巧用“等號成立的條件”求值問題

蘇保明

(云南省蒙自市蒙自一中 (新校區(qū)) 661100)

求值問題是多年來高考命制題型的主要內(nèi)容，由于其題型變化無窮，解決方法多種多樣，導(dǎo)致同學(xué)們求解起來有一定的難度.其中有一類求值問題是近年高考?？嫉臒狳c(diǎn)問題之一，在平時(shí)的解題中，只要認(rèn)真分析、仔細(xì)思考，就一定能尋找到很多解題思路和方法.

這是一道蘊(yùn)含著多種解題方法的好題，經(jīng)過筆者認(rèn)真思考和研究，給出下面幾種解法：

一、判別式法

二、利用結(jié)論“a2+b2+c2=0?a=b=c=0”

三、利用公式

四、向量法

解法4：設(shè)a=(x,y,z)，b=(1,2,3)，則由a·b≤|a|b|得

因?yàn)閤2+y2+z2=1，所以x+2y+3z≤14，所以14≤14.

點(diǎn)評用向量法的關(guān)鍵就是正確構(gòu)造向量a和b的坐標(biāo)，并使得a·b≤|a||b|中出現(xiàn)x2+y2+z2和x+2y+3z才行.本題是利用向量不等式a·b≤|a||b|中等號成立的條件進(jìn)行求解.有時(shí)向量法是解決某些特殊求值問題的一種新方法.

五、柯西不等式法

解法5 由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2.

六、化圓法

解法6 由已知得x2+y2=1-z2，

點(diǎn)評構(gòu)造圓方程解決此題運(yùn)算過程較為復(fù)雜，但這種方法屬于通性通法，必須熟練掌握.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書( 必修)數(shù)學(xué)4(A 版)[M]. 北京:人民教育出版社，2014.