受遮擋貝塞爾-高斯光束在湍流大氣傳輸?shù)腗2因子

包訓旺，袁揚勝，崔執(zhí)鳳，屈 軍

(安徽師范大學 物理與電子信息學院 安徽省光電材料科學與技術重點實驗室，蕪湖 241000)

引 言

激光束在光學成像、激光遙感、光互聯(lián)和自由空間光通信等方面有大量的應用，使得激光束在大氣湍流中的研究受到國內(nèi)外學者的廣泛關注[1-6]。但是由于大氣湍流的存在，激光束在大氣中傳輸時不可避免地受到湍流的影響，發(fā)生光束漂移[7-9]、光束質(zhì)量[10]、強度[11-12]、相干性[13]和偏振性[14]變化等一系列的湍流效應，使得激光束的光束質(zhì)量大大降低，因此尋找合適的激光束以減小大氣湍流對光束的影響是眾多學者一直努力的方向。參考文獻[13]中研究了部分相干高斯-謝爾光束在大氣湍流中的傳輸特性，發(fā)現(xiàn)一定條件下部分相干光與完全相干光相比，它受大氣湍流的影響更小。參考文獻[14]中提出矢量渦旋光束在大氣中傳輸時，受到湍流的干擾相對小。自1987年DURNIN首次提出了近似無衍射光束的概念并在實驗中產(chǎn)生了這種新型的光束[15]以來，這種新型的光束便引起了眾多學者的興趣。1996年研究人員發(fā)現(xiàn)當貝塞爾光束的中心光斑被遮擋后，經(jīng)過很小的一段距離就可以恢復的自愈合特性[16-19]。參考文獻[20]中從理論上推導了貝塞爾光束在大氣湍流中的光束漂移模型，計算了不同湍流強度下高階貝塞爾光束的光束漂移，結(jié)果表明,在相同的大氣湍流條件下，高階貝塞爾光束受大氣湍流的影響較小,因此,研究貝塞爾光束在大氣湍流中的傳輸性質(zhì)對于自由空間光通信等諸多方面有很重要的意義。鑒于此，本文中基于拓展的惠更斯-菲涅耳原理和維格納分布函數(shù)的二階矩定義理論上推導了受遮擋貝塞爾-高斯光束在大氣湍流中的質(zhì)量因子解析式，進行相應的數(shù)值計算，分析了湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)、湍流內(nèi)標量、遮擋物尺寸和束腰寬度對受遮擋貝塞爾-高斯光束的質(zhì)量因子的影響。

1 理論推導

在柱坐標下，參考文獻[3]中給出了貝塞爾-高斯光束在源平面的(z=0)的電場強度分布表達式，在光束的中心加一個障礙物即高斯吸收函數(shù)[17]，則其在源平面的電場強度分布函數(shù)可以表示為:

(1)

源平面上交叉譜密度函數(shù)可以表示為:

(2)

(3)

根據(jù)參考文獻[5]，可得W1(ρ1,ρ2,0)的表達式。為簡單起見，引入新的積分變量ρ=(ρ1+ρ2)/2,ρd=ρ1-ρ2，可得:W1θθ′(ρ1,ρ2,0)?W1θθ′(ρ,ρd,0)。

W1θθ′(ρ,ρd,0)=

(4)

〈W1θθ′(r,rd,z)〉=

(5)

式中,κd是空間頻域的位置矢量,H表示湍流影響。對無關變量ρ′進行積分并整合得到:

(6)

受遮擋貝塞爾-高斯光束在大氣湍流中傳輸時，其維格納分布函數(shù)可以表示為:

h(r,φ,z)=

(7)

其中,

exp(-ikrd·φ)d2rd=

exp(-ikrd·φ-iκd·r)

(8)

由于維格納分布函數(shù)的性質(zhì)及(n1+n1+m1+m2)階矩定義[10]，可得:

(9)

式中，Im表示m階修正的貝塞爾函數(shù)和。

(10)

式中，T是與空間功率譜函數(shù)相關的一個參量。同理可以求出W2(ρ1,ρ2,0),W3(ρ1,ρ2,0),W4(ρ1,ρ2,0)的參量組合。根據(jù)魏格納分布函數(shù)的二階矩理論，可以分析光束束寬〈x2+y2〉1/2和光束發(fā)散角〈φx2+φy2〉1/2的變化規(guī)律，同時可以求出非零交叉項〈xφx+yφy〉1/2，由光束束寬，光束發(fā)散角和非零交叉項，受遮擋貝塞爾-高斯光束的M2因子為[10,21]:

M2(z)=

k(〈r2〉+〈φ2〉-〈rφ〉2)1/2=

k{[〈x2+y2〉1+〈x2+y2〉2+〈x2+y2〉3+

〈x2+y2〉4]×[〈φx2+φy2〉1+〈φx2+φy2〉2+

〈φx2+φy2〉3+〈φx2+φy2〉4]-[〈xφx+yφy〉1+

〈xφx+yφy〉2+〈xφx+yφy〉3+

〈xφx+yφy〉4]2}1/2

(11)

2 數(shù)值計算

(11)式是本文中的主要解析表達式，它可以方便地研究受遮擋貝塞爾-高斯光束在大氣湍流中的質(zhì)量因子，利用MATHEMATIC軟件，相應數(shù)值計算結(jié)果見下。

圖1中給出了遮擋參量t不同時,不同拓撲荷數(shù)n所對應的歸一化M2因子的特性曲線(w0=5mm,λ=632.8nm,l0=5mm,R=6w0)。遮擋物的半徑R0=tw0，t表示遮擋物大小與貝塞爾-高斯光束光斑大小的關系。圖1反映出當遮擋參量不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著拓撲荷數(shù)的增大而減小；當拓撲荷數(shù)不變時，隨著遮擋參量的增大，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子也在增大。

Fig.1 The normalizedM2factor of Bessel-Gaussian beam with different topological charges and obstacle parameters

圖2中給出了遮擋參量不同時,不同光束腰寬對歸一化M2因子的影響特性(n=1,l0=5mm,λ=632.8nm,R=6w0,R0=tw0,Cn2=10-16m-2/3)。計算結(jié)果表明，當遮擋參量不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著腰寬的增大而減??；當腰寬不變時，隨著遮擋參量的增大，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子也在增大。

圖3中計算了選擇不同的遮擋參量和不同湍流內(nèi)標量時，歸一化M2因子的變化規(guī)律(n=1,w0=5mm,λ=632.8nm,R=6w0,R0=tw0,Cn2=10-16m-2/3)。圖3反映出當遮擋參量不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著湍流內(nèi)標量的增大而減小；當湍流內(nèi)標量不變時，隨著遮擋參量的增大，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子也在增大的規(guī)律。

Fig.2 The normalizedM2factor of Bessel-Gaussian beam with different waist widths and obstacle parameters

當改變遮擋參量和湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)時，歸一化M2因子的變化曲線見圖4(n=1,l0=5mm,w0=5mm,R=6w0,R0=tw0,λ=632.8nm)。圖4很明顯反映出當遮擋參量不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)的增大而增大；當湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)不變時，貝塞爾-高斯光束歸一化的M2因子隨著遮擋參量的增大而增大的現(xiàn)象。

Fig.3 The normalizedM2factor of Bessel-Gaussian beam with different inner scales and obstacle parameters

3 結(jié) 論

基于拓展的惠更斯-菲涅耳原理和維格納分布函數(shù)的二階矩定義，理論推導了受遮擋貝塞爾-高斯光束在湍流大氣傳輸中M2因子的解析表達式，分析了遮擋參量、傳播距離、湍流內(nèi)標量、束腰寬度和湍流結(jié)構(gòu)常數(shù)等參量對受限貝塞爾-高斯光束質(zhì)量因子的影響。數(shù)值計算和分析表明,當遮擋物的尺寸為零，即不加障礙物時，其傳輸質(zhì)量因子隨傳播距離、湍流大氣結(jié)構(gòu)常數(shù)的增大而增大，隨著腰寬、湍流內(nèi)標量、光束拓撲荷數(shù)的增大而減小，而當遮擋物尺寸不大于0.4倍的腰寬時，該光束的傳輸質(zhì)量因子也呈現(xiàn)相同的變化規(guī)律，但隨著遮擋物尺寸的增大，貝塞爾-高斯光束需要自愈合的距離更遠，在大氣湍流擾動下，其傳輸質(zhì)量因子也更大。

Fig.4 The normalizedM2factor of Bessel-Gaussian beam with different structure constants and obstacle parameters

[1] NIU H H, HAN Y P. Performance analysis of Bessel-Gaussian vortex beam propagation in atmospheric turbulence[J]. Laser Technology, 2017, 41(3): 451-455(in Chinese).

[2] ZHU Y, CHEN M Y, ZHANG Y X,etal. Propagation of the OAM mode carried by partially coherent modified Bessel-Gaussian beams in an anisotropic non-Kolmogorov marine atmosphere[J]. Journal of the Optical Society of America, 2016, A33(12): 2277-2283.

[3] ZHU K C, LI S X, TANG Y,etal. Study on the propagation parameters of Bessel-Gaussian beams carrying Optical vortices through atmospheric turbulence [J]. Journal of the Optical Society of America, 2012, A29(3): 251-257.

[4] NELSON W, PALASTRO J P, DAVIS C C. Propagation of Bessel and Airy beams through atmospheric turbulence[J]. Journal of the Optical Society of America, 2014, A 31(3): 603-609.

[5] WANG X Y, YAO M W, QIU Z L,etal. Evolution properties of Bessel-Gaussian Schell-model beams in non-Kolmogorov turbulence[J]. Optics Express, 2015, 23(10): 12508-12523.

[6] XU K T, YUAN Y H, FENG X,etal. Propagation properties of partially coherent flat-topped beam array in oceanic turbulence[J]. Laser Technology, 2015, 39(6): 877-884(in Chinese).

[7] WU Y Q, ZHANG Y X, LI Y. Beam wander of Gaussian-Schell model beams propagating through oceanic turbulence[J]. Optics Communications, 2016, 371: 59-66.

[8] DAN Y Q , ZHANG B. Second moments of partially coherent beams in atmospheric turbulence[J].Optics Letters, 2009, 34(5): 563-565.

[9] ZHAO Q, ZHONG M, Lü B D. Experimental study about laser beam wander in atmosphere[J]. Laser Technology, 2010, 34(4): 532-534(in Chinese).

[10] DAN Y Q, ZHANG B. Beam propagation factor of partially coherent flat-topped beams in a turbulent atmosphere[J]. Optics Express, 2008, 16(20): 15563-15575 .

[11] BIRCH P, ITUEN I. Long-distance Bessel beam propagation through Kolmogorov turbulence[J]. Journal of the Optical Society of America, 2015, A32(11): 2066-2073.

[12] YANG G C, HAN S C, LIU X C,etal. Scintillation and dancing of laser beam propagation in marine atmosphere[J]. Laser Technology, 1991, 15(2): 104-107(in Chinese).

[13] WU J. Propagation of a Gaussian-Schell beam through turbulent media[J]. Journal of Modern Optics, 1990, 37(4): 671-684.

[14] CHENG W, HAUS J W, ZHAN Q W. Propagation of vector vortex beams through a turbulent atmosphere [J]. Optics Express, 2009, 17(20): 17829-17836.

[15] DURNIN J, MICELI J, EBERLY J. Diffraction-free beams [J]. Physical Review Letters, 1987, 58(15): 1499-1501.

[16] QIAO C H, FENG X X, CHU X X. Propagation and self-healing ability of a Bessel-Gaussian beam modulated by Bessel gratings[J]. Optics Communications, 2016, 365: 24-28.

[17] CHU X X, WEN W. Quantitative description of the self-healing ability of a beam[J]. Optics Express, 2014, 22(6): 6899-6904.

[18] CHENG M J, GUO L X, LI J T. Propagation properties of an optical vortex carried by a Bessel-Gaussian beam in anisotropic turbulence[J]. Journal of the Optical Society of America, 2016, A33(8): 1442-1450.

[19] LI S H, WANG J. Adaptive free-space optical communications through turbulence using self-healing Bessel beams[J]. Scientific Reports, 2017(7): 43233.

[20] YUAN Y S, LEI T, LI Z H,etal. Beam wander relieved orbital angular momentum communication in turbulent atmosphere using Bessel beams[J]. Scientific Reports, 2017(7): 42276.

[21] SERNA J, MARTNEZ-HERRERO R, MEJAS P M. Parametric characterization of general partially coherent beams propagating throughABCDoptical systems[J]. Journal of the Optical Society of America, 1991, A8(8): 1094-1098.