例析數(shù)列不等式放縮技巧

王希年

浙江省杭州高級中學 (310003)

放縮法怎樣講，才會有效果呢？降低難度、放慢節(jié)奏是肯定的，講思路、講原理少不了，多次重復很重要，還必須對放縮技巧進行全面的歸納總結(jié).

根據(jù)題目特點，本文在此著重介紹與數(shù)列極限引出的放縮技巧，供大家教學時參考.

(1)求證：an>2且an+1

(2)證明：a1+a2+…+an<2(n+a-2).

分析：如果對已知等式兩邊取極限，極限是多少呢？

點評:在該數(shù)列的通項公式不能求出的情況下，通過放縮，得到不等關系的遞推式，繼而得到大比(小比)數(shù)列，運用遞推(累乘)證得該數(shù)列不等式.

分析：構(gòu)造函數(shù)求導做第一問，第二問左、右端為分式，極限為0，嘗試累加.

點評:第一問是第二問的橋梁，如果用大比數(shù)列縮小，會縮得過小.

(1)若a1=1,a505=2017，求a6的最大值；

若at=0，則1≥Sn>(n-1)·min{at-1,at+1}，當n→∞時，上式不可能恒成立，

若at<0，1≥Sn>nat恒成立，但這與“各項均為非負數(shù)”矛盾.

所以對任意n∈N*，dn=an-an+1≥0.

其中的a1+a2+…+an=1·(a1-a2)+2·(a2-a3)+…+n·(an-an+1)+nan+1為阿貝爾變換.

為了讓學生更好地掌握數(shù)列不等式放縮技巧，通過以上探究，本人所任班級學生大都能掌握數(shù)列不等式放縮技巧，有時能提供多種放縮方法，這是一件值得欣慰的事情.不等式放縮屬于函數(shù)逼近論范疇，高難技巧令人望而卻步，但每出現(xiàn)一個漂亮的不等式，都是一個視覺震撼，這是數(shù)學優(yōu)生喜歡數(shù)學的一個理由.