初中數(shù)學(xué)最值類題目的命題思維特質(zhì)探微

陳嫦

【摘 要】本文著重探討了初中數(shù)學(xué)中最值類題目的命題思維特質(zhì)。這就是命題者總要在題目中設(shè)置一個干擾項(xiàng)，讓答題者的思考偏離正確的方向。最值問題一直是教師命題的熱點(diǎn)，學(xué)生思維的弱點(diǎn)、考生解題的疑點(diǎn)、老師評析的重點(diǎn)。本人在教學(xué)一線多年，結(jié)合近幾年中考命題中所涉及到“最值”的 相關(guān)問題，談一談一些典型題目的類型，在解題審題中相關(guān)的看法，具體來講其設(shè)置干擾的策略主要有三種：其一是消解；其二是異構(gòu)；其三是摻合。

【關(guān)鍵詞】最值類題目；命題思維特質(zhì)；干擾策略

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）16-0107-03

最值問題，也就是最大值和最小值問題。有過答題實(shí)踐的人都知道，初中數(shù)學(xué)最值類題目基本上可以分為幾何型與代數(shù)型兩大類。要解答這類題目，總的方法無非是要找到答題的媒介，亦即解答題目所需要借助的相關(guān)原理或知識點(diǎn)。具體來講，解答幾何型題目經(jīng)常要用到的知識點(diǎn)有：三角形三邊和與差之關(guān)系、兩點(diǎn)之間線段最短之原理、垂線段最短的原理、在定圓所有弦中直徑最長的原理等。解答代數(shù)型題目通常被用來答題的知識點(diǎn)有：完全平方式非負(fù)數(shù)原理、反比例函數(shù)原理、根的判別式大于等于零原理、不定式中某一變量的取值區(qū)間等。

上述關(guān)于最值類問題的答題方向雖說眾所周知，但是說來容易做起來難，在實(shí)際的答題操作中真正能做到順利解答者卻不在多數(shù)。究其原因這跟最值類題目的命題思維特質(zhì)有著直接的關(guān)系。那么最值類目的命題思維方式到底有什么特性呢？先看這樣一道題目。

例1. A、B兩點(diǎn)在直線L的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P，使PA+PB最小。

【分析】這是一道典型的求解最值的題目。明眼人一看都知道這里面肯定要用到三角形邊長關(guān)系的知識來答題，但是怎么讓這一知識點(diǎn)為我所用，是解開問題的關(guān)鍵所在。要解答這道題目，只要以點(diǎn)A為基點(diǎn)，建立直線L的對稱點(diǎn)，然后根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的原理，問題便可迎刃而解（如下圖1）。但是在實(shí)際的答題操作中，要讓學(xué)生們一下子都朝這個方向去想恐怕就不是那么容易的事。為什么？因?yàn)轭}目設(shè)置了干擾項(xiàng)，它將A、B兩點(diǎn)放在直線L的同一側(cè)。這就很容易給學(xué)生以誤導(dǎo)，他們在答題探索的時候往往會朝這個方向去思考：在直線L上任取一點(diǎn)P′，去連接AP′，BP′。但這條思路是走不通的，因?yàn)樵凇鰽BP′中AP′+BP′>AB，如果AP′+BP′=AB，則P′必在線段AB上。如此，則線段AB與直線L無交點(diǎn)。許多同學(xué)往往因?yàn)闊o法突破這一層制約，故而造成答題困惑。當(dāng)然，頭腦靈活者則可以從題目中獲取解題靈感，順利找到突破口、有效利用所學(xué)的相關(guān)原理或知識點(diǎn)來解題了。

上述剖析意在說明，命題者在設(shè)置最值類題目的時候，都有其特定的思維特性：命題者總是會在題目中設(shè)置一個干擾項(xiàng)來增添題目的迷糊性，以達(dá)到使答題者無法順利應(yīng)用相關(guān)知識點(diǎn)來解題的目的。而求解者只有能夠越過這層障礙，才能夠如愿以償駕著沖破問題風(fēng)浪之輕舟，順利通達(dá)問題的彼岸。

講到這里，可能就有一個問題要被提出來了。最值類題目設(shè)置干擾項(xiàng)的方式或者說命題者的干擾策略有幾種呢？下面結(jié)合相關(guān)的例子分類闡析之。

根據(jù)本人的觀察，這類題目的干擾策略大體上來講主要有如下三種：

第一種策略我們將其命名為“消解”。所謂消解是指命題者有意讓題目中的已知條件變得非常零碎，說得直白一點(diǎn)就是刻意要讓已知條件變得“風(fēng)馬牛不相及”，從而使答題者無法快速探明其內(nèi)在聯(lián)系，以此來達(dá)到打落其答題信心之目的。請看題例：

例2、如下圖所示，在△ABC中，已知AC=2，AB=3，以BC為邊長的△BCP是正三角形，求AP的最大值與最小值。

【分析】要解答好這道題目，答題者要能沖破一層障礙，首先應(yīng)該想到將△ACP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)60°，然后答題的路徑才能走順。只要想到這一層，題目解開就顯得十分容易了。因?yàn)樵凇鰽′BP中，則有A′B=AC，A′P=AP；又∠APA′=60°，可得△AA′P是等邊三角形，于是有AP=AA′，這樣就把求AP的最大值與最小值問題轉(zhuǎn)化為求AA′的最大值與最小值問題。同時將AB=3，AC=A′B=2與所求的AA′就集中到△AA′B中（特殊情況A、A′、B三點(diǎn)在同一直線上）。如是則可用三角形兩邊之和大于第三邊與兩邊之差小于第三邊的原理來解答了。其解題過程可表述為：

∵ AB-A′B≤AA′≤AB+A′B

∴ 1≤AA′≤5

∴ 1≤AP≤5

但是要想到這一點(diǎn)不是容易的事情。雖然答題者很容易推斷，解答這道題目肯定要借助三角形三邊和與差之間關(guān)系的原理，但卻無法迅速探明題目中的已知條件如何跟這一原理掛上聯(lián)系？為何？因?yàn)槊}者在題目中提供的已知條件雞零狗碎的。答題者根本無法一下子找出其內(nèi)在關(guān)聯(lián)。這是一種常見的干擾策略。

第二種干擾策略叫異構(gòu)。所謂的異構(gòu)是指，一個問題不以常規(guī)的形式來呈現(xiàn)，而是以超常規(guī)的方式或者叫另類的方式加以呈現(xiàn)。還是來看下面的例子：

例3. 使+ 取最小值的實(shí)數(shù)x的值為_____。

【分析】在此題中，要求我們求解的是實(shí)數(shù)x的最小值。整整一道題目就一個代數(shù)式子孤零零的放在那里，大有不讓解題者產(chǎn)生丈二和尚摸不著頭腦的感嘆，就絕不善擺甘休的意味。這種局面之根源就在于命題者采用異構(gòu)的干擾策略。只有當(dāng)答題者具有睿智的眼光，看出了問題的本質(zhì)所在才有辦法答題。

目光敏銳者通過仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)，題設(shè)條件中有明顯的幾何意義。即可將、分別視為x、2和（8-x）、4為直角邊的直角三角形的斜邊，進(jìn)而構(gòu)造如圖所示的幾何圖形。

AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2，BD=4，AB=8。

則PC=，PD=。于是，問題可轉(zhuǎn)化為：在線段AB上找一點(diǎn)P，使得PC+PD最短，由“兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P、C、D共線時，PC+PD最短，亦即原式取最小值。此時有△ACP∽BDP，=，解得x=。

只有當(dāng)看出了問題的實(shí)質(zhì)，只有明白了上面所講這一點(diǎn)問題才能徹底得到解決。

第三種干擾模式叫摻和。就是題目在考查學(xué)生對最值問題的求解之時，還要同時考查學(xué)生對多個知識點(diǎn)的掌握情況，其常見的表現(xiàn)形式就是在題目中疊合了多重解題障礙。求解者要想順利破解題目中所要求解答的相關(guān)最值問題，先必須先逐一沖破相關(guān)障礙才能達(dá)到目的。下面這道題目就是這種干擾模式的典型代表：

例4. 已知：拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ。當(dāng)△CQE的面積最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

【分析】題目要求我們探尋的是，當(dāng)△CQE的面積最大時，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

點(diǎn)Q之坐標(biāo)，這個問題實(shí)際上等同于求△CQE的面積最大值了。要破開這個問號在解題過程中應(yīng)該突破三重阻力才行：首先是要求出函數(shù)的解析式；其次是要搞定三角形之間的相似關(guān)系；再次是相似三角形邊與邊之間的比例關(guān)系及邊長的計算?？梢哉f其整個答題過程所要求的思維精密度是非常高的，其完整的答題程序可表述如下：

（1）由題意，得 16a-8a+c=0c=4 解得a=-c=4

∴所求拋物線的解析式為：y=-x2+x+4

（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m ，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G。

由-x2+x+4=0，得x1=-2，x2=4

∴ B的坐標(biāo)為（-2，0），

∴ AB=6，BQ=m+2

∵ QE∥AC，

∴ △BQE～△BAC，

∴ =。

又 =，

∴ =，即=

∴ EG=，

∴ S△CQE = S△CBQ-S△EBQ

= BQ×CO-BQ×EG

= （m+2）（4-）

= -m2+m+

= -（m-1）2+3

∵ a=-<0，

∴ S△CQE有最大值。

即當(dāng)m=1時，S△CQE有最大值為3，此時Q（1，0）。

從上述答題程序來看，無論如何我們都必須承認(rèn)，這樣的題目每個學(xué)生都順利完成作答是有難度的，這種方式的干擾給學(xué)生心理上帶來的負(fù)面影響是極其巨大的。

以上介紹了最值類題目命題的思維特質(zhì)，并進(jìn)而探究了在這種命題思維模式下，常見的幾種設(shè)置干擾項(xiàng)的方法。希望通過這方面的探究，對我們的教學(xué)與學(xué)生對此類題目的解答均會有所裨益。

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（編輯：張 婕）