Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)的Hosoya指標的計算公式

任勝章, 申 鵬, 鄧方安, 李 坤, 霍小莉

(1. 陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 陜西 漢中 723000; 2. 蘭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計科學(xué)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730000)

設(shè)圖G(V,E)是簡單的連通無向圖，并且V(G)和E(G)分別是它的頂點集和邊集.對圖G的任意2條邊e1和e2，如果他們不相鄰，則稱他們是相互獨立的.一個邊集E(G)的子集M，如果他的任意2條邊都相互獨立，則稱他是圖G的一個匹配集.用m(G)表示圖G的匹配集的個數(shù)，在化學(xué)中m(G)也被稱為Hosoya指標，此指標與化學(xué)分子的許多物理和化學(xué)性質(zhì)密切相關(guān)，如：分子的熔點、沸點等.圖族多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖是將相鄰苯環(huán)被P2路點粘接得到的n個苯環(huán)系統(tǒng)的圖.稱苯環(huán)與P2路粘接的條數(shù)為苯環(huán)的環(huán)度.只有一個環(huán)度為3的多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖稱為三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖；沒有環(huán)度為3的多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖稱為多肽聚苯鏈.在三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖中除去環(huán)度為1和3的苯環(huán)之外，如果苯環(huán)被2條P2路粘接的頂點將苯環(huán)分割后的頂點集的階為0和4，稱該類三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖為Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖(參見圖1)，并用Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)圖，其中k1、k2、k3分別為3個叉上苯環(huán)的個數(shù)(n=k1+k2+k3+1,n≥4,k1≥1,k2≥1,k3≥1).本文通過對Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖的Hosoya指標進行研究，給出了該類圖族的Hosoya指標計算公式，并且刻畫出該類圖族Hosoya指標取得最值圖．在本文中沒有給出的術(shù)語，記號可參見文獻[1].

圖 1 Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖Z(k1,k2,k3)

1 基本引理

引理1.1[2]設(shè)圖G1和G2是圖G的2個分支且G=G1∪G2，則m(G)=m(G1)m(G2).

引理1.2[2]設(shè)圖G是簡單圖且任意的uv∈E(G)，則m(G)=m(G-uv)+m(G-u-v).

引理1.3[3]設(shè)和并且F(n)和L(n)分別是Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)，則：

3) F(m)L(n)=F(n+m)-(-1)mF(n-m)=F(m+n)+(-1)nF(m-n).

引理1.4[4] 設(shè)q1,q2,…,qt是遞推關(guān)系式

H(n)=a1H(n-1)+a2H(n-2)+
…+akH(n-k)

的特征方程的所有互不相等的特征根，并且它們的重數(shù)依次為e1,e2,…,et，則遞推關(guān)系對應(yīng)于qi部分的解為

Hi(n)=(c1+c2n+…+ceinei-1)qni,

而遞推關(guān)系式的一般解為

H(n)=H1(n)+H2(n)+…+Ht(n).

引理1.5[4]H(n)=a1H(n-1)+a2H(n-2)+…+akH(n-k)+τ2是非齊次遞歸關(guān)系式,其中a1,a2,…,ak,τ為常數(shù).如果f(n)是其對應(yīng)的齊次遞歸關(guān)系式H(n)=a1H(n-1)+a2H(n-2)+…+akH(n-k)的通解，那么H(n)=d1f(n)+d2τn是非齊次遞歸關(guān)系式的通解，其中d1、d2是常數(shù).

2 主要結(jié)論

沒有環(huán)度為3的多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖稱為多肽聚苯鏈.設(shè)z(n)是苯環(huán)數(shù)為n(n≥3)的Z型多肽聚苯鏈(參見文獻[5])，g(n)、w(n)、t(n)分別由Z型多肽聚苯鏈z(n)刪除最后一個苯環(huán)的若干頂點得到的圖(參見圖2、3),則下面2個引理成立.

圖 2 z(n),t(n)

圖3 g(n),w(n).

引理2.1[5]設(shè)z(n)是苯環(huán)數(shù)為n(n≥3)的Z型多肽聚苯鏈,則

引理2.2設(shè)g(n)、w(n)、t(n)是苯環(huán)數(shù)為n(n≥3)的多肽聚苯鏈,則：

1) m(g(n))=8m(z(n-1))+5m(g(n-1));

2) m(w(n))=3m(z(n-1))+m(g(n-1));

3) m(t(n))=8m(z(n-1))+3m(g(n-1)).

證明由引理1.1和1.2容易證定理結(jié)論成立.

定理2.1設(shè)g(n)、w(n)、t(n)是苯環(huán)數(shù)為n(n≥3)的多肽聚苯鏈,則：

證明結(jié)論2)和3)由引理2.1、2.2和定理2.1的1)的結(jié)論很容易證明.在這里只給出結(jié)論1)的證明，由引理1.1和1.2得到

(1)

由引理2.1，將

,

代入(1)式得到

.

(2)

根據(jù)引理1.4可知，常系數(shù)齊次遞推關(guān)系

m(g(n))-5m(g(n-1))=0

的解為5n，那么常系數(shù)非齊次遞推關(guān)系式(2)的解可設(shè)為

m(g(n))=c5n+aλn-31+bλn-32.

(3)

將(3)式代入遞推關(guān)系式(2),解得

(4)

將初始值m(g(4))=87 768，代入上式解得c=0.因此定理2.1的1)的結(jié)論成立.

定理2.2設(shè)Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Ζ型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖，則有

m(Z(k1,k2,k3))=
m(z(k2+1))m(z(k1))m(z(k3))+
m(t(k2+1))m(g(k1))m(z(k3))+
m(t(k2+1))m(z(k1))m(g(k3))+
m(w(k2+1))m(g(k1))m(g(k3)).

證明由引理1.1、1.2容易證定理結(jié)論成立.

定理2.3設(shè)Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)圖，則有

m(Z(k1,k2,k3))=λk1+k2+k3-71×
+

λk1+k2+k3-72+

(λk1+k2-51λk3-22+λk1+k3-51λk2-22+λk2+k3-51λk1-22)+

(λk1+k2-52λk3-21+λk1+k3-52λk2-21+λk2+k3-52λk1-21).

證明令將定理2.1和引理2.1的公式代入定理2.2得到

m(Z(k1,k2,k3))=(a1λk2-11+a2λk2-12)×
(a1λk1-21+a2λk1-22)(a1λk3-21+a2λk3-22)+
(d1λk2-21+d2λk2-22)(b1λk1-31+b2λk1-32)×
(a1λk3-21+a2λk3-22)+(d1λk2-21+d2λk2-22)×
(a1λk1-21+a2λk1-22)(b1λk3-31+b2λk3-32)+
(c1λk2-21+c2λk2-22)(b1λk1-31+b2λk1-32)×
(b1λk3-31+b2λk3-32)=
(a31λ21+2a1b1d1+b21c1λ-11)λk1+k2+k3-71+
(a32λ22+2a2b2d2+b22c2λ-12)λk1+k2+k3-72+
(a21a2λ21+a2b1d1+a1b2d1λ1λ-12+
b1b2c1λ-12)λk1+k2-51λk3-22+(a1a22λ22+a1b2d2+
a2b1d2λ-11λ2+b1b2c2λ-11)λk1+k2-52λk3-21+
(a21a2λ1λ2+2a1b1d2+b21c2λ-11)
λk1+k3-51λk2-22+(a1a22λ1λ2+2a2b2d1+
b22c1λ-12)λk1+k3-52λk2-21+(a21a2λ21+a1b2d1λ1λ-12+
a2b1d1+b1b2c1λ-12)λk2+k3-51λk1-22+(a1a22λ22+
a2b1d2λ-11λ2+a1b2d2+b1b2c2λ-11)λk2+k3-52λk1-21.

將a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2的值代入上面等式，并化簡得到

m(Z(k1,k2,k3))=λk1+k2+k3-71×

λ
(λk1+k2-51λk3-22+λk1+k3-51λk2-22+λk2+k3-51λk1-22)+

(λk1+k2-52λk3-21+λk1+k3-52λk2-21+λk2+k3-52λk1-21).

因此定理2.3的結(jié)論成立.

推論2.1設(shè)Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)圖，則

推論2.2設(shè)Z(k1,k2,k3)表示n(n≥4)個苯環(huán)的Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)圖，則

m(Z(k1,k2,k3))≤m(Z(1,1,n-3)).

3 結(jié)束語

在本文中，應(yīng)用特殊非齊次常系數(shù)遞推關(guān)系式的性質(zhì)計算出多肽聚苯鏈w(n)、t(n)的Hosoya指標計算公式，以定理2.1的形式給出.利用以上結(jié)果，給出了Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)的Hosoya指標的計算公式,以定理2.2和定理2.3的不同形式給出.并刻畫出Z型三叉樹多肽聚苯環(huán)系統(tǒng)的Hosoya指標取得最小值和最大值時的圖，以推論2.1和推論2.2的形式給出.

致謝陜西理工大學(xué)科研基金(SLGQD14-14和SLGKY15-37)對本文給予了資助，謹致謝意.

[1] BONDY J A, MURTY U S R. Graph Theory with Application[M]. New York:Elsevier,1976:1-20.

[2] MERRIFIELD R E, SIMMONS H E. Topological Methods in Chemistry[M]. New York:Wiley Inter Science,1989:1-15.

[3] ZHAO H X, LI X L. On the fibonacci numbers of trees[J]. Fibonacci Quarterly,2006,44(1):32-38.

[4] 南基洙. 組合數(shù)學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社,2008:108-119.

[5] 周旭冉,王力工. 聚苯鏈Hosoya的指標的計算[J]. 山西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,34(2):180-184.

[6] REN S Z, WU T Z. Hosoya index ofL-type polyphenyl spiders[J]. J Chemistry,2016,2016(9):1-5.

[7] PRODINGER H, TICHY R F. Fibonacci numbers of graphs[J]. Fibonacci Quarterly,1982,20(1):16-21.