基于λ-強截集的廣義模糊時間序列預(yù)測模型

田宗浩，顧國華，王 鵬，王常青

（陸軍軍官學(xué)院，合肥 230031）

0 引言

1993年，Song和Chissom[1-3]首次提出了基于模糊集理論的時間序列預(yù)測模型，即模糊時間序列（Fuzzy Time Series,FTS）。為了提升FTS模型的預(yù)測精度，研究者們經(jīng)過二十多年對FTS的不斷探索，一些新的算法和思想逐漸應(yīng)用到模型中[4-6]，其相應(yīng)的理論和應(yīng)用不斷完善。在FTS模型的預(yù)測過程中，不同因素對預(yù)測結(jié)果的影響不一樣，為此引入權(quán)重因子對模型進行改進[7-9]。2005年，Yu[10]提出利用模糊邏輯關(guān)系矩陣中模糊邏輯關(guān)系出現(xiàn)的頻率建立權(quán)重模型；2006年Cheng[11，12]引入趨勢權(quán)重的概念建立模糊時間序列模型對臺灣股指進行預(yù)測，并取得較好的預(yù)測效果；2012年邱望仁[13]指出傳統(tǒng)加權(quán)模型計算出觀測值對每個模糊集的隸屬度后，僅考慮了最大隸屬度所對應(yīng)的模糊狀態(tài)，并沒有充分利用觀測樣本隸屬于各個模糊狀態(tài)的隸屬度，這樣的處理方式顯然會丟失掉一些有用的信息。為此，文獻[13]依據(jù)樣本數(shù)據(jù)對每個模糊子集的隸屬度，設(shè)定要考慮的隸屬度個數(shù)，對Chen和Lee加權(quán)模型進行改進，進一步提高了模型的預(yù)測精度。

邱望仁[13]首次提出了廣義模糊時間序列模型的概念，并給出了廣義模糊時間序列模型的定義。不同之處在于，廣義模型不僅充分考慮觀測樣本隸屬于各個模糊集的隸屬度，而且還以此建立了不同層次的模糊邏輯關(guān)系，并把要考慮的隸屬度值作為預(yù)測值模型的權(quán)重，很大程度上提高了模型的可解釋性和預(yù)測精度。2016年王慶林[14]建立了基于GA算法的廣義模糊時間序列預(yù)測模型，并且對旅游需求進行了預(yù)測，預(yù)測結(jié)果顯著提高。通過分析發(fā)現(xiàn)，文獻[13]和文獻[14]中要考慮隸屬度的個數(shù)是人為主觀確定的，當(dāng)考慮的隸屬度個數(shù)一定時，如果樣本數(shù)據(jù)對模糊集的隸屬度太小，那么它們的引入不僅會增加模型的復(fù)雜度，而且會降低預(yù)測精度。為此，本文結(jié)合模糊集理論中λ-強截集[15，16]的性質(zhì)，依據(jù)觀測值對模糊集的隸屬度大小來確定要考慮的隸屬度個數(shù)，改進文獻[13]和文獻[14]提出的廣義模糊時間序列模型，并通過Alabama大學(xué)22年的入學(xué)人數(shù)對改進的模型進行驗證分析。

1 基本概念

定義1[15]：假設(shè)X為一個普通的非空集合，其模糊子集A定義為A={(x，μA(x))|x∈X} ，其中μA(x)表示x對A的隸屬度，μA(x)∈[0，1]，映射A(·)或者μA(·)|X→[0，1]，x?μA(x)稱為模糊集A的隸屬函數(shù)。

定義2[16]：假設(shè)U(X)為X上模糊集合的全體，則A∈U(X)，對?λ∈[0，1]，記(A)λ=Aλ={x|μA(x)≥λ}為A的λ截集，Aλˉ={x|μA(x)＞λ}為A的λ強截集，稱λ為閾值或者置信水平。

定義3[13]：實數(shù)集R的一個子集Y(t)，(t=1，2，…)表示論域，在論域Y(t)上定義n個模糊集Ai(i=1，2，…，n)，fAi(t)是定義在模糊集Ai上的隸屬函數(shù)，F(xiàn)(t)是fAi(t)的集合，則F(t)就定義為論域Y(t)上的一個模糊時間序列。

定義4[13]：假設(shè)狀態(tài)F(t+1)由F(t)轉(zhuǎn)移得到，則F(t+1)的一階模型可以表示為F(t+1)=F(t)?R(t，t+1)，其中R(t，t+1)表示模糊邏輯關(guān)系矩陣，模糊邏輯關(guān)系矩陣的建立可以參考文獻[10-13]。

定義 5[14]：設(shè)是時間序列Y(t)上t時刻的觀測值xt對應(yīng)的模糊狀態(tài)，F(xiàn)(t+1)=是時間序列Y(t)上t+1時刻的觀測值xt+1對應(yīng)的模糊狀態(tài)，fAi(xt)和fAj(xt+1)分別為觀測值xt和xt+1對模糊集Ai和Aj的隸屬度，則F(t+1)和F(t)之間的模糊關(guān)系可以表示為稱之為廣義的模糊邏輯關(guān)系，其中和分別稱為廣義模糊邏輯關(guān)系的前件和后件。

2 基于λ強截集的廣義模糊邏輯關(guān)系

傳統(tǒng)FTS預(yù)測模型在利用t時刻的樣本數(shù)據(jù)對下一時刻的值進行預(yù)測時，僅僅利用了t時刻的樣本數(shù)據(jù)對各個模糊集隸屬度中最大的模糊狀態(tài)，而將其他隸屬度所對應(yīng)的模糊狀態(tài)忽略掉，這樣的處理方式顯然會丟失掉一些有用的信息。而文獻[13]和文獻[14]建立的廣義模糊時間序列模型中，模糊邏輯關(guān)系依據(jù)要考慮的隸屬度個數(shù)而定。通過對文獻[13]和文獻[14]中廣義模糊邏輯關(guān)系的分析，要考慮隸屬度的個數(shù)K由人為主觀的確定，對于這樣的廣義模糊關(guān)系而言，當(dāng)K=1時，廣義的模糊時間序列就退化成只考慮最大隸屬度的模糊時間序列；當(dāng)K的值過大時，不僅會增加模型的計算復(fù)雜度，而且也會引入一些多余的信息，反而得不到理想的預(yù)測結(jié)果。雖然邱望仁和王慶林也為模型做了相應(yīng)的簡化處理，只考慮了模糊邏輯關(guān)系FLR( )

l，1，1≤l≤K，即t時刻第l位隸屬度對應(yīng)的模糊狀態(tài)與t+1時刻最大隸屬度對應(yīng)模糊狀態(tài)之間的關(guān)系，但是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)第l位的隸屬度很小時，其對應(yīng)的模糊狀態(tài)對下一時刻的影響也會微乎其微，過多考慮反而會增加模型的復(fù)雜度、降低預(yù)測精度。為此，本文結(jié)合模糊集理論中λ強截集的性質(zhì)，通過設(shè)定合理的閾值λ，篩選出對預(yù)測結(jié)果影響比較大的模糊狀態(tài)，增強了廣義模型的可解釋性。

首先設(shè)定一個合理的閾值λ，假設(shè)t時刻的樣本數(shù)據(jù)對每個模糊集的隸屬度為 (fA1(xt)，fA2(xt)，…，fAn(xt))，依據(jù)公式（1）以及定義2強截集的性質(zhì)對其進行預(yù)處理，確定要考慮的模糊狀態(tài)：

由此得到t時刻要考慮的模糊狀態(tài)個數(shù)Kt以及相應(yīng)模糊狀態(tài)對應(yīng)的隸屬度，將其按從大到小的順序排列為，其中是排在l位的隸屬度，其對應(yīng)的模糊狀態(tài)為Ati，由此得到t時刻需要考慮的模糊狀態(tài)；同理，t+1時刻要考慮模糊狀態(tài)的個數(shù)為Kt+1，其中是排在k位的隸屬度，其對應(yīng)的模糊狀態(tài)為則將稱為t時刻到t+1時刻第l層模糊狀態(tài)與第k層模糊狀態(tài)之間的模糊邏輯關(guān)系，記為FLR(l，k)，其中1≤l≤Kt，1≤k≤Kt+1，則這樣的廣義模糊邏輯關(guān)系組包含Kt×Kt+1個普通的模糊邏輯關(guān)系。

3 基于λ強截集的廣義模糊時間序列模型

為了增強廣義模糊時間序列模型的可解釋性和提高模型的預(yù)測精度，本文以Chen和Lee模型的基本框架為基礎(chǔ)，利用λ強截集的性質(zhì)以及廣義模糊邏輯關(guān)系的相關(guān)運算，合理地選取要考慮的模糊狀態(tài)，建立基于λ強截集的廣義模糊時間序列模型。

第一步：論域劃分及數(shù)據(jù)模糊化。

采用傳統(tǒng)模型等分論域劃分方法對樣本數(shù)據(jù)進行劃分，以便簡化本文建立模型的計算復(fù)雜度以及滿足下文對比分析的需要。假設(shè)U=[xmin-δ1，xmax+δ2] ，將論域U劃分成n個模糊子集U=(u1，u2，…，un)，其中，d1=xmin-δ1，xmin和xmax分別為觀測樣本數(shù)據(jù)中的最小值和最大值，δ1和δ2分別為兩個合適的正數(shù)。

用式（2）計算觀測樣本數(shù)據(jù)對每個模糊子集的隸屬度，從而確定樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的模糊概念。

其中，x(t)為t時刻的觀測樣本數(shù)據(jù)，mi為第i個模糊子區(qū)間的中間值，l為等分論域區(qū)間間隔長度。

第二步：確定要考慮的隸屬度個數(shù)，并做歸一化處理。

針對第一步中數(shù)據(jù)模糊化的結(jié)果，計算得到樣本數(shù)據(jù)對每個模糊子集的隸屬度向量(fA1(x(t))，fA2(x(t))，…，fAn(x(t)))，設(shè)定合理的閾值λ，依據(jù)公式（1）確定t時刻要考慮的隸屬度個數(shù)Kt以及其對應(yīng)的模糊概念，引入公式（3）對預(yù)處理后的隸屬度向量標(biāo)準(zhǔn)化，為預(yù)測確定權(quán)重：

其中，n為劃分模糊概念個數(shù)，x(t)為t時刻觀測樣本數(shù)據(jù)。

第三步：依據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的先后建立模糊邏輯關(guān)系及關(guān)系矩陣。

這一步是本方法的關(guān)鍵所在，根據(jù)第二步可以分別確定出t時刻要考慮的隸屬度個數(shù)Kt以及其對應(yīng)的模糊概念A(yù)it；同理可以得出t+1時刻需要考慮的隸屬度個數(shù)Kt+1和對應(yīng)的模糊概念，由此可以得到t和t+1時刻之間Kt×Kt+1個模糊邏輯關(guān)系。根據(jù)各個時刻所確定的隸屬度個數(shù)Kt，t=1，2，…，利用公式（4）確定需要建立模糊邏輯關(guān)系矩陣的個數(shù)K：

為了簡化模型的計算復(fù)雜度，本文只考慮模糊邏輯關(guān)系FLR(k，1)，1≤k≤Kt，即，假設(shè)(x(t))和(x(t+1) )分別為t和t+1時刻觀測值x(t)和x(t+1)對模糊子集的隸屬度向量中第k大的隸屬度和第一大隸屬度值，其對應(yīng)的模糊子集分別為和，則為對應(yīng)的第k層模糊邏輯關(guān)系，按照時間先后順序建立第k層模糊邏輯關(guān)系集合。依據(jù)得到的模糊邏輯關(guān)系集合，可以得到K個模糊邏輯關(guān)系矩陣Rk，1≤k≤K，相應(yīng)的關(guān)系矩陣建立方法和Chen、Lee模型相同。

第四步：建立預(yù)測模型。

依據(jù)t時刻要考慮的最大隸屬度的個數(shù)Kt以及第k大隸屬度對應(yīng)的模糊狀態(tài)Ai，并利用第三步建立的關(guān)系矩陣Rk，依次得到第k個最大隸屬度對應(yīng)的預(yù)測值Fvalk(t+1)：

這樣就可以得到Kt個預(yù)測值，利用公式（3）歸一化后的隸屬度向量作為第k個最大隸屬度對應(yīng)的預(yù)測值Fvalk(t+1)的權(quán)重值，為此可以得到t+1時刻的預(yù)測值為：

第五步：預(yù)測效果評估。

為了評價本文建立的λ強截集的廣義FTS模型的優(yōu)劣，通常采用誤差形式來分析預(yù)測結(jié)果。但是單一的誤差分析形式可能由于誤差算法自身所存在的缺陷導(dǎo)致評價結(jié)果不可靠或者不正確，為此，本文采用均方誤差MSE和泰爾不等系數(shù)TIC來衡量模型的預(yù)測精度[17]。

其中，x(t)為樣本數(shù)據(jù)，F(xiàn)val(t)為其對應(yīng)的預(yù)測值。

4 實例驗證

利用Alabama大學(xué)22年的入學(xué)人數(shù)為實驗數(shù)據(jù)對本文模型的可行性進行驗證（數(shù)據(jù)來源于文獻[13]）。首先設(shè)置合理的閾值λ，然后利用文中廣義模糊邏輯關(guān)系建立的方法得到廣義模糊邏輯關(guān)系矩陣，最后將本文提出的方法與傳統(tǒng)的加權(quán)模型和廣義模型的預(yù)測結(jié)果進行對比分析，評價本文所建立模型的優(yōu)劣。

為了對比分析的需要，依舊采用Song提出的7等分論域劃分方法，對應(yīng)的語義解釋為：“極少”、“很少”、“少”、“正?！?、“多”、“很多”和“較多”，利用式（2）對觀測樣本數(shù)據(jù)模糊化，各個樣本隸屬于每個模糊子集的隸屬度見表1。

表1 樣本數(shù)據(jù)模糊化隸屬度

設(shè)定合理的閾值λ，依據(jù)表1實驗數(shù)據(jù)對每個模糊子集的隸屬度獲得每個時刻需要考慮的模糊狀態(tài)。為了簡化計算過程和說明問題的方便，本文考慮λ分別為0，0.35，0.5，0.7四種情況下各個時刻對應(yīng)的模糊狀態(tài)并且按照隸屬度大小排列（見表2）：

表2 λ分別為0，0.35，0.5，0.7時各個時刻需要考慮的模糊狀態(tài)

以λ=0.35為例，可以確定需要建立3層模糊關(guān)系，依據(jù)上文建立廣義的模糊邏輯關(guān)系的步驟可得：

（1）第1層模糊關(guān)系

（2）第2層模糊關(guān)系

（3）第3層模糊關(guān)系

依據(jù)上述模糊關(guān)系，分別應(yīng)用Chen和Lee兩種模糊邏輯關(guān)系矩陣的建立方法，得到本文建立廣義模型的模糊關(guān)系矩陣為：

（1）Chen模糊關(guān)系矩陣

（2）Lee模糊關(guān)系矩陣

結(jié)合樣本數(shù)據(jù)隸屬于各個模糊子集的隸屬度（表1）以及設(shè)置的閾值λ，利用式（1）和式（4）對隸屬度表進行預(yù)處理和歸一化，并將歸一化后樣本數(shù)據(jù)的隸屬度向量作為預(yù)測值的權(quán)重。參照Chen和Lee建立模型的預(yù)測規(guī)則，分別求出t時刻第k大隸屬度對應(yīng)模糊子集對下一時刻的預(yù)測值Fvalk(t+1)，然后采用式（7）求解出模型的最終預(yù)測結(jié)果。下面以Chen建立的模型為例求解預(yù)測值，例如：λ=0.35，1972年的觀測樣本數(shù)據(jù)對各個模糊子集的隸屬度向量為 (0.9685，0.5315，0.0315，0，0，0，0)，觀測值對應(yīng)的模糊集為A1和A2，歸一化后的隸屬度向量為(0.6457，0.3543，0，0，0，0，0)，最大隸屬度對應(yīng)的模糊子集為A1，其預(yù)測主要用到的模糊關(guān)系對應(yīng)于RC(1)的第一行，此時的預(yù)測值Fval1(1973)為14000；次大隸屬度對應(yīng)的模糊子集為A2，用到的主要模糊關(guān)系為RC(2)的第二行，此時的預(yù)測值Fval2(1973)為14500，則1973年的最終預(yù)測值為0.6457×14000+0.3543×14500=14177。類似的可以得到其他各年的預(yù)測結(jié)果，Lee模型的預(yù)測過程也與此類似，表3為邱望仁提出的加權(quán)模型和廣義模糊時間序列模型與本文λ=0.35時廣義模糊時間序列模型分別在Chen和Lee加權(quán)模型上應(yīng)用的預(yù)測結(jié)果，最后兩行分別為對應(yīng)模型的均方誤差和泰爾不等系數(shù)；表4為改進模型在考慮不同λ時的預(yù)測精度變化情況。

表3 λ=0.35時廣義模型與其他模型的預(yù)測結(jié)果

表4 λ=0，0.35，0.5，0.7情況下預(yù)測精度表

由表3可以分析出本文建立的基于λ截集的廣義模糊時間序列模型在λ=0.35時得到的結(jié)果的均方誤差和泰爾不等系數(shù)都比對應(yīng)的文獻[13]中的加權(quán)模型和廣義模糊時間序列模型要低，這說明了本文改進模型的可行性和可靠性；表4列出了本文改進模型在考慮不同λ時的預(yù)測精度變化情況，當(dāng)λ取值很小時，廣義模型考慮的隸屬度個數(shù)會很多，但是有用的信息一般是有限的，過多的信息反而降低模型的預(yù)測精度；當(dāng)λ取值很大時，考慮的隸屬度個數(shù)會減少，為此會丟失掉一些有用的信息，模型的預(yù)測精度依舊不會很高。因此，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的分布結(jié)構(gòu)特征和實際應(yīng)用的意義，合理地選取閾值λ的值對模型的預(yù)測精度至關(guān)重要。

5 結(jié)束語

本文通過分析傳統(tǒng)的加權(quán)以及廣義模糊時間序列模型的建模過程，指出傳統(tǒng)模型對隸屬度的處理以及模糊邏輯關(guān)系矩陣的建立存在缺陷，為此本文重新定義所要考慮隸屬度對應(yīng)的模糊關(guān)系和預(yù)測所需的模糊邏輯關(guān)系矩陣，建立基于λ強截集的廣義模糊時間序列模型。利用均方誤差MSE和泰爾不等系數(shù)TIC對比分析本文提出模型和傳統(tǒng)加權(quán)模型和廣義模型的預(yù)測精度以及不同λ取值情況下模型預(yù)測精度的變化情況，驗證了本文建立模型的可行性和有效性。但是本文建立的模型僅僅考慮了等間隔論域劃分情況，不能充分考慮數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，為此，在非等間隔論域劃分情況下本文模型的效用依舊值得深入探究，另外，閾值λ的選取也是未來研究的重點。

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