基于經(jīng)驗(yàn)似然貝葉斯計(jì)算的穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)

錢 瑾，錢夕元

（1.攜程旅游網(wǎng)絡(luò)技術(shù)有限公司；2.華東理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200237）

0 引言

金融數(shù)據(jù)分布不僅僅呈現(xiàn)簡(jiǎn)單的正態(tài)分布，大多具有“高峰厚尾”的特征，這是由于金融分布出現(xiàn)異常值的可能性更大，而單純刪除這些異常值是不科學(xué)的，會(huì)恰恰刪除了數(shù)據(jù)中可以反映金融風(fēng)險(xiǎn)的部分。穩(wěn)定分布當(dāng)參數(shù)α＜2時(shí)方差無限，可以擬合方差較大甚至無限的數(shù)據(jù)，恰好符合金融數(shù)據(jù)的“高峰厚尾”特征。穩(wěn)定分布已經(jīng)被證明對(duì)于金融數(shù)據(jù)具有良好的擬合性：1960年穩(wěn)定帕累托分布被Mandelbrot[1]用于擬合金融市場(chǎng)收益率截尾數(shù)據(jù)，且被證明較正態(tài)分布可以更好地?cái)M合波動(dòng)價(jià)格分布。Mantegna和Stanley（1995）[2]提出，方差無限的穩(wěn)定列維分布可以擬合紐約股票交易所S＆P500指數(shù)高頻數(shù)據(jù)的收益分布，且這些數(shù)據(jù)是尾部為近似指數(shù)下降的，并且位于中心（數(shù)據(jù)均值）6個(gè)方差范圍內(nèi)。

穩(wěn)定分布又被稱為列維穩(wěn)定分布（Lévyalpha-stable distribution），它由列維于1920年提出，是一類沒有顯式密度函數(shù)表達(dá)式的連續(xù)概率分布。常見的一些分布如正態(tài)分布、柯西分布均是它的特例。廣義中心極限定理指出，若大量標(biāo)準(zhǔn)化后的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和的極限分布存在，則為穩(wěn)定分布族中的一種，即穩(wěn)定分布是唯一吸引場(chǎng)的分布。穩(wěn)定分布的這一特殊性使得它被應(yīng)用在各類實(shí)證分析中。穩(wěn)定分布的特征函數(shù)有4個(gè)參數(shù)，可以刻畫不同尾端厚薄、偏度、峰度特征的分布，具有較強(qiáng)的靈活性。但是穩(wěn)定分布沒有顯式表達(dá)式，其分布參數(shù)估計(jì)存在一定困難。早期一些穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)方法包括：Du-Mouchel提出的極大似然法[3]、Nolan的直接積分法極大似然[4]、Zolotarev的特征變換法[5]以及McCulloch的分位數(shù)法[6]?？蛇@些方法通常具有較大的局限性。顧娟和茆詩松[7]類似模擬矩法(SMM)的思想，提出并驗(yàn)證了一種可以得到強(qiáng)相合結(jié)果的參數(shù)估計(jì)方法。武東和湯銀才[8]詳細(xì)介紹了穩(wěn)定分布的一些性質(zhì)，并證明了穩(wěn)定分布在金融風(fēng)險(xiǎn)度量中應(yīng)用的有效性。Peters[9]利用近似貝葉斯計(jì)算（Approximate Bayesian Computation，ABC）給出一元及多元穩(wěn)定分布的參數(shù)估計(jì)方法。

本文采用基于經(jīng)驗(yàn)似然的貝葉斯計(jì)算（Bayesian Computation with empiricallikelihood，BCel）[10]對(duì)穩(wěn)定分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)：不僅通過模擬數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法的有效性，還對(duì)2004年1月至2014年12月上證指數(shù)對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)對(duì)比正態(tài)分布進(jìn)行實(shí)例研究，并利用穩(wěn)定化的PP圖方法進(jìn)行擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)。同時(shí)，參考Pradhan[11]中基于Gibbs抽樣的貝葉斯預(yù)測(cè)的思路，本文提出基于經(jīng)驗(yàn)似然的貝葉斯預(yù)測(cè)，并利用該方法預(yù)測(cè)2015年1月至2016年8月上證指數(shù)收益率特征分布情況。

1 穩(wěn)定分布及基于經(jīng)驗(yàn)似然的貝葉斯計(jì)算

穩(wěn)定分布的定義分統(tǒng)計(jì)定義與參數(shù)定義兩種，穩(wěn)定分布的參數(shù)定義是指穩(wěn)定分布特征函數(shù)的參數(shù)表示，具體如下：

穩(wěn)定分布一般需要四個(gè)參數(shù)α，β，γ，δ來描述。α是特征參數(shù)，也稱穩(wěn)定化指數(shù)，是4個(gè)參數(shù)中最重要的參數(shù)，它可以刻畫尾端的厚薄程度，α越小峰越高，尾越厚。β為偏度參數(shù)，反映了分布的峰偏離分布均值的方向與程度，β＞0則分布右偏，β＞0則分布左偏。γ為刻度參數(shù)，而δ為位置參數(shù)。當(dāng)α＞1時(shí)，穩(wěn)定分布均值才存在，并且此時(shí)δ就是分布的均值。當(dāng)α=2，β=0時(shí)穩(wěn)定分布就是正態(tài)分布；當(dāng)α=1，β=0時(shí)穩(wěn)定分布則為柯西分布。若X～S(α，β，γ，δ)，則 [(X-δ)/γ]～S(α，β，1，0)。Chambers等[12]給出的基于S(α，β，0，0)穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法便是基于此種變換。

本文提出利用BCel對(duì)穩(wěn)定分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法。BCel是基于經(jīng)驗(yàn)似然的一種貝葉斯計(jì)算方法，它的基礎(chǔ)是近似貝葉斯計(jì)算方法。Owen在1988年提出經(jīng)驗(yàn)似然，它是一類非參數(shù)似然，并且具有很多統(tǒng)計(jì)學(xué)的優(yōu)勢(shì)。首先經(jīng)驗(yàn)似然構(gòu)造置信區(qū)間有變換不變性、域保持性，而且置信域的形狀也是由數(shù)據(jù)決定。經(jīng)驗(yàn)似然的構(gòu)建過程中，首先需要定義一個(gè)數(shù)據(jù)分布相關(guān)的功能函數(shù)θ：如分布的矩。具體來說，設(shè)獨(dú)立同分布）為服從f(x)的隨機(jī)變量，功能函數(shù)θ滿足限制條件EF[h(Y，θ)]=0 ，則經(jīng)驗(yàn)似然為p是集合中的值，而h的維數(shù)是θ的限制條件的個(gè)數(shù)。假設(shè)功能函數(shù)θ=Ef[Y]，在限制p1y1...pnyn=θ的條件下，經(jīng)驗(yàn)似然即為p1...pn的乘積的最大值。經(jīng)驗(yàn)似然已經(jīng)被證明具有良好的收斂性，BCel是一種利用經(jīng)驗(yàn)似然改進(jìn)近似貝葉斯計(jì)算得到的一種算法。具體的算法邏輯如下：

for i=1:M

（1）由先驗(yàn)分布 π(·)抽樣，得到參數(shù)θi；

（2）由θ模擬抽樣得到對(duì)應(yīng)功能函數(shù)；

i

（3）計(jì)算經(jīng)驗(yàn)似然Lel()，并作為權(quán)重wi賦給θi。BCel的計(jì)算結(jié)果是M個(gè)權(quán)重為wi的參數(shù)θi，g(θ)的估計(jì)值為當(dāng)i的值越大，越接近于g(θ)的真實(shí)值。BCel方法可以在參數(shù)估計(jì)中充分考慮參數(shù)的先驗(yàn)信息，而且計(jì)算較快較簡(jiǎn)便。利用BCel對(duì)于穩(wěn)定分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，類似McCulloch[6]的利用抽樣的分位數(shù)來做估計(jì)的方法，本文將功能函數(shù)設(shè)為分位數(shù)，去對(duì)穩(wěn)定分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

2 基于經(jīng)驗(yàn)似然的貝葉斯預(yù)測(cè)方法

Pradhan[11]利用Gibbs抽樣與Monte Carlo模擬法對(duì)符合二參數(shù)的gamma分布的數(shù)據(jù)的未來觀測(cè)值進(jìn)行了預(yù)測(cè)。借鑒Pradhan[11]的預(yù)測(cè)思路，本文提出一種基于經(jīng)驗(yàn)似然的貝葉斯預(yù)測(cè)方法。

設(shè)歷史數(shù)據(jù)y與未來觀測(cè)值y*，y*的后驗(yàn)預(yù)測(cè)密度函數(shù)為：p(y*|y)= ∫p(y*|y，θ).p(θ|y)dθ，p(θ|y)在歷史數(shù)據(jù)y和先驗(yàn)條件下的θ的后驗(yàn)密度函數(shù)。因?yàn)閥*，y獨(dú)立同分布，所以設(shè)（m為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度），則m個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量為設(shè)次序統(tǒng)計(jì)量y*(r)（第r個(gè)）在已知數(shù)據(jù)y下的后驗(yàn)密度為則對(duì)于穩(wěn)定分布來說是對(duì)應(yīng)穩(wěn)定分布的概率密度，而很難解析表示，故結(jié)合Monte Carlo模擬利用抽樣得到的估計(jì)。

以上已經(jīng)介紹過，以經(jīng)驗(yàn)似然為似然的后驗(yàn)密度是p(θ|y)，而BCel的結(jié)果是M個(gè)有權(quán)重wi的參數(shù)θi，加權(quán)抽樣得到的參數(shù)θ值即為估計(jì)值。這一過程又叫做Monte Carlo模擬，同樣所 以的估計(jì)可以由以下抽樣過程獲得：

（1）利用參數(shù)先驗(yàn)獲取參數(shù) (θ1，θ2，...θn) ，并利用Chambers等[12]的穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法產(chǎn)生長(zhǎng)度為m的n組隨機(jī)數(shù)

（2）計(jì)算n組隨機(jī)數(shù)的r個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量

對(duì)于第r個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量，其雙側(cè)100β%置信區(qū)間為下式，其中L代表上界，U代表下界：

得到估計(jì)。

3 針對(duì)穩(wěn)定分布的BCel參數(shù)估計(jì)及模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果

因?yàn)棣?，β，γ，δ是?yán)格限制定義域的，所以需要通過變換：ξ1=qnorm①qnorm:這里指R中stats包中函數(shù)，qnorm(x)代表取概率x在正態(tài)N(0,1)中對(duì)應(yīng)的分位數(shù)；(α-1)②α的定義域?yàn)椋?,2）；，ξ2=qnorm((β+1)/2)，ξ3=ln③ln(x)代表取底數(shù)為e的x的對(duì)數(shù)。將這4個(gè)參數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槎x域?yàn)?- ∞，+∞ ) 的1×4的參數(shù)矩陣ξ。因?yàn)橄Ｍ肅hambers等[12]給出的基于S(α，β，0，0)穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法產(chǎn)生穩(wěn)定分布隨機(jī)數(shù)據(jù)，所以需要利用X～S(α，β，γ，δ)，則 [(X-δ)/γ]

下面討論利用BCel對(duì)穩(wěn)定分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的具體方法及模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果?！玈(α，β，1，0)這一變換處理參數(shù)。而利用以上2種技巧就可以利用模擬產(chǎn)生需要的隨機(jī)數(shù)。

以上介紹過，X～S(α，β，γ，δ)，則 [(X-δ)/γ]～S(α，β，1，0)這一穩(wěn)定分布的標(biāo)準(zhǔn)變換。又Famma（1971）年提出可以利用數(shù)據(jù)的分布特征直接得到參數(shù)γ，δ的估計(jì)值。所以利用BCel對(duì)于穩(wěn)定分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的思路兩種，一是利用穩(wěn)定分布標(biāo)準(zhǔn)變換得到S(α，β，1，0)，利用BCel估計(jì)參數(shù)α，β的值，而γ，δ的估計(jì)值Famma（1971）的方法得到；二是利用BCel直接估計(jì)穩(wěn)定分布四個(gè)參數(shù)α，β，γ，δ的值。下面先介紹第一種思路的具體算法過程，假設(shè)原始數(shù)據(jù)集y服從穩(wěn)定分布S(1.7，0.9，10，10)，且y的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為200，利用標(biāo)準(zhǔn)化變換z=[(y-δ)/γ]可得z，即z～S(1.7，0.9，1，0)，對(duì)于變換后得到的數(shù)據(jù)集z計(jì)算累計(jì)概率密度為 0.1，0.2，...,0.9 的分位數(shù)qz1，qz2，...,qz9。設(shè)9×100的矩陣當(dāng)功能函數(shù)θ′=(qz1，qz2，...qz9)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)似然可以定義為：在限制p1Nz1...pnNzn=θ的條件下，p1...pn的乘積的最大值。由穩(wěn)定分布標(biāo)準(zhǔn)變換與ξ1=qnorm①qnorm:這里指R中stats包中函數(shù)，qnorm(x)代表取概率x在正態(tài)N(0,1)中對(duì)應(yīng)的分位數(shù)。(α-1)②這里α的定義域?yàn)?1 ，2] 。，ξ2=qnorm((β+1)/2)這一變換，知參數(shù)α，β，γ，δ(1.7,0.9,1,0)對(duì)應(yīng)ξ(0.52，1.64，0，0)，取正態(tài)分布N(0，1)與N(1，1)作為參數(shù)ξ1與ξ2的先驗(yàn)。利用以下步驟：

for i=1:10000：

（1）從先驗(yàn)分布N(0，1)與N(1，1)中取，；

（2）由ξ1i，ξ2i利用變換得到αi，βi，再利用Chambers的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法，產(chǎn)生長(zhǎng)度為200的隨機(jī)數(shù)mzi；

（3）計(jì)算9×100的矩陣Nmz為(t=1，..，9，j=1，..，200)；

（4）利用R包‘emplik’求出時(shí)對(duì)于Nmz的經(jīng)驗(yàn)似然Lel(θ′|mz)；

（5）對(duì)于參數(shù)αi，βi，設(shè)其權(quán)重wi=exp(log(Lel(θ′|z)))-

圖1的箱線圖在利用以上算法進(jìn)行50次重復(fù)實(shí)驗(yàn)后獲得。圖1箱線圖表示此方法的估計(jì)效果是良好的：α與真值很接近，而β的估計(jì)基本吻合參數(shù)真值，并且50組模擬實(shí)驗(yàn)得到的參數(shù)α，β的估計(jì)值方差基本均小于0.1。若數(shù)據(jù)長(zhǎng)度n=500，利用以上方法得到的α與β的估計(jì)值為1.72，0.78，具體的累計(jì)概率密度函數(shù)分布圖見圖2，可以看出此時(shí)擬合分布與真實(shí)分布更為接近。

圖1 50次重復(fù)實(shí)驗(yàn)得到的穩(wěn)定分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖2 n=500時(shí)的累計(jì)概率密度分布擬合圖

下面討論不利用穩(wěn)定分布標(biāo)準(zhǔn)化變換，直接對(duì)穩(wěn)定分布利用BCel進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的方法。依上取穩(wěn)定分布S(1.7，0.9，10，10)，原始數(shù)據(jù)集y長(zhǎng)度為200，對(duì)于穩(wěn)定分布直接利用BCel進(jìn)行參數(shù)估計(jì)不同與之前的算法過程的幾點(diǎn)主要在于：

（1）不需要將y標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)為z，進(jìn)而求z的分位數(shù)的值。而是直接求y的概率為0.1，0.2，...0.9的分位數(shù)qy1，qy2，...qy9，并在計(jì)算經(jīng)驗(yàn)似然的過程中將其作為功能函數(shù)θ′；

（2）通過變換ξ1=qnorm(α-1)，ξ2=qnorm((β+1)/2)，ξ3=ln③ln(x)代表取底數(shù)為e的x的對(duì)數(shù)。(γ)，ξ4=δ，將參數(shù)α，β，γ，δ(1.7，0.9，10，10)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的ξ=(0.52，1.64，2.30，10)，并且對(duì)于 4個(gè)參數(shù)2，ξ3，ξ4分別取N(0，1)，N(1，1)，N(0，2)及N(0，10)作為先驗(yàn)。

除此之外過程大體與只估計(jì)2參數(shù)的相似，表1表示各個(gè)不同的方法得到的四參數(shù)穩(wěn)定分布的參數(shù)估計(jì)值，其中第一列至第四列分別表示Buckle（1995）[13]利用Gibbs抽樣，McCulloch（1986）[6]利用分位數(shù)法，Lombardi（2007）[14]利用反向MCMC法，本文利用BCel法，在10次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到的結(jié)果。

表1 四參數(shù)穩(wěn)定分布的估計(jì)結(jié)果

表1數(shù)據(jù)表明：相較與其他三種方法，BCel對(duì)于參數(shù)α，γ，δ的估計(jì)較為精準(zhǔn)，尤其對(duì)于參數(shù)α，δ，方法BCel的估計(jì)精度是最高的?？墒荁Cel對(duì)于參數(shù)β的估計(jì)有些偏差，只能做到與其他方法持平。但總體來說BCel的估計(jì)結(jié)果的總體標(biāo)準(zhǔn)差更小，估計(jì)效果更加穩(wěn)定。

4 實(shí)證

本文對(duì)于2004年1月2日至2014年12月31日的上證綜合指數(shù)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)（共2640個(gè)）利用BCel方法進(jìn)行了分析。假設(shè)時(shí)間序列{Pt}對(duì)應(yīng)這2640個(gè)數(shù)據(jù)，應(yīng)用對(duì)數(shù)收益率變換：yt=100·(lnPt-lnPt-1)，可得序列{yt}。{yt}的均值為0.029，方差為2.923，序列的偏度與峰度為0.877與22.376，滿足上文闡述的金融數(shù)據(jù)的“高峰厚尾”的特征。利用上文說明的2種BCel估計(jì)方法對(duì)于序列進(jìn)行分布擬合。首先說明第一種方法的應(yīng)用過程：采用數(shù)據(jù)均值，F(xiàn)amma（1971）的估計(jì)方法得到參數(shù)γ，δ的估計(jì)，利用BCel估計(jì)參數(shù)α，β，且這一過程中采用的先驗(yàn)分布，模擬次數(shù)均與之前的模擬實(shí)驗(yàn)相同。這一方法得到的參數(shù)估計(jì)值為(1.88,0.12,0.84,0.029)。而采用直接利用BCel估計(jì)4個(gè)參數(shù)的方法得到的參數(shù)估計(jì)結(jié)果為(1.56,0.122,0.837,-0.12)。同時(shí)，采用正態(tài)分布對(duì)比進(jìn)行擬合，得到的正態(tài)分布為N(0 .029，2.913) 。

PP圖是檢驗(yàn)分布擬合數(shù)據(jù)優(yōu)度的一種重要的方法，可是傳統(tǒng)的PP圖存在很多問題：采用的均勻分布的次序統(tǒng)計(jì)量方差不穩(wěn)定，且波動(dòng)較大；曲線尾部無法準(zhǔn)確反映對(duì)數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度等。Michael針對(duì)PP圖的此類缺陷提出了穩(wěn)定化的PP圖，穩(wěn)定化的PP圖采用均勻分布U經(jīng)變換后得到的分布的次序統(tǒng)計(jì)量，這些次序統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)方差相同，且上下波動(dòng)較小，故穩(wěn)定化的PP圖可以更好地進(jìn)行擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)。圖3是利用穩(wěn)定化的PP圖對(duì)于上段得到的估計(jì)結(jié)果：穩(wěn)定分布S(1.88，0.12，0.84，0.029)（標(biāo)準(zhǔn)化后穩(wěn)定分布BCel擬合結(jié)果），S(1.56，0.122，0.837，-0.12)（四參數(shù)穩(wěn)定分布BCel擬合結(jié)果），正態(tài)分布N(0 .029，2.913)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)后的結(jié)果。圖3表明正態(tài)分布的擬合優(yōu)度遠(yuǎn)不及其他2類分布。而穩(wěn)定分布標(biāo)準(zhǔn)化后的估計(jì)結(jié)果S(1.88，0.12，0.84，0.029)較穩(wěn)定分布直接估計(jì)的結(jié)果S(1.56，0.122，0.837，-0.12)對(duì)于數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度更好。

圖3 PP圖對(duì)于3類分布擬合檢驗(yàn)結(jié)果

為了進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)據(jù)分布擬合檢驗(yàn)，圖4繪制了數(shù)據(jù)的頻率直方圖及估計(jì)得到的正態(tài)分布N(0 .029，2.913) ，穩(wěn)定分布S(1.88，0.12，0.84，0.029)的密度函數(shù)圖。圖 4表明穩(wěn)定分布S(1.88，0.12，0.84，0.029)對(duì)于數(shù)據(jù)的擬合程度與數(shù)據(jù)特征的表現(xiàn)程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于正態(tài)分布，這不僅說明了穩(wěn)定分布可以更好地?cái)M合金融數(shù)據(jù)“高峰厚尾”的特征，也說明BCel方法可以較好地估計(jì)穩(wěn)定分布參數(shù)的值?；诜€(wěn)定分布S(1.88，0.12，0.84，0.029)對(duì)數(shù)據(jù)的較優(yōu)的擬合性，可以得到數(shù)據(jù)本身的一些特征：得到的穩(wěn)定分布參數(shù)α估計(jì)值小于2說明上證指數(shù)對(duì)數(shù)收益率存在相關(guān)性，并不滿足隨機(jī)游走；而得到的參數(shù)估計(jì)值β大于0說明上證指數(shù)對(duì)數(shù)收益率呈現(xiàn)右偏的厚尾分布。

圖4 上證指數(shù)收益率的頻率直方圖及正態(tài)分布、穩(wěn)定分布密度函數(shù)圖

由于時(shí)間序列數(shù)據(jù)受周期性的時(shí)間因素影響較大，為了對(duì)2015年1月至2016年8月的上證指數(shù)對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)，歷史數(shù)據(jù)選取2012年1月至2014年8月的上證指數(shù)對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)。利用前文給出的基于經(jīng)驗(yàn)似然的貝葉斯預(yù)測(cè)方法與4參數(shù)的穩(wěn)定分布的BCel方法，利用歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)了未來數(shù)據(jù)的一些特征的分布情況。圖5是預(yù)測(cè)的未來數(shù)據(jù)的最小值、中位數(shù)、最大值的概率密度圖，預(yù)測(cè)的最小值、中位數(shù)、最大值的95%的置信區(qū)間為(-46.01，-6.482 )，(- 0.53，0.51) ，(6 .31，46.74 )。而 2015中位數(shù)、最大值的真值(- 8.87，0.15，5.60 )用虛線標(biāo)出，可以看出最小值與中位數(shù)的真值落在預(yù)測(cè)的最小值，中位數(shù)的95%的置信區(qū)間內(nèi)，預(yù)測(cè)結(jié)果較好。而最大值真值略小于預(yù)測(cè)的區(qū)間的最小值，應(yīng)該是因?yàn)?012年1月至2014年8月的數(shù)據(jù)的“高峰”特征更明顯，所以預(yù)測(cè)結(jié)果存在偏差。年1月至2016年8月的上證指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的最小值、

圖5 預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的最小值、中位數(shù)、最大值的概率密度圖

5 結(jié)論

本文介紹了基于經(jīng)驗(yàn)似然的貝葉斯計(jì)算方法，并利用該方法對(duì)穩(wěn)定分布進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并且得到良好的模擬實(shí)驗(yàn)參數(shù)估計(jì)效果。同時(shí)本文借鑒Pradhan的基于Gibbs抽樣的貝葉斯預(yù)測(cè)方法的思路，提出一種基于經(jīng)驗(yàn)似然的貝葉斯預(yù)測(cè)方法，并從理論層面解釋了該方法。在上證指數(shù)對(duì)數(shù)收益率的實(shí)證研究中，先是利用BCel方法結(jié)合穩(wěn)定分布擬合數(shù)據(jù)，其擬合結(jié)果不僅證實(shí)了穩(wěn)定分布較正態(tài)分布更適合擬合“高峰厚尾”特征的數(shù)據(jù)，也證實(shí)參數(shù)估計(jì)方法的準(zhǔn)確性；之后又通過歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來數(shù)據(jù)的特征情況，得到了符合預(yù)期的結(jié)果。

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