巧用圓錐曲線的定義妙求一類最值問題

韓景崗 陳國林

(1.山東省鄒平縣黃山中學 256200；2.安徽省利率高級中學 236700)

圓錐曲線的定義是其基礎知識，解題時必須牢記于心，不可疏忽，很多題目都可以利用定義解答，關(guān)于定義的等式通常隱藏在圖形中，需要運用平面幾何知識才能發(fā)現(xiàn).下面就利用圓錐曲線的定義求最值談一下個人拙見.

一、巧用橢圓的定義求最值

解析|PM|+|PN|的最小值，則|PM|、|PN|都應該最小，|PM|+|PN|的最小值|PA|-R+|PB|-R=6-2=4；同理，最大值為|PA|+|PB|+2R=8，即最小值和最大值分別為4,8.

二、巧用雙曲線的定義求最值

∴|PF|+|PA|=|PA|+|PF′|+4.

當且僅當A,P,F′三點共線時，|PA|+|PF′|取得最小值，且最小值為|AF′|=5．

故(|PF|+|PA|)min=9．

解析雙曲線的兩個焦點F1(-4,0)、F2(4,0)為兩個圓的圓心，半徑分別為r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，故|PM|-|PN|的最大值為(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.

三、巧用拋物線的定義求最值

典例3 設F為拋物線y2=4x的焦點，A是拋物線上一點，B是圓C:(x+3)2+(y+3)2=4上任意一點，設點A到y(tǒng)軸的距離為m，則m+|AB|的最小值為 .

解析由拋物線的定義，A到準線x=-1的距離等于A到焦點F的距離.

而A到y(tǒng)軸的距離比A到準線x=-1的距離少1，故m=|AF|-1.則m+|AB|=|AF|-1+|AB|≥|AF|-1+|AC|-R≥|CF|-1-R=5-1-2=2.

評注第一步：將點A到y(tǒng)軸的距離m轉(zhuǎn)化為A到準線的距離，再利用“拋物線上點到焦點的距離與到準線的距離相等”轉(zhuǎn)化為A到焦點的距離；第二步：利用“圓外一點A與圓C上的點的最小值等于|AC|-R”將目標轉(zhuǎn)化為|AF|+|AC|-R-1；第三步：利用“兩邊之和大于第三邊”討論三點共線時取最小值.由于拋物線的定義中隱含線段相等，最容易和平面幾何結(jié)合，所以拋物線中的性質(zhì)特別多，利用定義解題最廣泛.

變式已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為 .

總之圓錐曲線的定義應用廣泛而且巧妙簡單，在遇到圓錐曲線的題目時，我們應該首先考慮能否利用圓錐曲線的定義去處理，既能簡化運算又可以節(jié)約時間，從而快速達到目的.

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中學. 普通高中課程標準實驗教科書( 數(shù)學選修2 -1)[M]. 北京:人民教育出版社，2008.