一個(gè)幾何問(wèn)題的證明與推廣

安徽省旌德中學(xué)

趙忠華 (郵編：242600)

南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

單 墫 (郵編：210024)

我在許康華微信公眾號(hào)發(fā)了問(wèn)題征解：

(1)直線MN過(guò)定點(diǎn)P；

(2)分別以AB和CD為直徑作圓，則兩圓相交弦XY中點(diǎn)R的軌跡是圓.

好多天過(guò)去了，沒(méi)人給出解答，我自己給出一個(gè)證明，十分煩瑣：

證明(1)設(shè)A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)、M(xM,yM)、N(xN,yN),

直線AB方程：y=k(x-c)代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：(b2+a2k2)x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0,

同理

(2)以AB為直徑的圓方程：(x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)=0,即x2-(xA+xB)x+xAxB+y2-(yA+yB)y+yAyB=0

①

以CD為直徑的圓方程：(x-xC)(x-xD)+(y-yC)(y-yD)=0,即x2-(xC+xD)x+xCxD+y2-(yC+yD)y+yCyD=0

②

由①-②可得兩圓相交弦XY方程：[(xC+xD)-(xA+xB)]x+[(yC+yD)-(yA+yB)]y+xAxB-xCxD+yAyB-yCyD=0,又

本命題對(duì)于拋物線，雙曲線也成立，但證明均比較煩瑣，數(shù)學(xué)屆前輩單墫教授給出了一個(gè)統(tǒng)一證明，顯示了非凡功力.

證明采用極坐標(biāo), 考慮一般的圓錐曲線. 不妨設(shè)焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)F，x軸為極軸, 曲線方程為

直線MN的方程為(用面積不難推出):

MN與極軸交點(diǎn)P的極半徑ρ滿足

XY是兩圓的根軸, 點(diǎn)(ρ,θ)到⊙M的冪為

所以,XY的方程是

因?yàn)檫B心線MN⊥公共弦XY， 所以∠PRQ=90°，R在以PQ為直徑的圓上.