機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)建模及零位標(biāo)定研究?

梅浩 劉永

（南京理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 南京 210094）

1 引言

機(jī)器人是一種高度集合化的技術(shù)裝備，它將控制、材料、電子、傳感器和機(jī)械等方向技術(shù)有效地集合于一體，從而讓其具有了多方面的優(yōu)點(diǎn)。為此，其相關(guān)的應(yīng)用也是越來越廣泛，但是現(xiàn)今的機(jī)器人重復(fù)定位精度高而絕對(duì)定位精度低，為了達(dá)到更多較高難度工作任務(wù)的需要，準(zhǔn)確地標(biāo)定出機(jī)器人參數(shù)就顯得尤為重要［1］。

對(duì)于機(jī)器人標(biāo)定，它就是采用測(cè)量手段或者基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的參數(shù)識(shí)別方法辨識(shí)出機(jī)器人模型的準(zhǔn)確參數(shù)，從而提高機(jī)器人絕對(duì)精度的過程［2］。其相關(guān)標(biāo)定是由正標(biāo)定和逆標(biāo)定、自標(biāo)定以及參數(shù)標(biāo)定等重要標(biāo)定技術(shù)［3］構(gòu)成。其中，參數(shù)標(biāo)定是獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的一種相對(duì)有效且經(jīng)濟(jì)的標(biāo)定方法［4～6］。零位標(biāo)定作為參數(shù)標(biāo)定中的一種，是提高機(jī)器人定位精度最重要的一種標(biāo)定方法［7］。

機(jī)器人精度誤差問題來自于多個(gè)方面，其中主要來源［8］是機(jī)器人的制造加工誤差、關(guān)節(jié)零位誤差等幾何誤差，利用常規(guī)的標(biāo)定誤差模型，能夠較好地解決誤差問題，而對(duì)于某些特定的機(jī)器人而言，其不僅含有幾何誤差，還含有一定由連桿和關(guān)節(jié)導(dǎo)致的柔性誤差，這種綜合性的誤差成分促使常規(guī)誤差建模的難度系數(shù)加大，而且很難辨識(shí)并補(bǔ)償。

本文對(duì)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)建模及零位標(biāo)定進(jìn)行研究。分析機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)的變形規(guī)律，建立柔性關(guān)節(jié)的誤差模型，并分別考慮在末端負(fù)載和機(jī)械臂自重的影響下，相關(guān)誤差模型的構(gòu)建，結(jié)合工業(yè)機(jī)器人IRB120和實(shí)驗(yàn)環(huán)境特點(diǎn)，改進(jìn)原來的零位標(biāo)定誤差模型，通過仿真和實(shí)驗(yàn)，對(duì)比原來誤差模型和改進(jìn)誤差模型的標(biāo)定效果。

2 柔性關(guān)節(jié)模型

2.1 柔性關(guān)節(jié)模型

由于機(jī)器人關(guān)節(jié)本身功能所需要，決定了關(guān)節(jié)整體結(jié)構(gòu)需較為緊湊，所以在機(jī)械臂各關(guān)節(jié)中，大部分情況都是采用諧波齒輪減速器，而關(guān)節(jié)柔性產(chǎn)生的誤差最主要原因就是諧波齒輪減速器。為了較好地掌握關(guān)節(jié)柔性變形，我們需要知道其變形規(guī)律，Spong［9］提出了機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)的誤差模型。

針對(duì)柔性關(guān)節(jié)的建模，Spong提出兩點(diǎn)，其一，在模型中把關(guān)節(jié)的柔性描述成一個(gè)線性彈簧，其相應(yīng)的比例系數(shù)就是關(guān)節(jié)的彈性系數(shù)；其二就是把電機(jī)的轉(zhuǎn)子當(dāng)作在轉(zhuǎn)軸上一個(gè)整體。

通過Spong的假設(shè)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，其是把具有n個(gè)自由度的柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人模型用一個(gè)四階動(dòng)力學(xué)模型來表示：

式中，Jm、M(q)、K分別代表電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣、連桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣和關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度，qm、q分別代表電機(jī)角度向量和關(guān)節(jié)角度向量，C(q，q˙)、g(q)分別代表離心力與哥氏力項(xiàng)矩陣和重力向量。

在此模型中，我們可以得到關(guān)節(jié)柔性誤差導(dǎo)致的關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角表示［10］，具體如下

其中，δθC表示由于關(guān)節(jié)撓性形變導(dǎo)致的關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角，單位為弧度；τ是施加在關(guān)節(jié)i軸線上的等效力矩；Cθ代表關(guān)節(jié)i的柔性系數(shù)。

因此，基于上式得到的關(guān)節(jié)偏轉(zhuǎn)角將柔性誤差轉(zhuǎn)化成機(jī)器人末端位姿誤差，具體如下

在該式中，我們用ΔXC表示機(jī)器人末端位姿誤差，用JC表示柔性偏轉(zhuǎn)角雅可比矩陣，用δθC表示由機(jī)器人各關(guān)節(jié)柔性偏轉(zhuǎn)角構(gòu)成的矢量。若只考慮空間坐標(biāo)變化，則有

其中，ΔDC表示機(jī)器人末端位置誤差，MC表示柔性偏轉(zhuǎn)角的平移系數(shù)矩陣，Cθ表示柔性系數(shù)矩陣，τ表示等效力矩矢量。

2.2 自重柔性誤差模型

IRB120機(jī)型中連桿2、3質(zhì)量最大，機(jī)械臂自重施加在關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3上的力矩最大，因此自重主要影響關(guān)節(jié)2和3的柔性，其他關(guān)節(jié)的柔性相比很小，可將其忽略。

機(jī)械臂的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示，G2和G3分別為連桿2和連桿3的重心，L1和L2分別為某姿態(tài)時(shí)，G2和G3到關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的距離，L3為連桿2的長度，θ2和θ3為關(guān)節(jié)2、3的零位關(guān)節(jié)角值，偏轉(zhuǎn)角θgiC的方向定義也是如此，C2和C3分別為關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的柔性系數(shù)，關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3由于機(jī)械臂自重所受的力矩［11］分別如下

并將其代入上面的關(guān)節(jié)誤差模型式（2），從而得到關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3由于機(jī)械臂自重轉(zhuǎn)過的微小角度，分別如下

圖1 機(jī)械臂幾何簡化結(jié)構(gòu)

其中，在θgiC的下標(biāo)中，g表示的是關(guān)節(jié)受到機(jī)器人自重導(dǎo)致關(guān)節(jié)產(chǎn)生誤差，iC表示的是關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)柔性系數(shù)C。令

則式（5～6）可以改寫為

將其改寫成矩陣相乘的形式即為

則式（12）可以用于表示關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3在受機(jī)械臂自重影響下的柔性誤差模型。

2.3 外加負(fù)載柔性誤差模型

關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3由于機(jī)械臂末端加載的負(fù)載所受的力矩分別如下

并將其代入上面的關(guān)節(jié)誤差模型式（2），從而得到關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3由于負(fù)載轉(zhuǎn)過的微小角度，如下

其中，在θliC的下標(biāo)中，l表示的是關(guān)節(jié)受到機(jī)器人末端負(fù)載導(dǎo)致關(guān)節(jié)產(chǎn)生誤差，iC表示的是關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)柔性系數(shù)C。式中，L4為關(guān)節(jié)3到末端點(diǎn)的長度，Gl為機(jī)械臂末端所加負(fù)載的重力，令

則可以將式（13）和（14）分別轉(zhuǎn)化為

將其轉(zhuǎn)化成矩陣相乘的形式：

則式（20）可以用于表示關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3在受機(jī)械臂末端負(fù)載影響下的柔性誤差模型。

3 零位標(biāo)定模型

3.1 D-H模型

為了對(duì)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定，首先要建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，D-H模型［12］是應(yīng)用最廣泛的一種機(jī)器人建模模型，D-H模型可以唯一地描述機(jī)器人運(yùn)動(dòng)鏈的結(jié)構(gòu)。D-H模型用 θi，di，ai，αi四個(gè)參數(shù)描述機(jī)器人每個(gè)桿件坐標(biāo)系，模型中坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換的T=R(θi)T(di)T(ai)R(αi)具體如下

其中，θi為關(guān)節(jié)角度，即為從 Xi-1軸繞Zi軸旋轉(zhuǎn)到Xi軸的角度，繞Zi軸逆時(shí)針方向?yàn)檎?；αi為桿件扭角，即為從Zi-1軸繞 Xi軸到Zi軸的角度，繞 Xi軸逆時(shí)針方向?yàn)檎籥i為桿件長度，即為從Zi-1軸沿著 Xi軸方向到Zi軸的距離，沿 Xi軸方向?yàn)檎?；di為關(guān)節(jié)長度，即為從 Xi-1軸沿著Zi軸到 Xi軸的長度，沿Zi軸的方向?yàn)檎?/p>

則六自由度機(jī)器人從基坐標(biāo)系到末端坐標(biāo)系的變換矩陣可得如下

將機(jī)器人每個(gè)關(guān)節(jié)角代入對(duì)應(yīng)的齊次變換矩陣即可得到機(jī)器人末端的姿態(tài)與位置矩陣，簡化計(jì)算結(jié)果如下

其中，(nx，ox，ax)，(ny，oy，ay)，(nz，oz，az)為機(jī)器人末端坐標(biāo)系X、Y和Z軸上單位向量在機(jī)器人基坐標(biāo)系上的坐標(biāo)值，(px，py，pz)是機(jī)器人末端點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。

3.2 零位標(biāo)定誤差模型

第i個(gè)關(guān)節(jié)的零位誤差值用Δθi來表示，依據(jù)D-H模型，可以得到各個(gè)關(guān)節(jié)軸之間的變換矩陣，帶入零位誤差值到變換矩陣中，從而得到如下所示的齊次變換矩陣［13～14］：

3.3 改進(jìn)的零位標(biāo)定誤差模型

對(duì)于原來的零位標(biāo)定誤差模型而言，如果每個(gè)關(guān)節(jié)的零位誤差值Δθi是固定值，或隨機(jī)械臂的準(zhǔn)靜態(tài)運(yùn)動(dòng)而變化很小，則基于原有誤差模型的標(biāo)定效果是非常好的，但當(dāng)每個(gè)關(guān)節(jié)的θi誤差值會(huì)隨關(guān)節(jié)角狀態(tài)的變化而有較大變化的時(shí)候，原來的標(biāo)定方法會(huì)對(duì)參數(shù)誤差出現(xiàn)難以辨識(shí)的問題，影響標(biāo)定的效果?？紤]到IRB120機(jī)型存在的誤差因素不僅含有零位誤差，還含有一定的關(guān)節(jié)柔性誤差。根據(jù)前面對(duì)柔性誤差的研究分析，可以將原來的標(biāo)定誤差模型進(jìn)行改進(jìn)，讓改進(jìn)后的誤差模型考慮更多的誤差因素，從而提升標(biāo)定效果，其相應(yīng)的誤差模型具體如下

在該標(biāo)定過程中，由于機(jī)械臂末端的負(fù)載很小，可以忽略不計(jì)，因此關(guān)節(jié)柔性僅受機(jī)型自重的影響。根據(jù)IRB120機(jī)型的特點(diǎn)，可知該機(jī)型關(guān)節(jié)柔性誤差主要集中在關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3處，所以為實(shí)現(xiàn)更好的標(biāo)定，在關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3處使用改進(jìn)的誤差模型，其他關(guān)節(jié)保持原來的誤差模型，通過將兩個(gè)誤差模型結(jié)合使用以實(shí)現(xiàn)對(duì)該機(jī)型的零位標(biāo)定。對(duì)于關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3其改進(jìn)模型中的τi分別為

其中，G2為連桿2的重力，G3為連桿3和以上連桿總重力，L1為連桿2重心點(diǎn)和關(guān)節(jié)2軸中心的距離，L2為連桿3和以上連桿合體的重心點(diǎn)和關(guān)節(jié)3軸中心的距離，L3為連桿2的長度，θ2和θ3為關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3相對(duì)零位位姿的轉(zhuǎn)角。

因此，不僅需要標(biāo)定六個(gè)關(guān)節(jié)角的誤差，還需要標(biāo)定相應(yīng)關(guān)節(jié)角的柔性系數(shù)誤差。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文主要是針對(duì)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)建模及零位標(biāo)定進(jìn)行研究，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)是工業(yè)機(jī)器人IRB120。

在仿真含有零位誤差、關(guān)節(jié)柔性誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響下，我們對(duì)原來的誤差模型和改進(jìn)的誤差模型進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。在IRB120運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定仿真系統(tǒng)中，給該標(biāo)定仿真系統(tǒng)添加誤差：添加關(guān)節(jié)柔性誤差，設(shè)定關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的柔性系數(shù)分別為-5.921122e-05(N·m)-1、-9.137836e-06(N·m)-1；添加零位誤差值，如（0，-1，-2，-1，1，-2）；添加隨機(jī)誤差，在每次進(jìn)行讓激光線打到位置敏感檢測(cè)器（Position Sensitive Detector，PSD）中心點(diǎn)之前，向該機(jī)器人的D-H模型的第5個(gè)關(guān)節(jié)的桿件長度a5和關(guān)節(jié)長度d5添加隨機(jī)的誤差值，從而實(shí)現(xiàn)多次改變系統(tǒng)的隨機(jī)誤差值，對(duì)于系統(tǒng)的噪聲如下

對(duì)于該隨機(jī)誤差源，其為（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)，通過多次重復(fù)添加，且每次添加不同的隨機(jī)誤差噪聲。

以不同的姿態(tài)讓機(jī)器人末端的激光線都交于一點(diǎn)［15～17］，采集420組關(guān)節(jié)角值，將其中的210組數(shù)據(jù)用原來的誤差模型和改進(jìn)的誤差模型分別進(jìn)行標(biāo)定，利用剩余的210組數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定效果的驗(yàn)證工作。由于每次零位標(biāo)定僅需要7組數(shù)據(jù)，所以原先用于標(biāo)定的210組數(shù)據(jù)可以對(duì)每個(gè)誤差模型重復(fù)進(jìn)行30次標(biāo)定，將30次標(biāo)定結(jié)果求取平均值即為平均標(biāo)定結(jié)果。利用平均標(biāo)定結(jié)果對(duì)210組關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)分別進(jìn)行誤差補(bǔ)償，根據(jù)補(bǔ)償后的關(guān)節(jié)角計(jì)算激光線在PSD感光面上的投影點(diǎn)，以及投影點(diǎn)與PSD中心點(diǎn)的距離值即距離誤差，累加該誤差值并求取平均值即得到平均距離誤差，越小則說明標(biāo)定的效果越好。

圖2～3是分別用這兩個(gè)模型進(jìn)行仿真的結(jié)果。

利用原來誤差模型和改進(jìn)誤差模型標(biāo)定的結(jié)果進(jìn)行測(cè)試數(shù)據(jù)的誤差補(bǔ)償，計(jì)算得到平均距離誤差值分別為0.9692mm和0.5772mm，可見前者還殘余較多的誤差未能標(biāo)定出來，說明改進(jìn)誤差模型標(biāo)定的效果要更好。

從圖2和圖3可知，利用平均標(biāo)定結(jié)果將用于驗(yàn)證標(biāo)定效果的210組關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)分別進(jìn)行誤差補(bǔ)償，根據(jù)補(bǔ)償后的關(guān)節(jié)角計(jì)算激光線在PSD感光面上的投影點(diǎn)，其中（0，0）點(diǎn)為PSD中心點(diǎn)，點(diǎn)越接近（0，0）點(diǎn)，說明標(biāo)定效果越好，通過兩圖中紅點(diǎn)的分布可知，點(diǎn)更為聚集的改進(jìn)誤差模型具有更好的標(biāo)定結(jié)果。

圖2 驗(yàn)證原誤差模型標(biāo)定的效果

圖3 驗(yàn)證改進(jìn)誤差模型標(biāo)定的效果

本文實(shí)驗(yàn)基于ABB IRB120工業(yè)機(jī)器人，分別用原來的誤差模型和改進(jìn)的誤差模型進(jìn)行了相應(yīng)的零位標(biāo)定實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的任意一個(gè)位置實(shí)現(xiàn)點(diǎn)約束，在每個(gè)位置進(jìn)行7次定位并采集關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)，從而計(jì)算得到標(biāo)定結(jié)果。選擇5個(gè)不同的位置點(diǎn)重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將5個(gè)位置點(diǎn)得到的標(biāo)定結(jié)果求取平均值，具體結(jié)果如表1所示。

表1 原來的和改進(jìn)的誤差模型零位標(biāo)定結(jié)果對(duì)比

為了驗(yàn)證兩個(gè)誤差模型在基于點(diǎn)約束的零位標(biāo)定實(shí)驗(yàn)中哪個(gè)效果會(huì)更好，本文在機(jī)械臂工作空間內(nèi)任意選擇10處不同的位置分別實(shí)現(xiàn)點(diǎn)約束，將表1中兩種不同誤差模型得到的參數(shù)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，計(jì)算每個(gè)位置點(diǎn)所有直線兩兩交點(diǎn)或公垂線點(diǎn)的平均值點(diǎn)，然后求取每個(gè)位置點(diǎn)的平均值點(diǎn)和兩直線交點(diǎn)或公垂線點(diǎn)的距離誤差，將10個(gè)位置點(diǎn)所有的距離誤差進(jìn)行累加求取平均值，即為平均距離誤差，并求取相應(yīng)的誤差方差值，平均距離誤差值越小則說明標(biāo)定效果越好。將原來的誤差模型和改進(jìn)的誤差模型得到的平均距離誤差值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表2 原來的和改進(jìn)的誤差模型零位標(biāo)定精度對(duì)比（mm）

從表2可以看出，相比較于未使用標(biāo)定，改進(jìn)前后的誤差模型都能取得精度上的提升，但改進(jìn)誤差模型的標(biāo)定效果比原來誤差模型要更好，從而在絕對(duì)定位精度方面會(huì)有更大的提高。

5 結(jié)語

本文主要研究機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)的建模，以及在關(guān)節(jié)柔性影響下的零位標(biāo)定。分析了柔性關(guān)節(jié)的變形規(guī)律，建立了柔性關(guān)節(jié)的誤差模型，并分別在末端負(fù)載和機(jī)械臂自重的影響下構(gòu)建了相關(guān)具體模型。結(jié)合對(duì)柔性關(guān)節(jié)的研究，改進(jìn)了原有的零位標(biāo)定誤差模型。在關(guān)節(jié)柔性誤差、靜態(tài)幾何誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響下，分別用原來誤差模型和改進(jìn)誤差模型進(jìn)行了零位標(biāo)定的仿真實(shí)驗(yàn)，并基于工業(yè)機(jī)器人IRB120進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，不管在仿真情況下，還是在具體實(shí)驗(yàn)中，考慮了關(guān)節(jié)柔性的誤差模型都能取得更好的標(biāo)定效果，具有更好的誤差模型完整性。下一步將研究該柔性關(guān)節(jié)模型是否對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定的效果也具有一定的提升作用。

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