèi)巖石材料裂紋起裂和連接問(wèn)題。孫翔等[13]基于有限元與離散元混合方法分別對(duì)初始裂紋傾角為45°的單裂紋以及巖橋?yàn)?0°的雙裂紋巖石試樣在單軸壓縮作用下，裂紋的擴(kuò)展過(guò)程進(jìn)行了模擬。周小平等[14]基于擴(kuò)展有限元法，建立了單軸壓縮作用下類(lèi)巖石材料多裂紋擴(kuò)展過(guò)程和擴(kuò)展路徑的數(shù)值模擬方法。但數(shù)值模擬方法的輸入?yún)?shù)難以獲取，且輸入?yún)?shù)如何與巖石的宏觀力學(xué)性質(zhì)更好對(duì)應(yīng)還需要進(jìn)一步研究。同時(shí)，考慮裂尖塑性區(qū)影響的研究也不多。

盡管目前多裂紋起裂領(lǐng)域已有了較多研究成果，但大部分研究沒(méi)有考慮裂尖塑性區(qū)對(duì)裂紋起裂的影響，僅僅通過(guò)物理試驗(yàn)和數(shù)值模擬再現(xiàn)多裂紋起裂擴(kuò)展及斷裂過(guò)程。實(shí)際上，裂紋尖端塑性區(qū)的存在是材料抵抗斷裂的重要因素，與裂紋的斷裂擴(kuò)展角有密切關(guān)系，裂紋起裂角取決于裂紋面處的應(yīng)力，遵循塑性核區(qū)域的局部最小值或全局最小值[15]。因此，裂尖塑性區(qū)對(duì)裂紋的起裂影響很大。為了考慮裂尖塑性區(qū)的影響，基于摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則推導(dǎo)了裂尖塑性區(qū)半徑公式，并考慮硬化對(duì)其進(jìn)行了修正，然后基于最小塑性區(qū)半徑準(zhǔn)則得到了裂紋的起裂角和起裂荷載。最后，計(jì)算了共線(xiàn)三裂紋試樣中心裂紋長(zhǎng)度與外裂紋長(zhǎng)度比值、裂紋傾角和裂紋間距對(duì)起裂荷載的影響，進(jìn)而分析了巖石中多裂紋的起裂規(guī)律。

1 裂紋尖端塑性區(qū)半徑計(jì)算

裂紋尖端及其坐標(biāo)表示如圖1所示。

圖1 裂紋尖端及其坐標(biāo)表示Fig.1 Crack tip and its coordinate representation

由斷裂力學(xué)[16]可知，裂紋尖端處的主應(yīng)力為

(1)

其中，Y,Z分別為

(2)

式中，σ1,σ2和σ3分別為大主應(yīng)力、中主應(yīng)力和小主應(yīng)力；r為圖1中A點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；θ為圖1中OA與x軸的夾角；μ為泊松比;λ=KⅡ/KⅠ，KⅠ,KⅡ分別為Ⅰ型,Ⅱ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。

1.1 基于摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則的塑性區(qū)半徑

摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則是巖土工程領(lǐng)域使用最普遍的巖土力學(xué)準(zhǔn)則，可以比較準(zhǔn)確地反映應(yīng)力水平較低的巖土強(qiáng)度特征。該準(zhǔn)則假設(shè)，巖石內(nèi)一點(diǎn)的破壞主要決定于大主應(yīng)力和小主應(yīng)力，與中間主應(yīng)力無(wú)關(guān)。摩爾-庫(kù)倫強(qiáng)度準(zhǔn)則[17]可以表示為

σ1-ασ3=σt

(3)

其中，σt為材料抗拉強(qiáng)度；α=σt/σc為材料抗拉強(qiáng)度與抗壓強(qiáng)度的比值,即硬化系數(shù)。將式(1)代入式(3)，可以得到塑性區(qū)半徑公式為

(4)

平面應(yīng)變狀態(tài)下κ=1-2αμ;平面應(yīng)力狀態(tài)下κ=1。

實(shí)際巖石工程中巖石常處于受壓狀態(tài)，其內(nèi)部裂紋在壓縮作用下可能閉合，而受壓閉合裂紋由于閉合裂紋面的物質(zhì)相互不可侵入，使得裂紋面之間只能產(chǎn)生滑動(dòng)[18]。因此，通常情況下可以認(rèn)為裂紋的Ⅰ型奇異消失。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)KⅠ=0，從而式(4)化簡(jiǎn)為

(5)

1.2 考慮材料硬化的塑性區(qū)半徑修正

前述推導(dǎo)的裂紋尖端塑性區(qū)半徑是基于K場(chǎng)可一直延續(xù)到彈塑性邊界(無(wú)過(guò)渡區(qū))的假設(shè)，簡(jiǎn)單地將K場(chǎng)中小于R處的應(yīng)力由K場(chǎng)解換為σ3。因此，1.1節(jié)給出的塑性區(qū)尺寸解無(wú)法滿(mǎn)足總體靜力平衡條件。

圖2 考慮硬化的塑性區(qū)修正模型 Fig 2 Plastic zone correction model considering hardening

圖2中，曲線(xiàn)A′B′代表材料硬化時(shí)的應(yīng)力分布σy，可表達(dá)為

(6)

曲線(xiàn)ABC代表彈性區(qū)的應(yīng)力場(chǎng)分布，可表達(dá)為

(7)

(8)

(9)

(10)

同理，當(dāng)θ≠0，考慮材料硬化的塑性區(qū)半徑是未考慮材料硬化的塑性區(qū)半徑的2/(1+n)倍，考慮材料硬化的塑性區(qū)半徑rp公式為

(11)

2 單軸壓縮條件下基于最小塑性區(qū)半徑準(zhǔn)則的裂紋起裂角和起裂荷載

從物理概念來(lái)說(shuō)，裂紋尖端塑性區(qū)是一個(gè)高度緊張的區(qū)域，裂紋尖端必須通過(guò)這個(gè)高應(yīng)變區(qū)域傳播，才能到達(dá)核外的彈性加載區(qū)。最小塑性區(qū)半徑準(zhǔn)則[22]認(rèn)為裂紋沿著裂紋尖端到塑性區(qū)邊界的最小半徑方向起裂，在此方向上，產(chǎn)生新裂紋面所需的塑性功最小，也就是所需的斷裂能最小。為了考慮裂紋尖端塑性區(qū)的影響，這里基于最小塑性區(qū)半徑準(zhǔn)則求解裂紋的起裂角及起裂荷載。

以對(duì)稱(chēng)布置三共線(xiàn)裂紋為例來(lái)計(jì)算起裂角和起裂荷載，設(shè)一無(wú)限大平板，中心有3條對(duì)稱(chēng)布置的共線(xiàn)裂紋，板受與裂紋線(xiàn)成β角的單向均布?jí)毫Ζ易饔?，如圖3所示，a′，b′，c′為裂紋尖端a,b,c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。目前的大部分研究是以排列形式較簡(jiǎn)單的單裂紋或雙裂紋為研究對(duì)象，分析這些裂紋形式下的擴(kuò)展規(guī)律，而對(duì)于不等長(zhǎng)多裂紋擴(kuò)展規(guī)律的研究還較少。本文以對(duì)稱(chēng)布置的三共線(xiàn)裂紋為研究對(duì)象，可以簡(jiǎn)化模型的計(jì)算量，所需研究的裂紋尖端數(shù)由6個(gè)簡(jiǎn)化為3個(gè)。

圖3 含對(duì)稱(chēng)布置的三共線(xiàn)裂紋受單軸壓縮作用Fig.3 Model of three collinear cracks with symmetrical arrangement under uniaxial compression

2.1 裂紋起裂角

裂紋沿塑性區(qū)半徑rp最小的方向起裂[22]，有:

(12)

其中，θc為起裂角。在單向應(yīng)力狀態(tài)下，將式(11)代入式(12)，可得

(13)

(14)

對(duì)于受壓裂紋，三共線(xiàn)裂紋起裂角θc判據(jù)均為式(13)和式(14)。其中，平面應(yīng)力狀態(tài)下κ=1;平面應(yīng)變狀態(tài)下κ=1-2αμ。

2.2 裂紋起裂荷載

根據(jù)最小塑性區(qū)半徑準(zhǔn)則，起裂方向上塑性區(qū)半徑rp達(dá)到臨界值rc時(shí)開(kāi)裂，即

rp>rc

(15)

對(duì)于純Ⅱ型裂紋(KⅠ=0)，本文采用文獻(xiàn)[23]的方法來(lái)計(jì)算臨界值rc，為

rc=rⅡc

(16)

基于文獻(xiàn)[23]，斷裂準(zhǔn)則可寫(xiě)為

(17)

其中

c22=1+ζ(1-cosθc)+3cos2θc

(18)

式中，平面應(yīng)力狀態(tài)下μ*=0;平面應(yīng)變狀態(tài)下μ*=μ;KΙc為Ⅰ型斷裂韌度;KⅡc為Ⅱ型斷裂韌度。

目前對(duì)于平面多裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算問(wèn)題，主要有3種解析解法:權(quán)函數(shù)法、邊界配置法和復(fù)變函數(shù)法。相對(duì)而言，復(fù)變函數(shù)法更靈活，適用范圍更廣，該法可求解任意分布的多裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子。因此，本文采用文獻(xiàn)[24]中的復(fù)變函數(shù)法計(jì)算裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子，其中，中心裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

(19)

外裂紋內(nèi)尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

(20)

外裂紋外尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

(21)

將式(19)代入式(17)可得中心裂紋起裂荷載為

(22)

將式(20)代入式(17)可得外裂紋內(nèi)尖端起裂荷載為

(23)

將式(21)代入式(17)可得外裂紋外尖端起裂荷載為

(24)

3 單軸壓縮條件下裂紋起裂角

通過(guò)裂紋起裂角可以反映裂紋將沿哪個(gè)方向擴(kuò)展，研究裂紋起裂角對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的預(yù)測(cè)具有重要意義。知道了裂紋擴(kuò)展路徑就可以采取有效的止裂措施防止裂紋破壞，同時(shí)對(duì)地震、滑坡、巖爆、塌方等自然災(zāi)害的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)具有重要意義[26]。而且，計(jì)算裂紋起裂角是計(jì)算起裂荷載的理論前提。因此，研究巖石裂紋起裂角具有重要的理論和工程意義。

以對(duì)稱(chēng)布置的三共線(xiàn)受壓裂紋為例，如圖3所示。裂紋起裂角判據(jù)為式(13)和式(14)。將式(13)化簡(jiǎn)為

3sin2θc-2κ2cosθc+2κ2-4=0

(25)

平面應(yīng)力狀態(tài)下κ=1，求解式(25)和(14)得θc=70.43°。平面應(yīng)變狀態(tài)下κ=1-2αμ，式(25)可表示為

3sin2θc-2(1-2αμ)2cosθc+

2(1-2αμ)2-4=0

(26)

由以上分析可以發(fā)現(xiàn)，平面應(yīng)力狀態(tài)下，受壓裂紋的起裂角為定值，而平面應(yīng)變狀態(tài)下受壓裂紋的起裂角與硬化系數(shù)α和泊松比μ有關(guān)。為研究平面應(yīng)變狀態(tài)下受壓裂紋的起裂角與硬化系數(shù)的之間關(guān)系，令泊松比μ=0.3，硬化系數(shù)α分別取0,0.1,0.2,0.3和0.4，代入式(26)和式(14)分別計(jì)算不同硬化系數(shù)α對(duì)應(yīng)的起裂角，其結(jié)果如圖4所示。同理，令硬化系數(shù)α=0.3，泊松比μ分別取0,0.1,0.2,0.3和0.4，代入式(26)分別計(jì)算不同泊松比μ對(duì)應(yīng)的起裂角，其結(jié)果與上相同。起裂角與泊松比的關(guān)系圖和起裂角與硬化系數(shù)的關(guān)系圖一致，所以用一個(gè)圖表示，如圖4所示。

圖4 平面應(yīng)變狀態(tài)下受壓裂紋的起裂角與泊松比或 硬化系數(shù)的關(guān)系Fig.4 Relationship between crack initiation angle and Poisson’s ratio and hardening coefficient under plane strain

由圖4可知，平面應(yīng)變狀態(tài)下受壓裂紋的起裂角隨硬化系數(shù)和泊松比的增大而增大。

4 單軸壓縮條件下裂紋起裂荷載

巖石裂紋起裂荷載會(huì)對(duì)裂紋擴(kuò)展造成嚴(yán)重影響，從而誘發(fā)一系列工程災(zāi)害。開(kāi)展巖石多裂紋起裂機(jī)理研究，獲取復(fù)雜裂隙狀態(tài)下的巖石裂紋起裂荷載對(duì)研究地下工程圍巖的潛在破壞模式、止裂控制理論，分析巖體孕災(zāi)機(jī)理，實(shí)現(xiàn)地下工程的安全、穩(wěn)定建設(shè)和運(yùn)行具有重要的理論價(jià)值和工程意義[27]。

以對(duì)稱(chēng)布置的三共線(xiàn)受壓裂紋為例，如圖3所示。裂紋在不同壓應(yīng)力下，裂紋閉合度η不同。因此，這里對(duì)2種特殊受壓裂紋進(jìn)行分析:張開(kāi)型裂紋(η=0)及完全閉合裂紋(η=1)。

4.1 中心裂紋長(zhǎng)度與外裂紋長(zhǎng)度比值的影響

如圖3所示，設(shè)壓應(yīng)力σ=10 MPa，裂紋面摩擦因數(shù)f=0.5，裂紋面與軸向力的夾角(裂紋傾角)β=π/4，外裂紋長(zhǎng)度取定值10 mm，即c-b=10;裂紋間距取定值10 mm，即b-a=10。令中心裂紋長(zhǎng)度為2a=t(c-b)，t分別為0.5,1.0,1.5,2.0,2.5和3.0。設(shè)材料硬化指數(shù)n=0，硬化系數(shù)α=0.2，泊松比μ=0.3。Ⅰ型斷裂韌度KIC=0.52 MN/m3/2，Ⅱ型斷裂韌度KⅡc=0.52 MN/m3/2。將硬化系數(shù)α=0.2，泊松比μ=0.3代入式(25)計(jì)算受壓裂紋起裂角，然后將起裂角代入式(22)～(24)，分別計(jì)算不同中心裂紋長(zhǎng)度與外裂紋長(zhǎng)度比值t的張開(kāi)型裂紋(η=0)和完全閉合型裂紋(η=1)的起裂荷載，其結(jié)果如圖5,6所示。

圖5 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨t值的變化曲線(xiàn)圖(η=0)Fig.5 Curves of crack initiation load with value t under uniaxial compression(η=0)

由圖5和圖6可知，各裂紋起裂荷載均隨t增加而逐漸減小。當(dāng)t>1時(shí)，相同t值下中心裂紋的起裂荷載始終小于外裂紋尖端的起裂荷載，且外裂紋外尖端的起裂荷載最大，說(shuō)明中心裂紋最易起裂，外裂紋外尖端最難起裂。

圖6 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨t值的變化曲線(xiàn)(η=1)Fig.6 Curve of crack initiation load with value t under uniaxial compression(η=1)

相同條件下，平面應(yīng)力狀態(tài)下的起裂荷載大于平面應(yīng)變狀態(tài)下的起裂荷載，這是因?yàn)槠矫鎽?yīng)力狀態(tài)下塑性區(qū)較大，使裂紋擴(kuò)展阻力增加，提高了巖石的斷裂韌性。裂紋面完全閉合時(shí)，所需的起裂荷載比裂紋面張開(kāi)的起裂荷載大，這是因?yàn)殡S著裂紋閉合度的增加，裂紋面接觸面積增大，裂紋面克服摩擦力做功越大，裂紋發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)越困難，因此所需的起裂荷載越大。

中心裂紋與外裂紋內(nèi)、外尖端的起裂荷載對(duì)裂紋長(zhǎng)度比t的靈敏度不同，當(dāng)t從0.5增加到3.0時(shí)，中心裂紋的起裂荷載減小57.6%，外裂紋內(nèi)尖端減小15.2%，外裂紋外尖端減小10.7%?？梢?jiàn)，中心裂紋對(duì)裂紋長(zhǎng)度比t最敏感，外裂紋內(nèi)尖端次之，外裂紋外尖端最不敏感。

4.2 裂紋傾角的影響

設(shè)a=5，b=15，c=25，其他條件與4.1節(jié)相同，裂紋傾角β分別取10°,20°,30°,40°,45°,50°,60°,70°和80°。計(jì)算不同裂紋傾角β下張開(kāi)型受壓裂紋(η=0)和閉合型受壓裂紋(η=1)的起裂荷載，計(jì)算結(jié)果如圖7,8所示。

圖7 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨裂紋傾角β的 變化曲線(xiàn)圖(η=0)Fig.7 Curves of crack initiation load with crack inclination β under uniaxial compression(η=0)

圖8 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨裂紋傾角β的變化 曲線(xiàn)圖(η=1)Fig.8 Curves of crack initiation load with crack inclination β under uniaxial compression(η=1)

從圖7，8可知，受壓狀態(tài)下，裂紋起裂荷載先隨著裂紋傾角增加而減小，后隨裂紋傾角增加而增加。受壓狀態(tài)下，裂紋面閉合度不同，裂紋起裂荷載也不同，完全閉合裂紋的起裂荷載遠(yuǎn)大于張開(kāi)型裂紋。

從力學(xué)角度解釋?zhuān)瑔屋S受壓狀態(tài)下，裂紋的起裂受Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子控制，Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋傾角先增大后減小。對(duì)于張開(kāi)型受壓裂紋，由圖7可知，裂紋起裂荷載在裂紋傾角為45°時(shí)取最小值。對(duì)于完全閉合裂紋，裂紋起裂荷載最小值對(duì)應(yīng)的裂紋傾角與裂紋面上的摩擦因數(shù)有關(guān)。對(duì)于本文選取的摩擦因數(shù)f=0.5，在裂紋傾角31.7°時(shí)，所需起裂荷載最小。

4.3 裂紋間距的影響

設(shè)中心裂紋與外裂紋的裂紋間距s′分別取2,4,6,8,10,14和20 mm，其他條件與4.1節(jié)相同。計(jì)算不同裂紋間距下張開(kāi)型裂紋(η=0)和完全閉合型裂紋(η=1)的起裂荷載，計(jì)算結(jié)果如圖9,10所示。

圖9 單軸壓縮下裂紋起裂荷載隨裂紋間距s′的變化 曲線(xiàn)(η=0)Fig.9 Curves of crack initiation load with crack spacing s′ under uniaxial compression(η=0)

對(duì)比圖9和10可知，受壓狀態(tài)下張開(kāi)型裂紋(η=0)和完全閉合型裂紋(η=1)的起裂荷載隨裂紋間距變化規(guī)律相同:隨著裂紋間距的增加，裂紋起裂荷載逐漸增加。這說(shuō)明，裂紋間距越大，裂紋越難起裂。

中心裂紋與外裂紋內(nèi)、外尖端的起裂荷載對(duì)裂紋間距s′的靈敏度不同，當(dāng)s′從2 mm增加到20 mm時(shí)，中心裂紋的起裂荷載增加34.7%，外裂紋內(nèi)尖端增加31.9%，外裂紋外尖端增加10.7%。可見(jiàn)，中心裂紋對(duì)裂紋間距s′最敏感，外裂紋內(nèi)尖端次之，外裂紋外尖端最不敏感。

5 單軸壓縮條件下起裂荷載的試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證理論計(jì)算的合理性，選擇文獻(xiàn)[3]中試件7和試件10的開(kāi)裂試驗(yàn)數(shù)據(jù)作為算例，來(lái)計(jì)算分析裂紋的起裂荷載。

該試驗(yàn)采用相似材料模型實(shí)驗(yàn)，試件由水、泥、砂混合人工制備而成，在制作試件過(guò)程中采用厚度0.5 mm的薄不銹鋼片預(yù)制裂紋，試驗(yàn)在3 000 kN超高剛性伺服試驗(yàn)機(jī)設(shè)備上完成，單軸壓縮試驗(yàn)過(guò)程中采用位移控制方式，加載速率為0.2 mm/min。試驗(yàn)過(guò)程中，采用FASRCAM SA1.1高速攝影機(jī)對(duì)試件的整個(gè)加載過(guò)程進(jìn)行圖像信息采集得到裂紋起裂情況。

含三共線(xiàn)預(yù)制裂紋的試件7和試件10的試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D11所示。

圖11中裂紋面與受力方向的夾角β=π/4，裂紋角α=π/4，主裂紋半長(zhǎng)a1=18 mm，次裂紋半長(zhǎng)a2=12 mm。試件7:d1=d2=18 mm。試件10:d1=d2=12 mm，其中，d1為裂紋尖端B到C之間的距離;d2為裂紋尖端D到E之間的距離。通過(guò)高速攝影機(jī)拍得的最終破壞形態(tài)如圖12,13所示，通過(guò)伺服試驗(yàn)機(jī)直接測(cè)得的起裂荷載和峰值強(qiáng)度見(jiàn)表1。

圖12 試件7最終破壞形態(tài) Fig 12 Final failure form of specimen 7

圖13 試件10最終破壞形態(tài) Fig 13 Final failure form of specimen 10

表1 起裂荷載和峰值強(qiáng)度Table 1 Crack initiation load and peak strength

從試件7和試件10的破壞形態(tài)可發(fā)現(xiàn)B端、C端、D端和E端發(fā)育的次生剪切裂紋貫通了巖橋，2個(gè)巖橋均發(fā)生剪切破壞。A端和F端發(fā)育的翼裂紋在應(yīng)力作用下沿加載方向朝試件端部擴(kuò)展。巖橋的貫通剪切破壞和翼裂紋擴(kuò)展造成試件7和試件10的破壞。

要計(jì)算裂紋起裂荷載還需知道裂紋的斷裂韌度、裂紋面摩擦因數(shù)和裂紋面閉合度等相關(guān)參數(shù)，由于該文獻(xiàn)中沒(méi)有測(cè)量數(shù)據(jù)，本文以常見(jiàn)的參數(shù)取值范圍為標(biāo)準(zhǔn)，參考文獻(xiàn)[28]假設(shè)斷裂韌度KⅠc=KⅡc=2 MN/m3/2，裂紋面摩擦因數(shù)f=0.5，裂紋面閉合度η=1，裂紋斷裂選擇最小塑性區(qū)半徑準(zhǔn)則。

由于裂紋受壓閉合，Ⅰ型應(yīng)力分量的奇異性不復(fù)存在，預(yù)置裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ=0，按平面應(yīng)力狀態(tài)求解裂紋起裂角θc=70.43°。對(duì)于試件10，計(jì)算得到各裂紋尖端起裂荷載為:A端PA=26.24 MPa，B端PB=25.56 MPa，C端PC=26.97 MPa，D端PD=28.56 MPa，E端PE=29.03 MPa，F(xiàn)端PF=29.57 MPa。由于B端所需起裂荷載最小，B端最先起裂，所以將PB作為起裂荷載。同理可以計(jì)算試件7的起裂荷載，詳見(jiàn)表2。由表2可知，理論計(jì)算得到的起裂荷載與試驗(yàn)中測(cè)得的起裂荷載相對(duì)偏差都在10%以下，兩者比較吻合，從而可以證明理論計(jì)算的合理性。同時(shí)試件7的裂紋間距大于試件10的裂紋間距，試件7的裂紋起裂荷載大于試件10的裂紋起裂荷載，從而，間接證明了4.3節(jié)中隨著裂紋間距的增加，裂紋起裂荷載逐漸增加的結(jié)論。

表2 起裂荷載試驗(yàn)值和理論計(jì)算值Table 2 Test and theoretical values of crack initiation load

雖然理論計(jì)算得到的裂紋起裂荷載和試驗(yàn)的結(jié)果較為相符，但仍有一定的差別，這是因?yàn)閰⒖嘉墨I(xiàn)[3]中無(wú)斷裂韌度、摩擦因數(shù)、閉合度實(shí)測(cè)值，本文根據(jù)參考文獻(xiàn)[28]取值，與實(shí)際參數(shù)可能有一定偏差。

6 結(jié) 論

(1)平面應(yīng)力狀態(tài)下受壓裂紋的起裂角為定值70.43°，平面應(yīng)變狀態(tài)下受壓裂紋的起裂角隨硬化系數(shù)和泊松比的增大而增大。

(2)受壓裂紋起裂荷載與中心裂紋長(zhǎng)度與外裂紋長(zhǎng)度的比值t成反比，與裂紋間距s′成正比，隨裂紋傾角β的增加，先減小后增大，且受壓裂紋的極值點(diǎn)與裂紋面的摩擦效應(yīng)有關(guān)。

(3)中心裂紋對(duì)裂紋長(zhǎng)度比t和裂紋間距s′最敏感，外裂紋內(nèi)尖端次之，外裂紋外尖端對(duì)裂紋長(zhǎng)度比t和裂紋間距s′最不敏感。

(4)受壓裂紋的起裂荷載與裂紋面的摩擦因數(shù)和閉合度有關(guān)，相同條件下，張開(kāi)型受壓裂紋起裂荷載小于完全閉合型受壓裂紋的起裂荷載。平面應(yīng)力狀態(tài)下的起裂荷載大于平面應(yīng)變狀態(tài)下的起裂荷載。

本文工作僅僅是初步理論研究，其應(yīng)用于復(fù)雜的實(shí)際工程尚需進(jìn)行更多工作，這也是以后要進(jìn)行的研究方向。另外，本文研究主要針對(duì)裂紋的二維應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行，更加復(fù)雜的三維應(yīng)力狀態(tài)分析也將是以后的研究工作。