例談數(shù)列的差、比單調(diào)性的應(yīng)用

■浙江省天臺(tái)中學(xué)高二(2)班 褚凱佟 (指導(dǎo)老師:陳中停)

同學(xué)們有沒(méi)有這樣的體驗(yàn):一些數(shù)列,它的相鄰兩項(xiàng)差或比構(gòu)成的數(shù)列是具有單調(diào)性的。我們?cè)趪L試解決這種試題的時(shí)候,要是忘記或忽略了這個(gè)性質(zhì),就會(huì)導(dǎo)致解題走彎路甚至進(jìn)入死胡同。

例題 已知數(shù)列{an}滿足a1=用符號(hào)[x]表示不超過(guò)數(shù)x的最大整數(shù)。試求

我的思考?xì)v程如下：

裂項(xiàng)相消法求和：由2an+1=an2+2an推這是一個(gè)實(shí)質(zhì)性的發(fā)現(xiàn),沒(méi)有它解決問(wèn)題無(wú)從談起,發(fā)現(xiàn)它使得目標(biāo)和式可以求和了。

猜想結(jié)果：由于數(shù)列{an}是恒正、遞增的數(shù)列,又二次函數(shù)f(x)=x2+2x在區(qū)間(0,+∞)是增函數(shù),因此,估計(jì)a2018＞1,即,可以的結(jié)果是3。

下面證明a2018＞1。

如何用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒▉?lái)證明a2018＞1呢?為解決這個(gè)問(wèn)題,對(duì)式子2(an+1-an)=an2進(jìn)行細(xì)心觀察。由2(an+1-an)=結(jié)合a1(即a1≠0),得數(shù)列{an}是遞增數(shù)列。又由{an}是遞增數(shù)列,且an＞0,即an2是遞增的,結(jié)合2(an+1-an)=an2,得數(shù)列{an+1-an}也是遞增數(shù)列,即an+2-an+1＞an+1-an對(duì)于所有n恒成立。

這樣,當(dāng)n＞3時(shí),有an-an-1＞an-1-an-2,an-1-an-2＞an-2-an-3,…,a3-a2＞a2-a1,a2-a1=a2-a1,上面所有式子同向相加得an-a1＞(n-1)(a2-a1)=1),即(n-1),從而

回顧：要用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒▉?lái)證明a2018＞1,由數(shù)列{an+1-an}是遞增數(shù)列而獲得式子)是關(guān)鍵。這就是用一次(線性)變化(具有單調(diào)性)來(lái)獲得估計(jì)目標(biāo)變化的方法。

方法推廣：其實(shí),在解決很多數(shù)列問(wèn)題時(shí),我們要注意該數(shù)列可能恒為正數(shù)數(shù)列,更要注意該數(shù)列的差數(shù)列{an+1-an}可能是單調(diào)數(shù)列,或該數(shù)列的比數(shù)列可能是單調(diào)數(shù)列。掌握了這樣的性質(zhì),就可以考慮用一次線性變化,或底數(shù)確定的指數(shù)變化來(lái)估算我們的目標(biāo)了。

我們可以利用此方法解決下面的跟蹤訓(xùn)練題。

跟蹤訓(xùn)練：已知數(shù)列{an}滿足a1=1,

簡(jiǎn)略分析：仔細(xì)觀察,可以發(fā)現(xiàn)從第2項(xiàng)開(kāi)始數(shù)列的每一項(xiàng)恒大于1,且是遞增的,由函數(shù)f(x)=x+在x＞2時(shí)是遞增函數(shù),可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的比數(shù)列遞增的。下面就可由遞推式變形進(jìn)行證明了。