基于ARIMA模型的二手房價格預(yù)測

鄭永坤，劉 春

(中國電信股份有限公司廣州研究院大數(shù)據(jù)應(yīng)用研發(fā)中心，廣東 廣州 510630)

0 引 言

近年來，我國房地產(chǎn)交易市場火爆，房價居高不下。2017年8月31日，胡潤研究院發(fā)布了《2017上半年胡潤全球房價指數(shù)》[1]，報告中指出，全球房價漲幅前10名中有6個中國城市，而廣州是唯一上榜的一線城市。未來廣州房價何去何從，很多剛需和投資者也都在觀望，房地產(chǎn)市場價格的變化引起了人們的高度重視，而如何準(zhǔn)確地預(yù)測未來房價的走勢將變得尤為重要。

針對房價的預(yù)測，目前已有一些學(xué)者做了相關(guān)的研究。崔慶都[2]和高玉明[3]等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對房價進行預(yù)測，將影響房價的幾個主要因素和房價進行相關(guān)性分析；王希晶[4]通過對互聯(lián)網(wǎng)搜索數(shù)據(jù)的挖掘和分析，構(gòu)建了基于網(wǎng)絡(luò)搜索的二手房和新建商品房價格預(yù)測模型，對房價指數(shù)有較好的擬合和預(yù)測效果，但與基本的房價預(yù)測模型相比較，加入網(wǎng)絡(luò)搜索指數(shù)后的預(yù)測模型改進作用有限；楊楠[5]等結(jié)合灰色預(yù)測和馬爾可夫鏈預(yù)測的優(yōu)點對房價指數(shù)進行預(yù)測分析，模型擬合精度較高，但只能應(yīng)用于較短的時間序列數(shù)據(jù)。本文采用的ARIMA預(yù)測模型，是根據(jù)隨著時間變化的近5年的歷史房產(chǎn)價格，利用差分自回歸移動平均來排除其他對房價有影響的復(fù)雜因素，諸如人口、經(jīng)濟發(fā)展、國家政策等因素，從而找出數(shù)據(jù)變動的規(guī)律，構(gòu)建一個客觀真實的預(yù)測模型，來持續(xù)預(yù)測未來房價的變化趨勢。

1 ARIMA模型介紹

ARIMA模型是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)在1970年代初提出來的著名時間序列預(yù)測模型之一，全稱為自回歸移動平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model)，也稱為博克思-詹金斯法或Box-Jenkins模型[6-7]。記作ARIMA(p，d，q)，AR是自回歸，p為自回歸項數(shù)；MA是移動平均，q為移動平均項數(shù)，d為非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列時所做的差分次數(shù)(階數(shù))[8]。

ARIMA(p，d，q)模型是ARMA(p，q)模型的擴展。ARIMA模型的實質(zhì)是將非平穩(wěn)的歷史時間序列Yt進行d次差分后得到新的平穩(wěn)時間序列Xt，將Xt擬合成ARMA(p,q)模型，然后再將原d次差分還原，便可以得到Y(jié)t的預(yù)測數(shù)據(jù)[9]。其中，ARMA(p,q)的一般表達式為：

Xt=φ1Xt-1+…+φpXt-p+εt-θ1εt-1-…-θqεt-q,φp≠0,θq≠0

當(dāng)q=0時，ARMA(p,q)模型成為AR(p)模型：

Xt=φ1Xt-1+…+φpXt-p+εt,φp≠0

當(dāng)p=0時，ARMA(p,q)模型成為MA(q)模型：

Xt=εt-θ1εt-1-…-θqεt-q,θq≠0

ARIMA模型的特點是不直接考慮其他相關(guān)隨機變量的變化，它將預(yù)測對象隨時間推移而形成的數(shù)據(jù)序列當(dāng)做一個隨機序列，并且這個隨機序列可以通過自回歸移動平均過程來生成，即該時間序列可以由它自身的過去值或滯后值和隨機干擾項來解釋[10]。如果該時間序列是平穩(wěn)的，即它的行為不會隨著時間的推移而發(fā)生明顯的變化，那么就可以通過該時間序列的過去值及現(xiàn)在值來預(yù)測未來值，這恰恰是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在[11]。

2 模型構(gòu)建

通過建立ARIMA(p,d,q)模型進行廣州二手房價格預(yù)測的基本流程，如圖1所示。

圖1 廣州二手房價格預(yù)測建模流程

2.1 樣本數(shù)據(jù)

本文實驗所需的數(shù)據(jù)是通過國內(nèi)某知名大型房產(chǎn)網(wǎng)站爬取的[12]。該房產(chǎn)網(wǎng)站是個開放的平臺，它集合了各家房產(chǎn)中介的房源信息，且會對房源進行審核，過濾掉價格離譜的房源，最后才從這些房源中統(tǒng)計出均價，通過這種方式得出來的數(shù)據(jù)是靠譜的，可供參考。經(jīng)過筆者的觀察，房產(chǎn)網(wǎng)站上的均價跟市場上的均價相差無幾。因此，本文爬取房產(chǎn)網(wǎng)站上2013年1月份至2017年8月份的廣州和深圳二手房歷史均價數(shù)據(jù)作為實驗研究基礎(chǔ)。

2.2 平穩(wěn)性檢驗

首先將廣州二手房的歷史均價數(shù)據(jù)作出一個時序圖，如圖2所示。

圖2 廣州二手房均價時序圖

顯而易見，從2014年底開始，廣州二手房價格就一直處于上漲狀態(tài)，該時間序列基本可視為非平穩(wěn)時間序列。為了穩(wěn)妥起見，也可以通過自相關(guān)圖來驗證判斷。廣州二手房均價自相關(guān)圖如圖3所示。

圖3 廣州二手房均價自相關(guān)圖

從自相關(guān)圖3中可以看到，隨著延遲期數(shù)的增加，該時間序列的自相關(guān)系數(shù)并沒有很快地衰減向零，而是在零軸一側(cè)上下波動。因此，可以認為該序列是非平穩(wěn)時間序列。

除此之外，可以利用ADF單位根檢驗方法[13]來判斷序列是否平穩(wěn)，它的原假設(shè)為序列具有單位根，即非平穩(wěn)。對于一個平穩(wěn)的時間序列，就需要在給定的置信水平上顯著，拒絕原假設(shè)。通過計算得出p值為0.99，大于顯著水平值0.05，不拒絕原假設(shè)，則不通過檢驗，即存在單位根，該序列為非平穩(wěn)時間序列。

2.3 序列平穩(wěn)化

現(xiàn)在對原始時間序列進行一階差分后再檢驗，若仍然未通過檢驗，則需要進行二次差分變換[14]。一階差分后的時序圖如圖4所示，可以看到，該時序圖并沒有明顯的趨勢，在零附近上下徘徊，可以初步認為它是個平穩(wěn)的時間序列。

圖5 一階差分后的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

一階差分的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖如圖5所示，從圖5(a)可以看到，該時間序列的自相關(guān)系數(shù)很快衰減向零，在零附近上下徘徊，沒有顯著地不等于零，呈現(xiàn)一階拖尾的自相關(guān)性；從偏自相關(guān)圖(圖5(b))中也可以看到，偏自相關(guān)系數(shù)是截尾的情況，呈現(xiàn)一階的偏自相關(guān)性。

進一步對該時間序列進行ADF單位根的檢驗，計算出的p值為0.0057，小于顯著水平值0.05，也就是說拒絕了原假設(shè)，它是一個平穩(wěn)的時間序列。

2.4 白噪聲檢驗

在對原非平穩(wěn)時間序列進行平穩(wěn)化處理后，接下來需要判斷差分后的時間序列是否是白噪聲，假如是白噪聲則沒有研究的意義。白噪聲是一個純粹的隨機過程，它是嚴(yán)平穩(wěn)的，其原假設(shè)是延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間相互獨立[15]。通過計算得出的p值為0.0000046，小于0.05，拒絕了原假設(shè)，所以它不是一個白噪聲序列。

2.5 模型的識別及定階

在得出時間序列為平穩(wěn)的非白噪聲序列后，就可以對ARMA模型進行識別，估計模型中未知的參數(shù)。由于前面對原時間序列進行了一階差分，所以d=1，現(xiàn)在需要對p和q進行定階分析。定階主要有2種方法：一種是根據(jù)自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖人為觀察識別；另一種是根據(jù)信息準(zhǔn)則進行識別。

從圖5中可以看到，自相關(guān)圖(圖5(a))從一階后逐漸衰減向零，是一階拖尾的情況；偏自相關(guān)圖(圖5(b))從一階迅速降到零附近徘徊，是一階截尾的情況。當(dāng)自相關(guān)函數(shù)拖尾，偏自相關(guān)函數(shù)截尾時，它是屬于AR模型；當(dāng)自相關(guān)函數(shù)截尾，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾時，它是屬于MA模型；當(dāng)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均拖尾時，它是屬于ARMA模型[16]。根據(jù)人為判斷，應(yīng)該建立AR(1)模型，即p=1,q=0。

下面根據(jù)BIC準(zhǔn)則來識別模型，BIC準(zhǔn)則是日本統(tǒng)計學(xué)家赤池弘次在AIC準(zhǔn)則基礎(chǔ)上提出來的一種對數(shù)據(jù)序列進行建模定階的方法，是英文Bayesian Information Criterion(貝葉斯信息準(zhǔn)則)的縮寫[17]。通常來說，在給出不同模型的BIC計算公式基礎(chǔ)上，選取使BIC值達到最小的那一組階數(shù)為理想階數(shù)，一般階數(shù)不會超過length/10 (length是數(shù)據(jù)長度)。首先創(chuàng)建一個空的BIC矩陣，通過循環(huán)分別擬合p和q的值，把每次擬合后的BIC值加入矩陣中來，最后從矩陣中找出p和q的最小值。BIC準(zhǔn)則擬合出的p和q最小值分別為1和0，跟之前人為識別的結(jié)果是一致的，因此建立ARIMA(1,1,0)模型。

3 模型的預(yù)測及驗證

模型建好后，就可以使用該模型對未來的廣州二手房價格進行預(yù)測。傳統(tǒng)的方式是直接使用該模型預(yù)測未來幾個月的房價，這樣的預(yù)測結(jié)果并不是建立在近幾個月真實房價的基礎(chǔ)上的，而是在預(yù)測結(jié)果上再進行預(yù)測。另外本文以滾動的方式使用該模型進行預(yù)測，即每個月都把當(dāng)月的實際房價加入模型當(dāng)中來預(yù)測下一個月的房價。

首先將數(shù)據(jù)集分為2部分，2013年1月份至2016年12月份的數(shù)據(jù)作為模型開發(fā)數(shù)據(jù)，2017年1月份至2017年8月份的數(shù)據(jù)作為模型驗證數(shù)據(jù)。將采用滾動預(yù)測后的每個月的預(yù)測均價和實際均價都打印出來，并和直接使用模型進行預(yù)測的均價進行對比，如表1所示?？梢钥吹剑褂媚Ｐ椭苯宇A(yù)測未來前一兩個月的房價時還算合理，一旦預(yù)測超過2個月后的數(shù)據(jù)將變得不準(zhǔn)確，而滾動預(yù)測的方式在實踐中將會表現(xiàn)出更好的性能。因此，本文采用滾動預(yù)測的方式來對房價進行預(yù)測。

表1 實際均價和預(yù)測均價對比

月份實際均價滾動預(yù)測均價直接預(yù)測均價2017-012374423157.79623157.7962017-022442724237.69123339.5572017-032505224870.00423497.2932017-042536925476.34223643.4932017-052606125620.15023784.1532017-062732926529.98723922.1542017-072819628206.40324058.8772017-082852928822.64024194.987

此外，本文使用均方根誤差(RMSE)來衡量預(yù)測的精度，它是預(yù)測值與實際值偏差的平方與預(yù)測次數(shù)n的比值的平方根，表達式為：

在本實驗中，采用傳統(tǒng)的直接預(yù)測方法的RMSE值為2729.715，而使用滾動預(yù)測方法的RMSE值為409.759，相對上萬元的房價來說，幾百元的誤差是基本可以忽略的，說明該滾動預(yù)測模型有良好的性能表現(xiàn)。

圖6 廣州二手房實際均價與預(yù)測均價對比

與此同時，畫出廣州二手房均價預(yù)測結(jié)果與實際結(jié)果之間相互比較的圖表，并用多項式回歸擬合實際結(jié)果值，如圖6所示，實線為實際均價，點畫線為多項式回歸擬合，虛線為滾動預(yù)測均價，點線為直接預(yù)測均價?？梢钥吹剑囗検交貧w只是粗糙地擬合了實際房價曲線，預(yù)測結(jié)果相差較大，而采用滾動預(yù)測方法相比直接預(yù)測較好地擬合了實際結(jié)果值，具有持續(xù)性預(yù)測的特性。

上述實驗用前4年的數(shù)據(jù)來預(yù)測接下來幾個月的數(shù)據(jù)，雖然驗證了模型的準(zhǔn)確性，但因為2014年下半年后的數(shù)據(jù)是呈逐漸上漲趨勢，模型的驗證還不是很充分。接下來用2014年上半年之前的數(shù)據(jù)來預(yù)測2014年下半年以后的數(shù)據(jù)的變化趨勢，以此來驗證該模型對這樣有拐點的波動預(yù)測的適用性。從圖7可以看到，即使數(shù)據(jù)存在像2014年-2015年前后的巨大波動，該模型依然能夠很好地持續(xù)預(yù)測未來的均價，而采用直接預(yù)測或多項式回歸預(yù)測都與實際均價結(jié)果相差甚遠。

圖7 廣州二手房實際均價與預(yù)測均價波動預(yù)測對比

圖8 深圳二手房實際均價與預(yù)測均價對比

為了驗證該模型在其他城市房價預(yù)測上的可適性，再選取一個房價波動比較大的城市——深圳來做實驗測試。如圖8所示，滾動預(yù)測方法依然表現(xiàn)出很好的預(yù)測性能，該模型仍然可以很準(zhǔn)確地預(yù)測深圳未來的房價走勢。因此，該模型具有普適性，有一定的應(yīng)用價值。

4 結(jié)束語

本文基于時間序列ARIMA模型主要對廣州二手房均價進行預(yù)測，相比于其他預(yù)測方式，排除了一些復(fù)雜的影響因素，并使用滾動預(yù)測的方法，相比于直接使用模型進行預(yù)測，更加客觀真實地對房價進行持續(xù)性預(yù)測，提升了預(yù)測的精度。建模中通過BIC準(zhǔn)則進行模型的識別及定階，實驗中對2017年廣州和深圳的房價進行預(yù)測及驗證，通過均方根誤差及圖表的對比，可知取得了顯著的預(yù)測效果，說明該模型可為房屋買賣者提供有用的參考。

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