基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM（1,1）模型在電子裝備系統(tǒng)故障預(yù)測中的應(yīng)用

孫紅影

（三亞學院理工學院，海南 三亞 572022）

1 灰色GM（1,1）模型研究背景

在信息化戰(zhàn)爭理念的指引下，現(xiàn)代化大型艦船電子裝備系統(tǒng)復(fù)雜程度也大幅提高。這些武器裝備造價昂貴，試驗維修費用極高。而在實際應(yīng)用中，影響艦船電子裝備故障因素的種類繁多、實驗數(shù)據(jù)量較少、具有很大的隨機性與不確定性。因此建立精確模型或者運用大量試驗數(shù)據(jù)預(yù)測故障周期是不現(xiàn)實的。在實際操作過程中只能利用極其有限的試驗數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的故障周期進行預(yù)測。灰色GM（1,1）模型是灰色系統(tǒng)預(yù)測的基礎(chǔ)與核心。其特點是能用較少的數(shù)據(jù)序列建立模型去反映系統(tǒng)的主要動態(tài)特性。它將系統(tǒng)看成一個隨時間變化而變化的指數(shù)函數(shù)，因此不需要大量的數(shù)據(jù)就可以得到很好的預(yù)測效果[1-5]。在實際應(yīng)用中和理論實踐中，人們發(fā)現(xiàn)了模型的諸多局限性，對此大家都對模型進行了改進。影響模型精度的原因有很多，但主要原因還是背景值的不足[6]。

本文從背景值出發(fā)，將原有的背景值公式進行改進，并將改進的背景值公式的GM（1, 1）模型首次運用到艦船的電子裝備系統(tǒng)的故障預(yù)測中。通過數(shù)據(jù)模擬和模型比較表明，與傳統(tǒng)的GM（1,1）模型相比，本文改進的模型的預(yù)測精度有顯著提高，能使其更好地服務(wù)于艦船電子裝備系統(tǒng)，有十分重要的意義。

2 GM(1，1)模型背景值最優(yōu)化

2.1 GM（1,1）模型及誤差原因

的一次累加生成序列

為GM(1,1)模型的定義式，也稱為灰色微分方程。這里

式（2）中的z(1)(k)稱為GM（1,1）模型的背景值，為累加生成序列的緊鄰均值生成值。

則GM（1,1）模型參數(shù)的最小二乘估計為

定義GM（1,1）模型的白化微分方程為

則灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的時間響應(yīng)式為

其中，k=1,2,…,n

累減還原值為

由此可見，傳統(tǒng)的背景值計算公式實質(zhì)上是用梯形公式近似的計算x(1)(t)在區(qū)間[k－1,k]上與t軸圍成的面積。公式（2）是一個平滑公式，當時間間隔很小，序列數(shù)據(jù)變化平緩時，這樣構(gòu)造的背景值是合適的。模型偏差較小，但當序列數(shù)據(jù)變化急劇時，這樣構(gòu)造出來的背景值往往產(chǎn)生較大的滯后誤差，模型偏差較大。

2.2 背景值的優(yōu)化

在區(qū)間[k－1,k]上對白化方程兩邊求積分

將式(6)代入z(1)(k)得

所以

將a和C的表達式代入z(1)(k)得到新構(gòu)造的背景值計算公式

2.3 利用最優(yōu)化的背景值建模

灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的最小二乘估計參數(shù)序列為

（2）灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的時間響應(yīng)式為：

（3）還原值

3 GM(1.1)模型在電子設(shè)備故障預(yù)測中的應(yīng)用

根據(jù)文獻[7]中某電子裝備在高溫季節(jié)的失效數(shù)據(jù)，如表1所示，選取10個連續(xù)數(shù)據(jù)作為樣本。其中k表示第k次失效，t表示失效時刻。

表1 雷達累積失效時刻

運用已知的數(shù)據(jù)，運用上面優(yōu)化的方法，對該裝備試驗過程中某次故障發(fā)生時，其失效時間進行估計。通過Matlab編程仿真，可以得到如表2所示結(jié)果。

表2 兩種模型的模擬預(yù)測值與實際值得比較

其中，1—5次為模擬值，6—7次為預(yù)測值。

進一步計算兩種模型的模擬誤差與預(yù)測誤差，如表3—4所示。

表3 兩種模型對故障失效時間的模擬誤差（%）

表4 兩種模型對故障失效時間的預(yù)測相對誤差（%）

由表3可以看出來，優(yōu)化之后的模型的誤差要顯著地小于原GM（1,1）模型，這說明優(yōu)化后的模型精度要高于原模型，這個也是模型具有較高的預(yù)測精度的前提條件：由表4可以看出，優(yōu)化后的模型對第六次和第七次故障失效時間的預(yù)測相對誤差為4.04%和0.26%，都小于原GM（1,1）模型。特別是第七次的預(yù)測精度達到了0.26%，從而可以看出來優(yōu)化后的模型在模擬、預(yù)測方面具有的優(yōu)勢。

4 結(jié)語

本文通過對某電子裝備在高溫季節(jié)的失效數(shù)據(jù)的分析，針對數(shù)據(jù)是離散的且累加后為指數(shù)函數(shù)的特性，在傳統(tǒng)的灰色GM（1,1）模型的基礎(chǔ)上從背景值入手進行模型改進。通過仿真實驗，將改進后的模型與傳統(tǒng)的GM（1,1）模型的模擬精度與預(yù)測精度進行對比，得出優(yōu)化后的模型的精度要高于傳統(tǒng)的GM（1,1）模型，證明了新模型的可行性，即可提高艦船的電子系統(tǒng)的故障預(yù)測精度，能為裝備平時的維修保養(yǎng)提供數(shù)據(jù)支撐，對研究武器裝備的可靠性具有重大的現(xiàn)實意義。本文對模型的參量的選取有一定的局限性，且依賴于原始數(shù)據(jù)，對此可以進行進一步的研究。

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[7]賈占強，梁玉英.灰色GM（1，1）模型在電子裝備壽命預(yù)測中的應(yīng)用[J].火力與指揮控制，2008（11）：134-143.