空間計(jì)量中長度單位和距離測量

劉 民 杜曉爽 馮偉利

（1．北京東方計(jì)量測試研究所，精密電磁測量與校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100086；2．北京無線電計(jì)量測試研究所，北京 100039；3．北京航天計(jì)量測試技術(shù)研究所，北京 100076）

1 空間維度與長度單位定義

我們在三維平直空間上建立的長度計(jì)量基準(zhǔn)和距離測量方法如今遇到了新的挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)計(jì)量理論與廣義相對論相結(jié)合產(chǎn)生了空間計(jì)量理論，空間計(jì)量理論讓我們站在四維時(shí)空中觀察自然世界，重新考察曾經(jīng)定義的物理量和基本單位［1,2］。于是發(fā)現(xiàn)二維球面上的所謂直線，對于三維空間的觀者來說，其實(shí)是彎曲的測地線，三維空間的所謂絕對直線，對于四維時(shí)空的觀者也是彎曲的測地線。1793年，法國科學(xué)院定義的長度單位是“以經(jīng)過巴黎的地球子午線從北極到赤道距離一千萬分之一為1米”［3,4］。地球子午線（經(jīng)線）是二維曲面的測地線，站在地球表面上看子午線是直線，但在三維空間上看子午線是曲線。那么把二維空間所定義的直線尺度用于三維空間，必然存在曲線與直線之間固有的偏差。

假設(shè)，曲線的曲率半徑為R，弧長為l，弦長為d，兩者之間的偏差為：

若地球半徑R=6．4×106m，三維弦長直線距離d=（1～10）km，對應(yīng)的二維弧長l以及相對偏差（l-d）/d，由式（1）計(jì)算可得數(shù)據(jù)，見表1。

表1 10km范圍內(nèi)二維線長與弧長的相對偏差Tab.1 The deviation between length of arc and chord in 2 dimension under range of 10km

可見在10km的距離上出現(xiàn)約1．017mm的偏差，造成這種偏差的原因是單位定義所選擇的空間維度不同。同理，現(xiàn)在使用的長度國際單位SI米的定義是三維空間中測地線上的一段距離，在四維空間將會(huì)存在曲線與直線的微小偏差。

圖1 用二維曲面的測地線定義單位長度Fig.1 The length unit defined by geodesic in 2-D

2 SI秒和SI米

1983年，第17屆國際計(jì)量大會(huì)采用光速作為常數(shù)，重新定義長度單位：“米是光在真空中1/299792458s的時(shí)間間隔內(nèi)的行程長度”［5］。這個(gè)定義說明了時(shí)間和空間是統(tǒng)一不可分割的。既然光速是常數(shù)，而時(shí)間測量受引力紅移、相對速度效應(yīng)等相對論效應(yīng)的影響，那么空間中的距離也會(huì)在強(qiáng)引力場中變長，弱引力場中變短，相對速度大時(shí)變短，探索引力波的方法正是這個(gè)原理［6］。根據(jù)廣義相對論，光線在引力場中會(huì)發(fā)生彎曲。而傳統(tǒng)長度單位是基于歐幾里得幾何學(xué)，在平直的空間定義的，認(rèn)為光是直線傳播的。天文學(xué)用“光年”描述天體距離，觀測恒星發(fā)光的強(qiáng)度和周期的變化來計(jì)算天體距離［7］。如果宇宙空間不是平直的，所觀測的光線穿越各種引力場發(fā)生了彎曲，那么所計(jì)算的光年也就是測地線的弧長。并不是四維時(shí)空的直線距離。

國際單位制SI秒的定義是絕對定義的，不論在何種引力場下，不論相對運(yùn)動(dòng)速度如何，局域小空間內(nèi)仍然要使用SI秒的定義復(fù)現(xiàn)時(shí)間單位，所測量的時(shí)間稱為局域內(nèi)的“原時(shí)”，即使受相對論效應(yīng)的影響，不同局域上的原時(shí)各不相同，它們通過相對論公式可以換算成為“坐標(biāo)時(shí)”，利用坐標(biāo)時(shí)相互比較［8］。愛因斯坦的廣義相對性原理要求“所有參考系中物理定律表達(dá)式相同”，進(jìn)而要求長度單位定義也應(yīng)是絕對定義的，每個(gè)局域空間內(nèi)使用SI秒和光速常數(shù)c來復(fù)現(xiàn)長度單位SI米，使用原時(shí)測量光程間隔來測量空間距離。即使不同局域上的原時(shí)快慢不同，所測得的空間距離數(shù)值不同，通過相對論公式將原時(shí)換算為坐標(biāo)時(shí)后，其測量結(jié)果就能相互比較了［9］。例如，在地面校準(zhǔn)的1m標(biāo)準(zhǔn)尺子，送到空間站后，地面觀者認(rèn)為該尺子受到了相對論的尺縮效應(yīng)將會(huì)變短。而空間站的宇航員使用SI秒和光速常數(shù)復(fù)現(xiàn)的長度基準(zhǔn)進(jìn)行測量，結(jié)果仍是1m，沒有發(fā)生尺縮現(xiàn)象。這是因?yàn)榭臻g站的SI秒受相對論效應(yīng)影響，變快了。時(shí)間刻度和空間刻度同時(shí)成比例改變，在局域空間符合廣義相對性原理。但是事實(shí)上，很多衛(wèi)星，包括導(dǎo)航衛(wèi)星在內(nèi)，都對星載原子鐘進(jìn)行了修正，為保證與地面時(shí)間同步，衛(wèi)星直接測量坐標(biāo)時(shí)，不使用SI秒的測量原時(shí)。若空間站使用調(diào)整過的原子鐘作標(biāo)準(zhǔn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)尺子縮短了。這就要求空間計(jì)量理論必須建立在廣義相對論基礎(chǔ)之上，用四維時(shí)空觀理解空間距離測量問題。

3 慣性系與非慣性系

空間中的距離、速度、加速度等物理參數(shù)只有指定了參考系才有實(shí)際意義，測量他們之前必需定義好參考坐標(biāo)系。愛因斯坦的狹義相對論僅適用于慣性系勻速運(yùn)動(dòng)的情況，不適用于有加速運(yùn)動(dòng)的非慣性系和有引力場存在的情況。光速各向同性以及光速不變原理也只適用于慣性系。慣性系的定義是“以絕對空間為參考，相對靜止或保持勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系為慣性系”，該定義依賴絕對空間參考物。實(shí)際上不論地球、太陽、銀河系中心還是河外星系都是運(yùn)動(dòng)變化的，不存在絕對參考物，所謂慣性系僅具有局域上的相對意義。給參考系定義了原點(diǎn)和坐標(biāo)軸上的刻度后，就是坐標(biāo)系。以銀河系中心為參照物，可定義以太陽系質(zhì)心為原點(diǎn)的局部慣性坐標(biāo)系；以太陽為參照物，也可定義以地心為原點(diǎn)的局部慣性坐標(biāo)系；慣性系的特點(diǎn)是坐標(biāo)軸固定不能旋轉(zhuǎn)。而坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的就是非慣性系，如地心地固坐標(biāo)系以地球質(zhì)心為原點(diǎn)，以地球自轉(zhuǎn)軸為Z軸，以赤道面與零度子午線面交線為X軸，赤道面與90度子午面交線為Y軸，這樣的非慣性坐標(biāo)系跟隨地球自轉(zhuǎn)，周期為24h，這是我們熟悉的坐標(biāo)系［10,11］。

4 轉(zhuǎn)盤上測距問題

在慣性與非慣性坐標(biāo)系上測量空間兩點(diǎn)的距離，其影響量是不同的。例如在轉(zhuǎn)盤上建立兩種坐標(biāo)系，如圖2（a）所示。以盤心為原點(diǎn)，速度ω隨盤旋轉(zhuǎn)，非慣性坐標(biāo)系表示為xμ=( )ct,r,θ,z；以盤心為原點(diǎn)，固定不轉(zhuǎn)的慣性坐標(biāo)系Xμ=( )cT,X,Y,Z。盤上有固定的A、B兩點(diǎn)，用激光測量距離。B向A發(fā)射激光，經(jīng)過時(shí)間Δt1到達(dá)A，A反射激光，經(jīng)過時(shí)間Δt2到達(dá)B。因光速僅在慣性系中是常數(shù)，且直線傳播，對于慣性系觀者來說，因?yàn)锳、B都在運(yùn)動(dòng)，當(dāng)激光到達(dá)A時(shí)，A已運(yùn)動(dòng)到A'點(diǎn)，當(dāng)反射光到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，B已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到B''點(diǎn)，從圖2（b）中可見，去程時(shí)間大于回程時(shí)間，Δt1＞Δt2。與慣性系不同的是，非慣性系的觀者認(rèn)為A、B相對靜止，如圖2（c）所示，光線彎曲，且去程和回程不經(jīng)過同一條路徑。轉(zhuǎn)盤上的非慣性坐標(biāo)系是典型的彎曲時(shí)空。而我們生活在類似轉(zhuǎn)盤的地球上，習(xí)慣地使用了非慣性坐標(biāo)系，為什么沒有感到時(shí)空彎曲呢？為什么還固執(zhí)地認(rèn)為三點(diǎn)唯一確定一條直線是的真理呢？

圖2 轉(zhuǎn)盤上的慣性和非慣性坐標(biāo)系Fig.2 The inertial and non-inertial coordination system on rotated plate

經(jīng)計(jì)算地球赤道上相距10km的A、B兩點(diǎn)，激光去程和回程相對偏差5．4E-8，約0．54mm。但是一去一回可相互抵消，雙向測距的平均值與轉(zhuǎn)盤靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)A、B距離相同。當(dāng)前先進(jìn)的儀器很難有這樣的分辨力，能發(fā)現(xiàn)時(shí)空彎曲現(xiàn)象。

兩坐標(biāo)系的變換如式（2），假設(shè)沒有引力作用，慣性系的時(shí)空可用閔氏空間表示，線元表達(dá)如式（3），對式（2）求導(dǎo)，代入式（3），得到轉(zhuǎn)盤上的時(shí)空坐標(biāo)線元表達(dá)如式（4）：

可見轉(zhuǎn)盤上非慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸dt和dθ的度規(guī)和g22=r2均為變量，是彎曲的；坐標(biāo)軸dr和dz的度規(guī)g11=1，g33=1，為常數(shù)，是平直的；dt和dθ軸之間的度規(guī)g02=g20=ωr2不為零，是相關(guān)，非正交的。轉(zhuǎn)盤非慣性系上用激光測距，光子的運(yùn)動(dòng)方程為ds2=0，代入式（4）中，以dt為變量，求解一元二次方程（5），解得dt的表達(dá)式（6），其中正負(fù)號(hào)表示光程的兩個(gè)方向［12］：

對式（6）的dt積分就是光子運(yùn)行時(shí)間（坐標(biāo)時(shí)）與空間坐標(biāo)的關(guān)系，假設(shè)dz=0，因dr與光線彎曲的路徑有關(guān)，留在積分號(hào)中，去程與回程彎曲的路徑不同，Δt1與Δt2路徑分別計(jì)算，在非慣性系的距離DAB計(jì)算非常復(fù)雜，如式（7）：

慣性坐標(biāo)系的時(shí)空是平直的，用簡單幾何關(guān)系，很容易理解計(jì)算，如圖2（b）。設(shè)三角形AOB的角度為φ，Δt1時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)角度α，Δt2時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)角度β。則去程距離DBA′和回程距離DA′B″的平均值為 AB 距離DAB：

式（9）和式（10）為隱函數(shù)，需要迭代求解。經(jīng)計(jì)算，兩個(gè)相對靜止相距10km的點(diǎn)，按第一宇宙速度9．6km/s繞地球表面旋轉(zhuǎn)（ω=1．5E-3rad/s），按上述激光去程和回程計(jì)算，相差11．24mm，但去程和回程的平均值表示兩點(diǎn)距離，與ω=0情況偏差小于3．1nm，相對偏差為3．1E-13。

5 衛(wèi)星與地面站的測距問題

衛(wèi)星地面站與地球同步軌道的衛(wèi)星之間進(jìn)行測距時(shí)，也會(huì)受相對論效應(yīng)影響，稱為Sagnac效應(yīng)［13,14］。以地心為原點(diǎn)建立兩個(gè)坐標(biāo)系，一個(gè)是跟隨地球自轉(zhuǎn)非慣性坐標(biāo)系，另一個(gè)是固定不轉(zhuǎn)的慣性坐標(biāo)系，如圖3所示。

在非慣性坐標(biāo)系上的衛(wèi)星A相對于地面站B靜止，地面站B發(fā)送無線電測距信號(hào)給衛(wèi)星A，衛(wèi)星再返回該信號(hào)，地面B測量無線電信號(hào)往返時(shí)間，可計(jì)算星地距離。但在慣性坐標(biāo)系的觀者看來信號(hào)去程和回程不重合，且無線電信號(hào)傳輸路徑大于兩點(diǎn)直線距離。去程時(shí)間Δt1，回程時(shí)間Δt2，用非慣性系的距離計(jì)算式（7）計(jì)算A、B之間的測量值DAB，為簡化計(jì)算，近似認(rèn)為信號(hào)沿相同路徑往返，則令dθ=0，再用一階泰勒級(jí)數(shù)近似處理，DAB的表達(dá)式：

式（10）的最后一項(xiàng)就是彎曲時(shí)空造成的Sagnac效應(yīng)。當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度ω=0時(shí)，時(shí)空是平直的，DAB=|rAB|，當(dāng)角速度不為零時(shí)，彎曲時(shí)空造成了光線彎曲，出現(xiàn)Sagnac效應(yīng)。

同樣的情況，慣性系觀者認(rèn)為A和B都在運(yùn)動(dòng)之中，t1時(shí)刻B發(fā)送無線電信號(hào)，t2時(shí)刻A′反射，t3時(shí)刻B″再收到信號(hào)，這個(gè)過程中有如下關(guān)系：

假設(shè)慣性系中沒有引力，不存在時(shí)空彎曲，空間對稱的，則t2-t1=t3-t2=Δt≈|rAB|/c，且|rAB|=|rA′B′|，測量值為平均值：

圖3 衛(wèi)星與地面站測距的Sagnac效應(yīng)Fig.3 The sagnac effect of measuring distance between ground station and satellite

式（12）第一項(xiàng)與式（11）的第二項(xiàng)是相同的效應(yīng)，對于非慣性系來說，因?yàn)橄鄬o止，感覺到的就是時(shí)空彎曲造成的Sagnac效應(yīng)，也是一種相對論效應(yīng)。對于慣性系來說，因?yàn)樾盘?hào)傳輸時(shí)間和相對運(yùn)動(dòng)，造成了測量偏差，與非慣性系的Sangac效應(yīng)等價(jià)。上述討論是在沒有引力場假設(shè)下得出的結(jié)論，僅為說明坐標(biāo)系選擇會(huì)影響測量結(jié)果，真實(shí)情況還要加入引力場造成的時(shí)空彎曲影響。廣義相對論給出4維空間固有距離（或稱為原距離）的公式［15］：

式中：gμυ——時(shí)空度規(guī)（metric）。

在廣義相對論公式中μ,υ,i,j是區(qū)分坐標(biāo)軸的符號(hào)，稱為“指標(biāo)”，表示第0,1,2,3坐標(biāo)軸，不能當(dāng)作指數(shù)運(yùn)算符。第0表示時(shí)間軸，第1,2,3分別表示三維空間坐標(biāo)軸。度規(guī)把坐標(biāo)軸伸展成有刻度的坐標(biāo)，度規(guī)給坐標(biāo)軸刻度之間賦予一種比例關(guān)系，gμυ=0表示第μ和υ兩坐標(biāo)軸相互垂直，內(nèi)積為零，或不相關(guān)；gμμ=常數(shù)（一般為1或c）表示第μ坐標(biāo)方向平直；閔氏空間中的時(shí)間軸度規(guī)是c，表示時(shí)間均勻流失；gμμ=變量（或函數(shù)）表示第μ坐標(biāo)方向彎曲；在狹義相對論的坐標(biāo)系變換式中，時(shí)間軸度規(guī)為表示時(shí)間軸的刻度與相對速度u有關(guān)，在慣性系中u是常數(shù)，時(shí)間軸不彎曲，也是平直的。廣義相對論中若g00是空間坐標(biāo)的函數(shù)，表示時(shí)間軸彎曲，最簡單的愛因斯坦方程近似解中，，表示時(shí)間刻度dt和徑向刻度dr與引力勢有關(guān)，質(zhì)量球體周圍的引力場中，時(shí)間和空間都是彎曲的。

6 結(jié)束語

空間計(jì)量理論將廣義相對論與傳統(tǒng)計(jì)量理論相結(jié)合，解決地球以外更廣闊的宇宙空間的測量單位統(tǒng)一和測量準(zhǔn)確問題，要求我們站在四維時(shí)空的角度理解物質(zhì)的存在和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。光的直線傳播和光速不變原理僅適用于慣性坐標(biāo)系和局域的平直空間。雖然我們已經(jīng)習(xí)慣了隨地球自傳的非慣性坐標(biāo)系，在其中沒有感到彎曲空間和彎曲的光線，但是當(dāng)我們的測量儀器準(zhǔn)確度繼續(xù)提高，當(dāng)我們空間測量范圍從局域推廣到全域的話，諸如引力紅移、相對速度效應(yīng)、Sagnac效應(yīng)等相對論效應(yīng)將會(huì)成為測量不確定度的影響因素之一。

空間計(jì)量理論仍然認(rèn)同SI秒和SI米的絕對定義，但要清晰地理解原時(shí)和坐標(biāo)時(shí)的區(qū)別。在局域范圍內(nèi)使用SI定義復(fù)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)量值僅適用于局域范圍，當(dāng)該標(biāo)準(zhǔn)量值傳遞到其它局域空間時(shí)，必須用廣義相對論公式換算為坐標(biāo)時(shí)和坐標(biāo)距離。

轉(zhuǎn)盤上的非慣性坐標(biāo)系有助于我們理解什么是彎曲的時(shí)空，光線為何不沿直線傳播。在轉(zhuǎn)盤上進(jìn)行等半徑測距和等角度測距時(shí)，均受到彎曲時(shí)空的影響。在不考慮引力的情況下，在慣性系中可以直接用幾何公式解決測距問題，在非慣性系中必須使用廣義相對論的時(shí)空度規(guī)解決測距問題。

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