基于模擬退火算法的快速登機(jī)序列特性研究

強(qiáng)生杰，賈 斌，黃青霞

(1.華東交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，南昌330013；2.北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京100044)

0 引言

我國民航運(yùn)輸業(yè)在快速發(fā)展的同時(shí)也面臨著嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，尤其是高速鐵路的快速發(fā)展對旅客出行結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了重大的影響.降低客機(jī)的周轉(zhuǎn)時(shí)間可提高現(xiàn)有航空資源的利用率，提升航企核心成本競爭力.登機(jī)時(shí)間是客機(jī)周轉(zhuǎn)時(shí)間中最重要的組成部分，它在短途航線中占到了總旅行時(shí)間的40%～60%[1].雖然登機(jī)耗時(shí)并非航空公司高昂成本的主要原因，但若使用高效穩(wěn)定的登機(jī)策略，航空公司和機(jī)場管理者便可降低運(yùn)營和管理成本.Nyquist等[2]經(jīng)過調(diào)查統(tǒng)計(jì)出周轉(zhuǎn)時(shí)間內(nèi)每減少1 min就會節(jié)省約30美元(保守估計(jì))的費(fèi)用，對于一個(gè)每天執(zhí)行5 000次航班的大型航空公司而言每年可節(jié)省約5 000萬美元的費(fèi)用.

現(xiàn)有登機(jī)方式的效率低下，如隨機(jī)登機(jī)或從后往前的分組登機(jī)方式(Back-to-front，BF)，這是因?yàn)樯鲜龅菣C(jī)方式無法避免以下2種干擾：一是過道干擾(Aisle Interference)，當(dāng)1位乘客到達(dá)其指定的座位后，會占據(jù)過道空間來存放自己的行李，從而阻擋了后續(xù)乘客的移動(dòng)；二是座位干擾(Seat Interference)，其發(fā)生在已經(jīng)就座在靠近過道一側(cè)的乘客阻擋了同側(cè)同一行靠窗乘客的就座，若該干擾發(fā)生，那些已經(jīng)就座的乘客就必須起身讓道而造成額外的時(shí)間延誤.

合理有序的組織乘客登機(jī)可提高航班和機(jī)場運(yùn)行效率.鑒于此，國內(nèi)外學(xué)者對航空登機(jī)問題進(jìn)行了研究.Van Landeghem等[3]在分析Belgian Airline數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立了離散的登機(jī)仿真模型并發(fā)現(xiàn)隨機(jī)登機(jī)優(yōu)于BF策略.同樣的，Mas等[4]研究了若干登機(jī)方式在3種不同機(jī)型下的效率，結(jié)果表明BF策略并不是一種高效的方法.Ferrari等[5]利用仿真模型研究了在不同登機(jī)環(huán)境下的登機(jī)時(shí)間穩(wěn)定性.Steffen[6]利用馬爾可夫—蒙特卡洛優(yōu)化算法發(fā)現(xiàn)了高效的登機(jī)策略.Notomista等[7]利用圖像識別技術(shù)來快速的檢測乘客的個(gè)人屬性并以此提出了一種座位分配算法.尚華艷等[1]首次利用雙曲線模型來計(jì)算乘客存放行李的時(shí)間.劉洋等[8]利用蒙特卡洛模擬方法發(fā)掘出一種針對中型客機(jī)的優(yōu)化策略.劉山等[9]提出了“組隊(duì)”的概念并以此設(shè)計(jì)出一種改進(jìn)的新登機(jī)模式.唐鐵橋等[10-11]首次建立了可應(yīng)用于登機(jī)模擬的乘客運(yùn)動(dòng)連續(xù)模型，并首次提出了根據(jù)乘客個(gè)體特征來安排登機(jī)順序的新方法.強(qiáng)生杰等[12]在Steffen等工作的基礎(chǔ)上提出了考慮行李分布的快速登機(jī)策略.任新惠等[13-15]總結(jié)對比了多種單通道登機(jī)策略的效率，并在仿真的基礎(chǔ)上提出了一些設(shè)計(jì)登機(jī)策略的建議.

注意到以往的研究思路是先提出一種新的登機(jī)策略，然后利用仿真模擬方法去驗(yàn)證其有效性，卻很少關(guān)注登機(jī)效率與登機(jī)乘客序列之間的關(guān)系.為了完善這部分研究的空白，本文將利用模擬退火算法求解出最小登機(jī)時(shí)間對應(yīng)的若干最優(yōu)登機(jī)序列，并通過對比分析出這些高效率登機(jī)序列中共有的特征序列，從而為實(shí)際航空登機(jī)過程提供理論指導(dǎo).

1 基于元胞自動(dòng)機(jī)的乘客登機(jī)仿真模型

為了便于問題的討論，模型的基本假設(shè)有：研究對象為短途航線使用的窄體客機(jī)；只設(shè)置1個(gè)登機(jī)口；只探討經(jīng)濟(jì)艙乘客的登機(jī)過程，其他人員包括頭等艙及需要特殊服務(wù)的乘客由于提前登機(jī)，不在本模型的考慮范圍之內(nèi)；乘客是獨(dú)立出行且同質(zhì)的，具有相同的物理屬性(如移動(dòng)速度及體型)；乘客存放行李的時(shí)間均相同；客機(jī)過道的寬度狹窄，乘客只能跟隨前進(jìn)不能越行；只研究乘客在登機(jī)前已預(yù)先分配座位號的情況，即登機(jī)牌中明確標(biāo)注了座位的位置.

1.1 客機(jī)機(jī)艙描述

圖1為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的客機(jī)經(jīng)濟(jì)艙座位布局，座位劃分為6列25行，且對稱地分布在單過道的兩側(cè).在元胞空間中，客機(jī)機(jī)艙被劃分為離散的座位及過道元胞，在登機(jī)過程中每個(gè)元胞或者是空的，或者被1位乘客占用.每個(gè)座位由唯一的坐標(biāo)(r,c)來表示，其中r∈{1,2,…,25}，c∈{A,B,C,D,E,F}，A、F代表靠窗位置，B、E代表中間位置，C、D代表過道位置.如坐標(biāo)(15,C)代表位于第15行靠過道的座位.

圖1 機(jī)艙內(nèi)部空間元胞示意圖Fig.1 Schematic illustration of airplane cabin in cellular space

1.2 乘客跟隨模型

乘客i在第t時(shí)間步的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用其位置及速度信息來刻畫，分別用xi(t)和vi(t)表示.在時(shí)間步t→t+1的過程中，模型采用如下3個(gè)規(guī)則來并行更新乘客的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：

R 1加速.每個(gè)乘客期望以最短的時(shí)間到達(dá)指定的座位，因此他們試圖以最大的速度vmax在過道里移動(dòng).

R 2減速.該規(guī)則避免了乘客與前面的乘客發(fā)生碰撞(按照模型的假設(shè)受阻擋的乘客不能越行).

式中：Gi(t)為乘客i前方的空格子數(shù)，考慮到每個(gè)乘客必須在其指定的座位處停留進(jìn)而存放行李，因此Gi(t)可定義為

式中：xhead(t)為過道中乘客i前面乘客的位置.式(3)右邊括號內(nèi)第1部分的含義為該乘客與其前面乘客之間的空元胞數(shù)；第2部分代表該乘客距離其目標(biāo)座位的元胞數(shù)，其中R(si)將乘客i的目標(biāo)座位si映射為其對應(yīng)的過道元胞位置.

R 3乘客運(yùn)動(dòng).

1.3 登機(jī)過程仿真流程

登機(jī)過程模擬的流程包括以下3個(gè)步驟.

Step 1參數(shù)設(shè)置.

設(shè)定登機(jī)人數(shù)N及乘客運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)值，需額外設(shè)置的輔助變量有已就座乘客的數(shù)目Nsit和登機(jī)時(shí)間T，初始時(shí)為Nsit=0，T=0.

Step 2登機(jī)過程.

模型采用并行規(guī)則來更新乘客的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，具體為：

(1)檢 票.

每位乘客需花費(fèi)Tcheck個(gè)時(shí)間步來接受檢票.對于檢票完畢的乘客，若機(jī)艙過道內(nèi)的第1個(gè)元胞未被占用則其可進(jìn)入客機(jī)機(jī)艙，否則滯留在檢票口處.

(2)乘客在機(jī)艙過道內(nèi)移動(dòng).

①若乘客i未到達(dá)指定的座位，則利用1.2節(jié)中介紹的乘客跟隨模型來更新其狀態(tài).若xi(t+1)=R(si)，則意味該乘客已經(jīng)到達(dá)指定座位對應(yīng)的過道元胞，其會停在該處(vi(t+1)=0)去存放行李并處理可能的座位干擾，其占用過道的時(shí)間步為

式中：tstore為乘客存放行李所需的時(shí)間步(所有乘客均相同)；為乘客i處理座位沖突的時(shí)間步，其值與座位干擾的次數(shù)Mi(如圖2所示)相關(guān)，數(shù)值為

②若乘客i已在其指定座位對應(yīng)的過道處，則檢查變量的數(shù)值.若，則該乘客仍在存放行李或處理座位沖突，其狀態(tài)保持不變，即vi(t+1)=0，xi(t+1)=xi(t)，但；若，則該乘客已經(jīng)處理完所有的行李和座位干擾并就座，其個(gè)人的登機(jī)過程結(jié)束，同時(shí)令Nsit=Nsit+1.

Step 3登機(jī)結(jié)束判斷.

統(tǒng)計(jì)已就座乘客的數(shù)目Nsit，若Nsit=N，則表示所有的乘客已就座，登機(jī)過程結(jié)束，最終的登機(jī)時(shí)間為T=t+1；若Nsit≠N，則表示尚有乘客未就座，重復(fù)執(zhí)行Step 2中的各項(xiàng)規(guī)則.

圖2 登機(jī)過程中的座位干擾次數(shù)MFig.2 Number of interfering passengersMwhen boarding

2 模擬退火算法

模擬退火(Simulated Annealing,SA)是一種基于Monte-Carlo迭代求解過程的隨機(jī)尋優(yōu)算法，Metropolis準(zhǔn)則是一種以概率收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法.其求解流程為：對每一個(gè)溫度Temp進(jìn)行迭代并利用Metropolis準(zhǔn)則對解進(jìn)行取舍，伴隨溫度參數(shù)的下降結(jié)合概率突跳特性在解空間中隨機(jī)尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解.

在登機(jī)問題中，乘客個(gè)體的每一種登機(jī)序列對應(yīng)于算法中的固體降溫狀態(tài)，而登機(jī)時(shí)間的大小為該狀態(tài)下能量的取值.基于這種假設(shè)，我們可以借助模擬退火算法求解出1個(gè)登機(jī)過程所消耗的最小登機(jī)時(shí)間，以及最小登機(jī)時(shí)間下所對應(yīng)的乘客登機(jī)序列.對于1次尋優(yōu)過程，算法實(shí)現(xiàn)的流程如圖3所示，具體為：

(1)初始化.設(shè)置系統(tǒng)初溫Temp的數(shù)值，隨機(jī)選取1個(gè)初始登機(jī)序列ω，確定外層循環(huán)結(jié)束溫度值TEPS，內(nèi)層循環(huán)的迭代次數(shù)L及溫度衰減系數(shù)φDelta.

(2)內(nèi)層循環(huán)，對K=1,2,…,L依次進(jìn)行如下的步驟.

①在禁忌約束條件下隨機(jī)互換2位乘客的位置，生成新的登機(jī)序列ω′.

② 計(jì)算登機(jī)時(shí)間的變化量ΔT=T(ω′)-T(ω)，其中T(ω)為登機(jī)序列ω對應(yīng)的登機(jī)時(shí)間，其數(shù)值可通過第2節(jié)介紹的登機(jī)仿真模型來獲取.

③若ΔT＜0，意味著新序列ω′可降低登機(jī)時(shí)間，接受其作為新的當(dāng)前解；否則以一定的概率exp(-ΔT/Temp)接受ω′作為新的當(dāng)前解.

④如果滿足終止條件，則輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)解，結(jié)束內(nèi)層循環(huán).

(3)外層循環(huán)，若Temp＜TEPS，則輸出最優(yōu)登機(jī)序列，結(jié)束外層循環(huán)，尋優(yōu)過程結(jié)束；否則，令Temp=Temp?φDelta，轉(zhuǎn)第(2)步，繼續(xù)尋找在溫度Temp下的最優(yōu)解.

為加快求解速度，避免產(chǎn)生無效的登機(jī)序列 而增加時(shí)間開銷，算法需設(shè)置禁忌約束條件：由于座位布局的對稱性，交換2個(gè)在同排且座位均為靠過道的乘客位置不會產(chǎn)生新解，因而在生成新解的過程中上述交換是被禁止的.

3 模擬計(jì)算與結(jié)果分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

模擬退火算法中的參數(shù)設(shè)置為：初始溫度Temp=2 000，終止溫度TEPS=1.0×10-8，內(nèi)層循環(huán)迭代步數(shù)L=2 000，溫度衰減系數(shù)φDelta=0.99.登機(jī)模型中乘客的速度均被整數(shù)化，乘客的最大速度為vmax=1(元胞/時(shí)間步).Van Landeghem等[3]采用三角形分布來描述乘客在機(jī)艙內(nèi)通過1行座位的時(shí)間，其下限是1.8 s，眾數(shù)為2.4 s，上限是3 s.與上述研究保持一致，此處我們設(shè)定乘客通過1行座位(格子)的時(shí)間為2.4 s.乘客在登機(jī)口以一定的時(shí)間間隔接收檢票，人均檢票時(shí)間Tcheck=2個(gè)時(shí)間步.注意本文結(jié)果均以仿真時(shí)間步為標(biāo)準(zhǔn)，若轉(zhuǎn)化為實(shí)際的登機(jī)時(shí)間，則需要乘以2.4 s.

3.2 過道及座位干擾對登機(jī)時(shí)間的影響

圖4顯示了在2種存放行李時(shí)間tstore=0和tstore=5下，利用模擬退火算法來尋找最小登機(jī)時(shí)間的過程，同時(shí)也統(tǒng)計(jì)了人均座位干擾次數(shù)隨登機(jī)序列變化的過程.結(jié)果表明，乘客登機(jī)時(shí)間隨著系統(tǒng)溫度的降低逐漸減少，并最終趨于一個(gè)較為穩(wěn)定的數(shù)值.對比圖4中的2種情況，可以發(fā)現(xiàn)即便乘客處理行李的時(shí)間為零，如圖4(a)所示，在登機(jī)時(shí)間穩(wěn)定在局部最小值的時(shí)候人均座位干擾次數(shù)仍處于無規(guī)律的波動(dòng)狀態(tài).同樣的，若乘客需要一定的時(shí)間去存放行李，如圖4(b)所示，雖然會使得最小登機(jī)時(shí)間較無行李存放的情況有所增加，但人均座位干擾分布同樣呈現(xiàn)出無規(guī)律性的波動(dòng)性.

圖4 最小登機(jī)時(shí)間尋優(yōu)過程Fig.4 Process of searching the minimum boarding time

減少乘客座位沖突的次數(shù)會減少乘客額外的過道占用時(shí)間，從而會降低座位通道處局部擁堵發(fā)生的概率.但上述數(shù)值結(jié)果表明，人均座位干擾次數(shù)不會隨著登機(jī)時(shí)間的減少而逐步降為零.這意味著減少座位干擾次數(shù)對減少登機(jī)時(shí)間的貢獻(xiàn)并不是最主要的，通過合理調(diào)整乘客間的序列關(guān)系，即便發(fā)生了局部的座位干擾，只要其不會演變?yōu)閷^道中后續(xù)乘客的過道干擾，那么其也不會影響到總登機(jī)時(shí)間.

為了進(jìn)一步說明導(dǎo)致登機(jī)延誤中座位干擾及過道干擾的影響程度，在相同的模擬及優(yōu)化參數(shù)設(shè)置下，圖5分布繪制了2種行李存放時(shí)間下最小座位沖突次數(shù)的尋優(yōu)過程.可以發(fā)現(xiàn)，隨著溫度數(shù)值的降低，座位干擾次數(shù)也隨之降低并最終達(dá)到最小值零，意味著該登機(jī)序列下的乘客座位干擾次數(shù)完全消失，但其對應(yīng)的登機(jī)時(shí)間并未達(dá)到圖4對應(yīng)情況下的最小值，并且時(shí)間波動(dòng)性也非常大.數(shù)值結(jié)果再次證明登機(jī)過程中即便完全消除了座位干擾數(shù)，也不一定會得到最小的登機(jī)時(shí)間.這也從一個(gè)方面說明過道干擾才是引起登機(jī)時(shí)間延誤的主要因素，而座位干擾的影響是次要的.

圖5 最小座位干擾次數(shù)尋優(yōu)過程Fig.5 Process of searching the minimum number of seat interference

3.3 快速登機(jī)序列特征

為方便發(fā)掘快速登機(jī)序列中的序列共性，在此引入變量dis(k)，其定義為第k個(gè)進(jìn)入機(jī)艙乘客的座位與基準(zhǔn)座位(1,A)之間的距離(使用座位數(shù)來表征).在圖6劃分的坐標(biāo)中，若第k∈[1,150]個(gè)進(jìn)入的乘客的目標(biāo)座位為(rk,ck)，則

圖6 客機(jī)座位布局平面坐標(biāo)系Fig.6 Coordinates of airplane seat layout

在此基礎(chǔ)上可進(jìn)一步定義第k個(gè)進(jìn)入的乘客與其前面的第k-1個(gè)乘客的座位距離差ΔD(k).

例如，圖6中第5個(gè)進(jìn)入的乘客的dis(5)=27，第6個(gè)進(jìn)入的乘客的dis(6)=137.則ΔD(6)=特別的，第1個(gè)進(jìn)入機(jī)艙乘客的ΔD(1)=0.

圖7統(tǒng)計(jì)了1 000次經(jīng)過模擬退火算法求得的在4種不同的行李存放時(shí)間下最優(yōu)序列中乘客ΔD數(shù)值的分布.結(jié)果表明：

(1)如圖7(a)所示，若乘客均不攜帶行李，即tstore=0，那么就無需組織乘客的登機(jī)序列，因其相鄰乘客間的座位間距分布情況與隨機(jī)登機(jī)過程的分布大致相似.

(2)隨著乘客存放行李的時(shí)間增多，如圖7(b)～圖7(d)所示，出現(xiàn)1個(gè)明顯的峰值，且峰值大約位于第7個(gè)座位的距離處，這個(gè)數(shù)值恰好是1位乘客在處理行李時(shí)占據(jù)1個(gè)過道元胞所跨越的最小座位間隔數(shù).

(3)此外，分布峰值的高度會隨著時(shí)間tstore的增大而增大，同時(shí)其他的座位距離的分布更加集中，這意味著若乘客占據(jù)較長的過道時(shí)間，那么相鄰乘客之間座位距離就應(yīng)向峰值位置處靠近.

3.4 啟 發(fā)

首先，座位干擾和過道干擾對登機(jī)時(shí)間的影響是不同的，在策略設(shè)計(jì)中要重點(diǎn)考慮過道干擾，同時(shí)要避免發(fā)生座位干擾轉(zhuǎn)化為過道干擾的情況.導(dǎo)致乘客長時(shí)間停留在過道中的原因是其需要花費(fèi)時(shí)間去存放行李，當(dāng)乘客攜帶行李較多時(shí)，這個(gè)延誤效果非常明顯.這就需要在設(shè)計(jì)登機(jī)策略的時(shí)候考慮乘客行李在機(jī)艙行李架中的分布或者對乘客登機(jī)時(shí)所攜帶行李的數(shù)量及尺寸進(jìn)行嚴(yán)格的控制.例如，強(qiáng)生杰等[12]提出了考慮行李分布的快速登機(jī)策略，具體為：同一個(gè)分組內(nèi)中的乘客按照座位從后往前的順序登機(jī)，且攜帶行李較多的旅客率先登機(jī).上述策略大大降低了乘客攜帶行李數(shù)目對登機(jī)過程的影響，具有較高的登機(jī)效率及時(shí)間穩(wěn)定性.

其次，需要合理的設(shè)置登機(jī)序列中兩個(gè)相鄰進(jìn)入乘客間的座位.例如，Steffen[6]假設(shè)每個(gè)人需占據(jù)2個(gè)座位的長度，其小組內(nèi)相鄰乘客間的座位距離均為ΔD=12.但實(shí)際上乘客只需占據(jù)1個(gè)座位長度的過道空間就可完成存放行李等活動(dòng)，因而本模型中只假設(shè)每位乘客占據(jù)1個(gè)過道元胞.此時(shí)可考慮如下的優(yōu)化策略：乘客按列編號被劃分為6個(gè)分組，每個(gè)小組內(nèi)包含25位乘客，每個(gè)小組內(nèi)的乘客依照座位的編號從機(jī)艙的后部往前就座.這樣每個(gè)小組內(nèi)的相鄰乘客間的座位距離均為ΔD=6.上述策略避免了分組內(nèi)乘客間的過道干擾，且多人同時(shí)處理行李可大幅提高過道的利用率.

圖7 最優(yōu)解序列中乘客座位間隔分布圖Fig.7 Seating distance distribution in the optimized sequence

此外，也可考慮采用動(dòng)態(tài)的座位分配算法，即乘客在檢票的同時(shí)會自動(dòng)的分配座位，其核心的算法需考慮相鄰進(jìn)入乘客的座位間隔，使其盡可能的不產(chǎn)生相互干擾.一般的快速登機(jī)策略均需在檢票口設(shè)置預(yù)登機(jī)排隊(duì)區(qū)域，這就額外增加了機(jī)場管理者的組織負(fù)擔(dān)，而自動(dòng)分配座位策略則避免了工作人員的負(fù)擔(dān)同時(shí)實(shí)現(xiàn)快速登機(jī).

4 結(jié)論

本文利用模擬退火算法來挖掘最小登機(jī)時(shí)間對應(yīng)的登機(jī)序列的序列特性，結(jié)果表明：當(dāng)人均存放行李時(shí)間增大時(shí)，相鄰登機(jī)的乘客應(yīng)盡可能隔行就座.這樣的好處是減少了過道干擾次數(shù)，同時(shí)允許若干乘客互不干擾(并行)的存放行李會進(jìn)一步縮短登機(jī)時(shí)間.注意到，本文中每位乘客存放行李的時(shí)間是相同的，實(shí)際上乘客攜帶行李的數(shù)目是不同的，行李架中可存放行李的空間也是動(dòng)態(tài)變化的.這導(dǎo)致行李存放時(shí)間不僅與自身攜帶行李的數(shù)目相關(guān)也與登機(jī)序列相關(guān)，此時(shí)最優(yōu)序列中的序列特征有待進(jìn)一步研究.

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