范疇論對集合論的超越
——“數(shù)學基礎(chǔ)”研究的比較分析

孔祥雯，郭貴春

(山西大學 科學技術(shù)哲學研究中心，山西 太原 030006)

數(shù)學哲學的研究離不開數(shù)學學科的繁榮發(fā)展，數(shù)學基礎(chǔ)為數(shù)學學科的發(fā)展提供了堅固保障。集合論對數(shù)學概念的統(tǒng)一解釋奠定了其在數(shù)學基礎(chǔ)研究中的核心地位，范疇論對數(shù)學結(jié)構(gòu)的闡釋啟發(fā)了新的基礎(chǔ)研究思路，撼動了ZFC*策梅洛-弗蘭克爾的公理化集合論(Zermelo-Fraenkel Set Theory)，包含選擇公理(AC)時記為ZFC。長期以來的基礎(chǔ)定位。那么范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究起點是什么？范疇論數(shù)學基礎(chǔ)具有怎樣的研究特點？根據(jù)研究性質(zhì)，范疇論數(shù)學基礎(chǔ)能否充分地闡釋集合論？以這些問題為契機，我們可以分析范疇論數(shù)學基礎(chǔ)相對于集合論數(shù)學基礎(chǔ)具有的研究優(yōu)勢，并論證范疇論在數(shù)學基礎(chǔ)研究中超越集合論的可能性。

一 范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究起點

集合論對無窮的全新解讀在數(shù)學史上具有里程碑式的意義，對數(shù)學對象的解釋又促使其在數(shù)學基礎(chǔ)研究中率先占據(jù)了核心地位。范疇論基于對數(shù)學結(jié)構(gòu)的闡釋躋身數(shù)學基礎(chǔ)研究，成為集合論數(shù)學基礎(chǔ)的有力競爭者。闡明范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究起點，為探求數(shù)學基礎(chǔ)研究中范疇論對集合論的超越奠定基礎(chǔ)。

闡明范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究起點，實際上是對范疇論數(shù)學基礎(chǔ)進行理論溯源，如此，既可明晰范疇論被提議為數(shù)學基礎(chǔ)的動因，又有利于深入分析范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究特點。

二 范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究特點

范疇論基于對數(shù)學結(jié)構(gòu)的闡釋，創(chuàng)立了一種不同于集合論的數(shù)學基礎(chǔ)研究進路。聚焦范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究特點，比較分析范疇論與集合論在數(shù)學基礎(chǔ)研究中存在的差異性，探究范疇論數(shù)學基礎(chǔ)相對于集合論數(shù)學基礎(chǔ)的研究優(yōu)勢。

(一)重構(gòu)研究重心

范疇論與集合論最顯著的區(qū)別在于集合論的研究重心是數(shù)學對象，范疇論則將研究重心轉(zhuǎn)向了數(shù)學對象間的關(guān)系。研究重心的不同揭示了范疇論與集合論數(shù)學基礎(chǔ)的本質(zhì)差異，直接決定了數(shù)學對象在數(shù)學基礎(chǔ)研究中的重要性。在集合論數(shù)學基礎(chǔ)的研究思想中，數(shù)學的研究對象是集合，也就是說，集合可以表示所有的數(shù)學對象。那么表示不同對象的集合有什么不同，它們是由什么確定的呢？集合論者通過集合所包含的元素來確定集合，但由于表示同一個數(shù)的集合其包含的元素可能存在不同，使得集合會面臨選擇上的困難。以范疇論為數(shù)學基礎(chǔ)的研究思想中，數(shù)學研究的是結(jié)構(gòu)，而結(jié)構(gòu)是對象之間的關(guān)系所形成的，因而范疇論研究的重心在于對象之間的關(guān)系，范疇論中的概念如態(tài)射、函子、自然轉(zhuǎn)換、同構(gòu)、伴隨等都是對關(guān)系的表述。在范疇中，對象只需滿足其中的態(tài)射關(guān)系即可。范疇論者不需要指出、也不關(guān)心對象由什么構(gòu)成，并且單個對象在范疇中沒有作為個體的研究意義，對象間的關(guān)系才是范疇論的研究重點。通過以上分析可知，范疇論重構(gòu)了數(shù)學的研究重心。相對于集合論數(shù)學基礎(chǔ)而言，范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究優(yōu)勢在于其通過結(jié)構(gòu)來闡釋數(shù)學，無須考慮數(shù)學對象的具體構(gòu)造。

(二)重建關(guān)系表述

集合論中涉及的關(guān)系表述都是直觀的；范疇論則是將包含關(guān)系的數(shù)學系統(tǒng)抽象為數(shù)學結(jié)構(gòu)，重建理論中的關(guān)系表述。我們通過分析理論中涉及的關(guān)系來具體解釋表述的不同。在集合論中，元素與集合之間的從屬關(guān)系，集合與集合之間的包含關(guān)系實質(zhì)上都是在確定元素是否屬于某一集合，是直觀的。范疇由對象和態(tài)射組成，本質(zhì)上是態(tài)射決定了對象，進而確定了范疇。范疇論中的關(guān)系都包含在結(jié)構(gòu)中，對數(shù)學系統(tǒng)進行抽象，就能得到一個由關(guān)系組成的數(shù)學結(jié)構(gòu)。在關(guān)系的表述過程中可以得出，集合論中的關(guān)系都是依附于集合的，因為只有集合確定了，才能談及集合涉及的從屬關(guān)系、包含關(guān)系；反之，范疇是依附于關(guān)系的，是關(guān)系確定了范疇。就理論中的關(guān)系而言，拉夫爾(F. William Lawvere)曾表示，“集合論基于二元的從屬關(guān)系，范疇論基于三元的復合關(guān)系(如圖表的交換性)。通過這種方式，范疇論專注于結(jié)構(gòu)，集合論則專注于恒等式……。在范疇論中對象之間的關(guān)系表示結(jié)構(gòu)的形成，尤其當確定出箭頭的上域時，就能明確區(qū)分包含映射與恒等映射。集合論則不能完全地區(qū)別f：R→R與f：R→N”[1]。顯然，范疇論是借由關(guān)系來理解數(shù)學，故而對關(guān)系的表述更加精細、全面。

(三)重聚理論闡述的對象域

相較于集合論，范疇論可描述的對象域更顯寬廣?？紤]理論闡述的對象域首先要解析集合和范疇的定義。集合的元素都是具體對象，集合中的映射一般通過函數(shù)表示；由范疇的定義可知，范疇的對象不需要包含元素，態(tài)射也不必是函數(shù)。例如，一個有關(guān)形式邏輯系統(tǒng)的范疇，該范疇的對象是邏輯系統(tǒng)中的公式，態(tài)射是從前提公式到結(jié)論公式之間的推導關(guān)系。[2]可見，范疇的定義更一般化。麥克萊恩(Saunders Mac Lane)對集合論提出了質(zhì)疑，認為集合論不能闡述兩類范疇：(1)由于自我指涉的悖論，集合論不能闡述涉及結(jié)構(gòu)全體的范疇，如所有集合的范疇、所有群的范疇，所有范疇的范疇等；(2)任意兩個給定的范疇所形成的指數(shù)范疇BA，[1]該范疇是函子范疇，其中的態(tài)射是函子之間的自然轉(zhuǎn)換。然而，我們可以通過單位態(tài)射、恒等態(tài)射等態(tài)射的使用將集合看作范疇中的對象。結(jié)合上述分析可知，集合論對數(shù)學對象域的描述并不充分，范疇論重新聚焦理論闡述的對象域，憑借定義的一般化闡述了更大范圍的數(shù)學對象域。

(四)重釋數(shù)學結(jié)構(gòu)

與集合論對數(shù)學結(jié)構(gòu)的闡釋相比，范疇論的闡釋方式更符合數(shù)學結(jié)構(gòu)主義的研究宗旨，能夠更高效地重釋數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學哲學家為結(jié)構(gòu)的闡釋提供了多種思路。布爾巴基學派(Bourbaki School)最早完成了數(shù)學結(jié)構(gòu)的定義，并選用集合論的語言闡釋數(shù)學結(jié)構(gòu)。拉夫爾、麥克拉蒂(Colin McLarty)等支持范疇論數(shù)學基礎(chǔ)，主張使用范疇論的語言闡釋數(shù)學結(jié)構(gòu)。從范疇論與集合論對數(shù)學結(jié)構(gòu)的闡釋中可對比得出兩點：(1)在集合論的闡釋中，交換群與模表示的是同樣的結(jié)構(gòu)，也就是說集合論對任意給定的數(shù)學結(jié)構(gòu)有多種不同的解釋模式；而表示相同結(jié)構(gòu)的范疇是同構(gòu)的，范疇論對數(shù)學結(jié)構(gòu)的闡釋保持在恒定的語法中。(2)集合是由元素組成的，故而集合論對結(jié)構(gòu)的闡釋始終包含與結(jié)構(gòu)無關(guān)的性質(zhì)。范疇論研究的是對象間的關(guān)系，不關(guān)注對象由什么組成。在范疇論的闡釋中，數(shù)學對象都處于特定的關(guān)系中，不存在與結(jié)構(gòu)無關(guān)的性質(zhì)。顯然，范疇論對數(shù)學結(jié)構(gòu)的重新闡釋與結(jié)構(gòu)主義的思想更加契合。阿沃弟(Steve Awodey)對此表示，“相比于型論以及集合論的構(gòu)造，范疇論支持的結(jié)構(gòu)主義進路更為堅定、強大以及恒定”[3]124。應該說，范疇論更適用于數(shù)學結(jié)構(gòu)主義的研究進路。

綜上，范疇論數(shù)學基礎(chǔ)具有不同于集合論數(shù)學基礎(chǔ)的研究特點，這源于范疇論自身的構(gòu)造方式。范疇的定義是建立在關(guān)系而不是數(shù)學對象之上的，如此決定了范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究重心，以及對關(guān)系的抽象表述方式，也同時決定了范疇論所描述的對象域相對于集合論而言更為寬廣。結(jié)構(gòu)是范疇論通往數(shù)學基礎(chǔ)之路的重要媒介，范疇論在闡釋數(shù)學結(jié)構(gòu)中表現(xiàn)出的恒定與契合突出了其相對于集合論的研究優(yōu)勢。

三 范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究性質(zhì)

范疇論與集合論被同時提及必定源于對數(shù)學基礎(chǔ)爭論的探討。盡管是在不同的時期被提議為數(shù)學基礎(chǔ)，但這兩種理論還是具有明顯的競爭關(guān)系。究竟是集合論能夠為包含范疇論在內(nèi)的數(shù)學提供基礎(chǔ)，還是范疇論能夠闡釋所有的數(shù)學結(jié)構(gòu)后來者居上呢？顯然，點對點的分散式研究不足以回答這一問題，需要從整體角度出發(fā)進行解答。因此，我們將從研究特點轉(zhuǎn)向研究性質(zhì)，并依據(jù)范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究性質(zhì)，探索范疇論數(shù)學基礎(chǔ)超越集合論數(shù)學基礎(chǔ)的可能性。

(一)集合論數(shù)學基礎(chǔ)對范疇論闡釋的不充分性

集合論數(shù)學基礎(chǔ)的研究思路是將所有的數(shù)學對象都表示為集合；范疇論數(shù)學基礎(chǔ)則認為數(shù)學研究的是結(jié)構(gòu)，范疇論可以闡釋所有結(jié)構(gòu)。使用集合論數(shù)學基礎(chǔ)闡釋范疇論就是要解釋數(shù)學中的結(jié)構(gòu)。貝納塞拉夫(Paul Benacerraf)曾指出數(shù)不是集合；結(jié)構(gòu)主義者主張數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系是滿足了某些特定條件的結(jié)構(gòu)，數(shù)是該結(jié)構(gòu)中的某個位置。按照這樣的理解，集合論必定不能解釋數(shù)的結(jié)構(gòu)，自然也無法詮釋所有的數(shù)學結(jié)構(gòu)。范疇由對象和態(tài)射構(gòu)成，如果將范疇看作對象，范疇間的函子看作態(tài)射，又可以形成新的范疇。考慮到范疇的構(gòu)造，格羅滕迪克(Grothendieck)對范疇進行了區(qū)分，將可以用集合表示的范疇稱作小范疇。顯然，范疇論中還存在一些集合論無法解釋的大范疇。面對這一難題，集合論者想要通過借助一些理論為所有范疇提供集合論的闡釋。一種思路是借助格羅騰迪克全域(universe)，使那些不能稱作小范疇的數(shù)學結(jié)構(gòu)借助不可達基數(shù)表示為累積分層(Cumulativehierarchy)中更高級別的層級。但是這其中借助的不可達基數(shù)，其存在超出了ZFC公理系統(tǒng)的包含范圍。因此，集合論采用的這種闡釋方式并不成立。另一種思路源自布拉斯(Andreas Blass)，他指出不需要假定不可達基數(shù)的存在，“假定當變量遍及所有集合或遍及所有小集合時，每個一階陳述都有同樣的意義。換言之，所有小集合的全域是所有集合全域的子結(jié)構(gòu)”[4]。這種假設是想要借助反射原理(Reflectionprinciple)完成，如果依據(jù)大范疇得到了某個結(jié)論，那么小范疇自然也有同樣的結(jié)論。我們認為，利用反射原理并不能完成這樣的假設。因為如果不假定不可達基數(shù)的存在，集合的語言就不能表述大范疇，范疇的全域與集合的全域沒有包含關(guān)系，自然不能將集合中的結(jié)論應用于大范疇。綜上，我們有理由認為集合論數(shù)學基礎(chǔ)的研究性質(zhì)并不能完全地適用于范疇論。

對于集合論數(shù)學基礎(chǔ)能否闡釋范疇論，還有一種簡單的回答，即范疇論與集合論是相互獨立的，范疇論不需要集合論作為數(shù)學基礎(chǔ)。按照這樣的思路，無論集合論能否充分地闡釋范疇論，都是不必要的?？v觀數(shù)學史的發(fā)展，集合論在范疇論出現(xiàn)之前已取得輝煌的成就，確實不需要依賴范疇論。此外，范疇論的出現(xiàn)比較滯后，但是這并不表明范疇論就必然依賴于集合論的相關(guān)概念和理論。林博(?ystein Linnebo)及佩蒂格魯(Richard Pettigrew)在“范疇論作為自主的基礎(chǔ)”[5]一文中論證了范疇論在邏輯、概念上的自主性，表明了范疇論相對于集合論的獨立性。由此可見，范疇論確實不需要集合論的闡釋，它可以依據(jù)公理系統(tǒng)斷言自身存在，范疇論的對象也不需要集合論的表述，因為范疇論關(guān)注的是對象之間的關(guān)系，不考慮對象的組成。因此，范疇論自身的發(fā)展不需要借助任何有關(guān)集合論的概念、性質(zhì)等。

簡言之，集合論數(shù)學基礎(chǔ)的研究性質(zhì)的確可以適用于部分范疇，但不適用于所有的范疇。由此可知，集合論數(shù)學基礎(chǔ)對范疇論的闡釋是不充分的。

(二)范疇論數(shù)學基礎(chǔ)對集合論的闡釋及深化

更重要的是，范疇論不僅可以闡釋集合論，而且能以范疇的方式處理集合，對集合論進行進一步深化。以集合范疇為例，將所有的集合看作對象，集合間的函數(shù)關(guān)系作為態(tài)射，就形成了集合范疇。值得注意的是，范疇與集合的深入聯(lián)系不僅僅局限于集合范疇，而是朝向更一般化的拓撲斯。應該說，范疇論與集合論在拓撲斯公理系統(tǒng)中的聯(lián)系最為緊密。拓撲斯的出現(xiàn)歸功于格羅滕迪克，他認為空間屬于范疇，而一般的拓撲空間可以表示為拓撲斯。當然，拓撲斯的涵蓋范圍遠不止此。20世紀70年代，拉夫爾與蒂爾尼(Myles Tierney)對拓撲斯進行了一階公理化，豐富了拓撲斯公理系統(tǒng)。拓撲斯公理是在一般的范疇公理上添加兩個涉及終對象和冪集的公理。顯而易見，所有的拓撲斯都是范疇，確切地說，拓撲斯是特殊的范疇。在拓撲斯公理系統(tǒng)中，經(jīng)典數(shù)學的概念、性質(zhì)、證明等依然存在及成立，只是不同于原先的構(gòu)造方式。集合范疇作為最一般的拓撲斯，其對集合的處理方式與公理化集合論中的處理方式必然不同。但是，公理化集合論中的定義和證明在拓撲斯中都是適用的，并且使用拓撲斯公理中的冪集、子集等概念可以替代集合論中的力迫法、對稱子模型等；另外，拓撲斯還能作用于集合論中一些結(jié)論的證明，例如科恩(Paul Cohen)的獨立性證明、選擇公理的獨立性證明。簡言之，范疇論不僅能夠闡釋集合論中的概念、性質(zhì)、定理等，而且能夠通過結(jié)構(gòu)的方式對集合論進一步深化，使其不同于公理化集合論的構(gòu)造，更加方便、有效地證明數(shù)學理論。

總之，集合論數(shù)學基礎(chǔ)在闡釋范疇的過程中表現(xiàn)出了不充分性，無法闡釋全體數(shù)學。與之相比，范疇論表現(xiàn)出了一定的競爭優(yōu)勢，不僅范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究性質(zhì)可作用于集合論，而且范疇論還能以結(jié)構(gòu)的方式處理集合論的相關(guān)內(nèi)容。由此，我們認為相較于集合論的數(shù)學基礎(chǔ)，范疇論數(shù)學基礎(chǔ)在描述數(shù)學的過程中具有一定的優(yōu)勢，值得數(shù)學哲學家繼續(xù)深入研究。

四 范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究意義

范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的發(fā)展深刻地沖擊了集合論長期以來的數(shù)學基礎(chǔ)地位，憑借對數(shù)學結(jié)構(gòu)的闡釋范疇論在數(shù)學基礎(chǔ)研究中脫穎而出，以結(jié)構(gòu)的方式更加清晰地建構(gòu)數(shù)學。剖析范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究特點及研究性質(zhì)，有助于闡明范疇論不同于集合論的基礎(chǔ)研究進路。通過具體的分析比較，范疇論數(shù)學基礎(chǔ)展現(xiàn)出了一定的研究優(yōu)勢。為此，我們將探求范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究意義，彰顯其深遠的研究價值。

(一)研究內(nèi)容上，范疇論的基礎(chǔ)進路扭轉(zhuǎn)了傳統(tǒng)基礎(chǔ)研究對數(shù)學對象的單一關(guān)注，使數(shù)學轉(zhuǎn)向了對關(guān)系的研究

從對象到對象之間的關(guān)系，這種轉(zhuǎn)向一方面揭示了范疇論被提議為數(shù)學基礎(chǔ)的動因，另一方面表明了范疇論是不同于集合論的數(shù)學基礎(chǔ)思路。在結(jié)構(gòu)主義思潮的推動下，數(shù)學結(jié)構(gòu)主義在數(shù)學哲學中應運而生。結(jié)構(gòu)主義者摒除了以集合論為數(shù)學基礎(chǔ)的研究思想，嘗試以結(jié)構(gòu)的方式建構(gòu)數(shù)學，將數(shù)學看作是由結(jié)構(gòu)構(gòu)成的學科。范疇論的研究重心是對象之間的關(guān)系，對數(shù)學系統(tǒng)中的關(guān)系進行抽象就得到了數(shù)學結(jié)構(gòu)，這些數(shù)學結(jié)構(gòu)共同作用形成了數(shù)學整體，由此產(chǎn)生了從數(shù)學到結(jié)構(gòu)再到范疇的基礎(chǔ)研究思路，范疇論也因此成為數(shù)學基礎(chǔ)的有力競爭者，使數(shù)學基礎(chǔ)研究邁上了新的征程，打破了長期以來以集合論為主的基礎(chǔ)研究狀態(tài)。

(二)研究方法上，范疇論轉(zhuǎn)向了以方法論為主的基礎(chǔ)研究思路，超越了集合論以本體論為主的基礎(chǔ)研究思路

集合論最顯著的基礎(chǔ)特征是對數(shù)學對象的闡述，主要在本體論的意義上探討數(shù)學基礎(chǔ)。范疇論關(guān)注對象間的關(guān)系，由關(guān)系決定該結(jié)構(gòu)中的對象，范疇論確實有本體論上的斷言，但是與數(shù)學結(jié)構(gòu)相比，數(shù)學中的對象顯然不是結(jié)構(gòu)主義的研究重心。范疇論的基礎(chǔ)特征源自對數(shù)學結(jié)構(gòu)的闡釋，體現(xiàn)了數(shù)學結(jié)構(gòu)主義的研究方法?！拔覀儸F(xiàn)在想要確定一種特定的結(jié)構(gòu)主義方法，這種方法是許多當代數(shù)學家所共用的。它涉及數(shù)學家所做的工作，我們將其稱作結(jié)構(gòu)主義的方法論?！盵6]考慮到結(jié)構(gòu)主義方法論在數(shù)學中的應用以及范疇論與結(jié)構(gòu)的闡述關(guān)系，數(shù)學哲學家更多的是在方法論這一意義上闡明范疇論的數(shù)學基礎(chǔ)，為范疇論的數(shù)學基礎(chǔ)研究提供方法論意義上的論證。

(三)研究思路上，范疇論數(shù)學基礎(chǔ)遵循著從數(shù)學到結(jié)構(gòu)再到范疇的研究思路，這一思路既呈現(xiàn)了范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的理論淵源，也表明了范疇論數(shù)學基礎(chǔ)不是數(shù)學哲學家的任意選擇，而是基于數(shù)學結(jié)構(gòu)主義思想的合理優(yōu)選

在數(shù)學結(jié)構(gòu)主義的發(fā)展過程中，不只有范疇論的結(jié)構(gòu)主義進路，還主要包括先物結(jié)構(gòu)主義及模態(tài)結(jié)構(gòu)主義的進路。遺憾的是，先物結(jié)構(gòu)主義無法逃脫認識論的劫難[7]，模態(tài)結(jié)構(gòu)主義對結(jié)構(gòu)的模態(tài)中立主義態(tài)度，使其難以表明數(shù)學的可應用性，也難以規(guī)避語義學難題。[8]布爾巴基作為數(shù)學結(jié)構(gòu)主義的奠基者，試圖通過集合論闡釋數(shù)學結(jié)構(gòu)，但是這一進路并沒有行進太遠就夭折了。范疇論依據(jù)自身的態(tài)射、函子及同構(gòu)等一些概念充分合理地闡釋了數(shù)學結(jié)構(gòu)，催生了范疇結(jié)構(gòu)主義的研究進路，也由此帶動了范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究。

(四)研究目的上，隨著數(shù)學在理論及應用中的不斷進步，數(shù)學學科日益精進，但始終無法繞開“數(shù)學基礎(chǔ)”這一研究主題，范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的興起是解決數(shù)學基礎(chǔ)爭論的一大重要嘗試

范疇結(jié)構(gòu)主義進路極大地推動了數(shù)學基礎(chǔ)的研究，尤其在對數(shù)學學科的解讀、對數(shù)學結(jié)構(gòu)的組織統(tǒng)一等方面。相較于集合論數(shù)學基礎(chǔ)，范疇論數(shù)學基礎(chǔ)在研究特點和研究性質(zhì)上都展現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢和研究價值。另外，盡管ZFC面臨著選擇公理的一致性難題，但在數(shù)學基礎(chǔ)的研究中似乎仍具有不可取代的地位，一個重要的原因就是，數(shù)學尚缺乏一個全新的理論來替代傳統(tǒng)的集合論數(shù)學基礎(chǔ)研究模式。范疇論為數(shù)學基礎(chǔ)研究提供了這樣的可能，它以結(jié)構(gòu)主義方法論為切入點，依據(jù)自身語言闡釋數(shù)學結(jié)構(gòu)，構(gòu)建了數(shù)學基礎(chǔ)研究的新模式，使數(shù)學基礎(chǔ)邁進了一個新的研究階段。

綜上，結(jié)合范疇論數(shù)學基礎(chǔ)的研究起點、研究特點及研究性質(zhì)可知，范疇論因自身的研究特性、關(guān)系表述及對結(jié)構(gòu)的詮釋顯示了其替代集合論數(shù)學基礎(chǔ)的可能性，在與集合論的相互闡釋中表現(xiàn)出了相對的充分性。基于此，我們認為范疇論數(shù)學基礎(chǔ)在特定方面超越了集合論的數(shù)學基礎(chǔ)，是最具發(fā)展前景的數(shù)學基礎(chǔ)進路之一。盡管數(shù)學哲學家對范疇論能否替代集合論作為數(shù)學基礎(chǔ)始終保持相對謹慎的態(tài)度，但這種結(jié)構(gòu)主義的進路革新了數(shù)學哲學家對數(shù)學基礎(chǔ)的傳統(tǒng)研究模式，使其具有深刻的研究意義。

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