基于界柵的日地平動(dòng)點(diǎn)編隊(duì)飛行碰撞規(guī)避控制研究

張科, 何振琦, 呂梅柏, 王靖宇

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

航天器編隊(duì)飛行的研究工作從20世紀(jì)90年代末開始就沒有間斷過,特別是近些年隨著小衛(wèi)星技術(shù)的發(fā)展,成為了研究熱點(diǎn)。目前國際上已經(jīng)有不少的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)任務(wù)采用航天器編隊(duì)飛行來實(shí)現(xiàn),比較典型的有美國NASA的A-Train計(jì)劃、MMS計(jì)劃[1-2]等。

航天器編隊(duì)飛行技術(shù)的一大特點(diǎn)是多顆小航天器在空間組成特定的構(gòu)形協(xié)同工作,密切聯(lián)系,以分布方式構(gòu)成一顆大的“虛擬航天器”(或稱為“分布式衛(wèi)星系統(tǒng)”)[3-5],從而產(chǎn)生系統(tǒng)理論中的“涌現(xiàn)”現(xiàn)象[3-5],在性能上超越單顆航天器系統(tǒng)。

在編隊(duì)飛行中,由于各種攝動(dòng)的影響,將會(huì)使編隊(duì)構(gòu)型產(chǎn)生漂移,而且由于各種硬件、軟件故障的問題,都會(huì)增加編隊(duì)飛行過程中航天器碰撞概率。如何避免編隊(duì)航天器之間的碰撞成為衛(wèi)星編隊(duì)飛行設(shè)計(jì)中必須考慮的重要問題。本文通過微分對策中的界柵理論[4]把相鄰2個(gè)飛行器的最小距離作為約束集,建立Hamilton函數(shù)并得到最優(yōu)控制律[6-8]，構(gòu)造界柵理論及相應(yīng)界柵軌跡,劃分碰撞區(qū)與非碰撞區(qū)[6-8]，從而實(shí)現(xiàn)編隊(duì)航天器防碰策略設(shè)計(jì)研究。

1 建立微分對策系統(tǒng)狀態(tài)方程

假設(shè)僅考慮2顆衛(wèi)星在同一平面內(nèi)相對運(yùn)動(dòng),即目標(biāo)星為E,追趕星為P,則多顆衛(wèi)星以此類推。圖1為編隊(duì)飛行追逃關(guān)系模型示意圖。

圖1 飛行器編隊(duì)飛行追逃關(guān)系模型示意圖

(1)

式中,μ1為太陽開普勒常數(shù),μ2為地月系開普勒常數(shù),rp1是由太陽質(zhì)心指向航天器P的矢量,rp2是由地月系質(zhì)心指向航天器P的矢量,re1是由太陽質(zhì)心指向航天器E的矢量,re2是由地月系質(zhì)心指向航天器E的矢量。F為航天器軌控發(fā)動(dòng)機(jī)推力,u和v分別為推力Fp和Fe與X軸的夾角,Mp與Me分別為航天器P與航天器E的質(zhì)量。

2 最優(yōu)控制量的求解及界柵的構(gòu)造

假設(shè)航天器P域與航天器E在同一平面內(nèi)組成追逃模型,星間臨界碰撞距離為l,則對策目標(biāo)約束集D為圓域[9]:

(Xe-Xp)2+(Ye-Yp)2-l2≤0

(2)

當(dāng)編隊(duì)航天器間相對距離大于l,則不會(huì)發(fā)生碰撞,反之則發(fā)生碰撞。

根據(jù)微分對策理論,Hamilton函數(shù)可表示如下:

H(Xp,Xe,Yp,Ye,u,v,γ)=γ1Vxp+γ2Vyp+

γ3-μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3Xp+FpMpcosv+

γ4-μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3Yp+FpMpsinv+

γ5Vxe+γ6Vye+

γ7-μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3Xe+FeMecosu+

γ8-μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3Ye+FeMesinu=

Hp+He+H0

(3)

式中:γ=[γ1γ2γ3γ4γ5γ6γ7γ8]T∈R8是任意向量;且

Hp(v)=γ3FpMpcosv+γ4FpMpsinv

He(u)=γ7FeMecosu+γ8FeMesinu

H0=γ1Vxp+γ2Vyp-γ3μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3Xp-

γ4μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3Yp+γ5Vxe+γ6Vye-

γ7μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3Xe-

γ8μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3Ye

因此:

maxuminvH(Xp,Xe,Yp,Ye,u,v,γ)=

minvHp(v)+maxuHe(u)+H0

(4)

令dHp(v)dv=0,即

FpMp(-γ3sinv+γ4cosv)=0

(5)

解得

顯然有

d2Hp(v*)dv2=-(γ3sinv*+γ4cosv*)>0

(7)

由(6)式、(7)式確定v*是航天器P的最優(yōu)策略。類似可求得航天器E的最優(yōu)策略u*,其滿足

于是,可得

將目標(biāo)集

?D={(Xp,Xe,Yp,Ye)|(Xe-Xp)2+

(Ye-Yp)2-l2=0}

寫成參數(shù)形式:

Xp()=φ1(s)=s1,Yp()=φ2(s)=s2,

Vxp()=φ3(s)=s3,Vyp()=φ4(s)=s4,

Xe()=φ5(s)=s1+lcoss5,

Ye()=φ6(s)=s2+lcoss5,

Vre()=φ7(s)=s3,Vθp()=φ8(s)=s4

式中,s=(s1,s2,s3,s4)T;s5為與x軸正方向的夾角,-π≤s5≤π;為捕獲時(shí)間。

由界柵構(gòu)造理論:

∑mi=1γi?φi(s1,s2,…,sm-2)?sj=0

γT·γ|?D=1,(j=1,2,…,m-2)

(10)

由方程組(10)中第一個(gè)式子可得:

γ1()+γ5()=0

γ2()+γ6()=0

γ3()+γ7()=0

γ4()+γ8()=0

-γ5()lcoss5+γ6()lcoss5=0

(11)

再結(jié)合方程組(10)中第二個(gè)式子可得?D上的單位法線向量為

γ|?D=(coss58,sins58,coss58,

sins58,-coss58,-sins58,-coss58,-sins58)T

顯然Hamilton函數(shù)可寫成:

18Qsin(s5+a)-FpMp+FeMe

(12)

式中:

Q={[Vxp-Vxe+(μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3)Xe-(μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3)Xp]2+

[Vyp-Vye+(μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3)Ye-(μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3)Yp]2}12

a=arctanVxp-Vxe+(μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3)Xe-(μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3)XpVyp-Vye+(μ1‖re1‖3+μ2‖re2‖3)Ye-(μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3)Yp

以下有3種情況：

1) 當(dāng)sin(s5+a)>FpMp+FeMe/Q時(shí),則整個(gè)目標(biāo)邊界集?D是NUP,不存在界柵,航天器P與航天器E總可以發(fā)生碰撞,整個(gè)對策空間都是碰撞區(qū)。

2) 當(dāng)sin(s5+a)

3) 當(dāng)sin(s5+a)=FpMp+FeMe/Q時(shí),則整個(gè)目標(biāo)邊界集?D是BUP,在這種情況下,一定存在界柵B。下面以對應(yīng)于BUP上任意一點(diǎn)s為初始點(diǎn)倒向構(gòu)造界柵B。

易于得到倒向協(xié)態(tài)方程組為:

dγ1dτ=μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3coss5-

(coss5Xp+sinYp)μ1‖rp1‖92+μ2‖rp2‖92Xp

dγ2dτ=μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3sins5-

(coss5Xp+sinYp)μ1‖rp1‖92+μ2‖rp2‖92Yp

dγ3dτ=-coss5

dγ4dτ=-sins5

dγ5dτ=-μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3coss5-

(coss5Xe+sinYe)μ1‖rp1‖92+μ2‖rp2‖92Xe

dγ6dτ=-μ1‖rp1‖3+μ2‖rp2‖3sins5-

(coss5Xe+sinYe)μ1‖rp1‖92+μ2‖rp2‖92Ye

dγ7dτ=coss5

dγ8dτ=sins5

(13)

相應(yīng)的初始條件為:

γ1(0)=12coss5,γ2(0)=12sins5,

γ3(0)=12coss5,γ4(0)=12sins5,

γ5(0)=-12coss5,γ6(0)=-12sins5,

γ7(0)=-12coss5,γ8(0)=-12sins5

式中,τ=-t0,倒向狀態(tài)微分方程組為:

(14)

以及倒向初值條件為:

簡單的積分可得:

則所求的界柵B為:

(17)

即為一個(gè)圓,界柵B把對策空間R2分為2個(gè)部分,由B圍成的圓域(包括B本身)為捕獲區(qū),圓域之外的區(qū)域?yàn)槎惚軈^(qū)。

3 實(shí)例仿真與分析

文本仿真實(shí)例的初始條件如下:

假設(shè)航天器P與航天器E的質(zhì)量及大小相同,質(zhì)量均為2 000 kg;航天器P處于幅值為900 000 km的運(yùn)行軌道上,捕獲半徑為5 km,以日地平動(dòng)點(diǎn)L2點(diǎn)附近編隊(duì)飛行為例,具體的L2點(diǎn)基本常數(shù)[10]如表1所示:

表1 日地系統(tǒng)L2點(diǎn)基本常數(shù)

航天器P與航天器E在坐標(biāo)系下的位置與速度[11-12]分別為:

Xp(0)=87 028.508 409 km

Xe(0)=87 028.618 409 km

Yp(0)=-24 739.512 629 km

Ye(0)=-23 268.613 245 km

Vxp=8.995 877 m/s

Vyp=121.605 675 m/s

Vxe=8.285 877 m/s

Vye=120.924 877 m/s

由于編隊(duì)飛行時(shí),航天器間距較近,可忽略軌道引力,太陽光壓等攝動(dòng)力影響。對Hamilton函數(shù)進(jìn)行Matlab仿真如圖2所示:

圖2 Hamilton函數(shù)隨時(shí)間變化曲線

在圖2中,可以看到Hamilton函數(shù)存在大于0、等于0、小于0的情況,也就是航天器間存在非碰撞區(qū)、界柵和碰撞區(qū)。

對方程(4)做積分dHpdFp=0可得最優(yōu)控制推力表達(dá)式:

γ3Mpcosv+γ4Mpsinv

(18)

再將(13)式代入(18)式可得:

sins58Mpcosv-coss58Mpsinv=

-18Mpcos(s5+v)

(19)

經(jīng)過matlab仿真可得航天器P的控制力Fp隨倒向時(shí)間變化如圖3所示:

圖3 航天器P的控制力Fp隨倒向時(shí)間變化曲線

在圖3中,首先,控制力Fp隨倒向時(shí)間的變化呈先由小變大再由大變小的循環(huán)過程,中間有反向的出現(xiàn),這是由于航天器P在追逃過程中,兩航天器的位置發(fā)生了改變造成控制力方向的改變。

4 結(jié) 論

編隊(duì)飛行技術(shù)是深空探測方向的一個(gè)重要研究方向,本文將任意2個(gè)航天器間的最小距離作為臨界距離,運(yùn)用微分對策中的界柵理論將整個(gè)對策空間分為碰撞區(qū)與非碰撞區(qū),碰撞區(qū)與非碰撞區(qū)的重疊部分即為界柵。通過對界柵區(qū)域的構(gòu)造,能夠保證航天器間不發(fā)生碰撞。經(jīng)過實(shí)例仿真證明該方法簡單可行。

參考文獻(xiàn)：

[1] Lian Yijun, Gerard Gómez, Josep J Masdemont, et al. Station Keeping of Real Earth-Moon Libration Point Orbits Using Discrete-Time Sliding Mode Control[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014, 19(10): 3792-3807

[2] Josep Virgili Llop. Autonomous Optical Navigation for Orbits around Earth-Moon Collinear Libration Points[J]. Acta Astronautica, 2013, 86(5/6): 119-125

[3] 徐明. 平動(dòng)點(diǎn)軌道的動(dòng)力學(xué)與控制研究綜述[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2009, 30(4): 1299-1313

Xu Ming. Overview of Orbital Dynamics and Control for Libration Point Orbits[J]. Chinese Journal of Astronautics, 2009, 30(4): 1299-1313 (in Chinese)

[4] Daren Lee, Krishna Dev Kumar, Manoranjan Sinha, et al. Fault Detection and Recovery of Spacecraft Formation Flying Using Nonlinear Observer and Reconfigurable Controller[J]. Acta Astronautica, 2014, 97(4/5): 58-72

[5] Lü Jing, Li Junfeng, Lu Qishao, et al. Periodic Orbits Based on Geometric Structure of Center Manifold around Lagrange Points[J]. Astrophys Space, 2012, 340:17-25

[6] 李登峰. 微分對策及其應(yīng)用[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 2000

Li Dengfeng. Differential Games and Applications [M]. Beijing, National Defense Industry Press, 2000 (in Chinese)

[7] Lin W. Distributed UAV Formation Control Using Differential Game Approach[J]. Aerospace Science and Technology, 2014, 35(3): 54-62

[8] Andrea L′fflitto. Differential Games, Partial-State Stabilization, and Model Reference Adaptive Control[J]. Journal of the Franklin Institute, 2017, 354(1): 456-478

[9] 張秋華, 孫毅, 黃明明, 等. 近地共面軌道上兩飛行器在徑向連續(xù)小推力下的追逃界柵[J]. 控制與決策, 2007, 22(5): 530-534

Zhang Qiuhua, Sun Yi, Huang Mingming, et al. Pursuit-Evasion Barrier of Two Spacecrafts under Minute Continuous Radial Thrust in Coplanar Orbit[J]. Control and Decision, 2007, 22(5): 530-534 (in Chinese)

[10] 熊攀. 日地L2平動(dòng)點(diǎn)編隊(duì)飛行高精度位置保持建模及控制[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2011

Xiong Pan. Modeling and Control of High Precision Postion Keeping for the Sun Earth L2 Point Formation Flying[D]. Harbin, Harbin Institute of Technology, 2011 (in Chinese)

[11] Korobtsev Iv, Goryashin Ve, Eselevich Mv. Results of Tracking a Spacecraft in the Vicinity of the L2 Libration Point of the Sun-Earth System[J]. Journal of the Franklin Institute, 2017, 61(2): 153-159

[12] He Zhenqi, Zhang Ke, Lü Meibai. Research on Control Method of Keeping Flight Formation by Using SDRE on the Sun-Earth Libration Points[J]. Advances in AstronomAdvances in Astronom, 2017, 1(1): 5-16