傾斜軌道對(duì)地指向小衛(wèi)星對(duì)日跟蹤姿態(tài)控制算法

劉燎 孫華苗 李立濤 張迎春,

(1 深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東深圳 518064) (2 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

衛(wèi)星采用傾斜軌道，可在不同的時(shí)間段(包括夜間)對(duì)地面進(jìn)行觀測(cè)，因此對(duì)實(shí)現(xiàn)某種特定的任務(wù)目標(biāo)具有更多的優(yōu)勢(shì)[1]。由于升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移和地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，傾斜軌道上太陽(yáng)光和軌道面夾角的變化要比太陽(yáng)同步軌道復(fù)雜，太陽(yáng)電池陣的在軌光照條件比較惡劣[2]，例如軌道高度900 km、45°傾角的圓軌道，軌道太陽(yáng)角在±68°之間變化[3]，對(duì)衛(wèi)星的熱控設(shè)計(jì)和太陽(yáng)電池陣的充電等帶來(lái)了挑戰(zhàn)[4-5]。目前，傾斜軌道也成為小衛(wèi)星經(jīng)常采用的軌道，而小衛(wèi)星一般采用固定安裝太陽(yáng)電池陣的構(gòu)型[6]，導(dǎo)致對(duì)地定向姿態(tài)時(shí)光照條件比較惡劣，因此必須尋求其他解決方案。

文獻(xiàn)[7]中對(duì)傾斜軌道光照特性進(jìn)行了深入分析，并分別提出慣性定向和對(duì)地定向2種航天器太陽(yáng)電池陣對(duì)日跟蹤的方法。文獻(xiàn)[8]中針對(duì)傾斜軌道衛(wèi)星太陽(yáng)電池陣對(duì)日定向問(wèn)題，提出了一種最優(yōu)偏航角計(jì)算方法，對(duì)每個(gè)軌道太陽(yáng)角計(jì)算出一個(gè)最優(yōu)的偏航角ψ，使衛(wèi)星偏航軸根據(jù)每軌太陽(yáng)方向矢量符號(hào)分別偏置±ψ，再配合單軸驅(qū)動(dòng)太陽(yáng)電池陣，即可保證得到比較優(yōu)化的光照條件。以上方法均具有一定的優(yōu)越性，但是要配置單自由度太陽(yáng)電池陣驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)，并不適用于采用固定安裝太陽(yáng)電池陣形式的小衛(wèi)星對(duì)日姿態(tài)控制。文獻(xiàn)[9]中從規(guī)避太陽(yáng)光的角度對(duì)傾斜軌道小衛(wèi)星機(jī)動(dòng)方案進(jìn)行設(shè)計(jì)，提出了平臺(tái)偏航姿態(tài)機(jī)動(dòng)方案，對(duì)小衛(wèi)星采用姿態(tài)機(jī)動(dòng)實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)跟蹤有一定的借鑒價(jià)值，但是該方案只是偏置一定角度，無(wú)法實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)電池陣對(duì)太陽(yáng)光的實(shí)時(shí)跟蹤。對(duì)于任務(wù)要求是對(duì)地指向的小衛(wèi)星，在滿(mǎn)足對(duì)地指向條件下，要使太陽(yáng)電池陣獲得最優(yōu)的光照條件，采用偏航軸姿態(tài)機(jī)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)跟蹤控制，是可行的解決方法。

本文研究了對(duì)地指向小衛(wèi)星的期望姿態(tài)，對(duì)太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)和太陽(yáng)方向矢量的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，推導(dǎo)了最優(yōu)偏航角、角速度和角加速度，設(shè)計(jì)了控制律，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行分析；最后通過(guò)實(shí)例仿真驗(yàn)證了控制律的有效性，證明姿態(tài)控制算法能實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)電池陣對(duì)太陽(yáng)的實(shí)時(shí)跟蹤，最大程度地滿(mǎn)足太陽(yáng)電池陣的充電需求。

1 姿態(tài)控制算法

在對(duì)地指向小衛(wèi)星姿態(tài)控制中，參考坐標(biāo)系一般選定為軌道坐標(biāo)系(ORC)，記為OXoYoZo，衛(wèi)星本體坐標(biāo)系(SBC)記為OXbYbZb，若衛(wèi)星本體坐標(biāo)系與軌道坐標(biāo)系的姿態(tài)偏差為零，則2個(gè)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重合，衛(wèi)星本體坐標(biāo)系、軌道坐標(biāo)系與地球的

關(guān)系如圖1所示。

在保證對(duì)地指向小衛(wèi)星滿(mǎn)足+Zb軸對(duì)地約束下，對(duì)太陽(yáng)方向矢量和太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)的相對(duì)關(guān)系進(jìn)行建模。通過(guò)推導(dǎo)，得出姿態(tài)運(yùn)動(dòng)中期望的偏航角、角速度和角加速度，對(duì)姿態(tài)進(jìn)行規(guī)劃，使對(duì)地指向小衛(wèi)星在運(yùn)行中始終保持太陽(yáng)電池陣和太陽(yáng)方向矢量的夾角最小，保證太陽(yáng)電池陣最優(yōu)的光照條件。對(duì)姿態(tài)控制算法進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論[10]對(duì)控制穩(wěn)定性進(jìn)行證明。

1.1 數(shù)學(xué)建模

軌道太陽(yáng)角β定義為太陽(yáng)方向矢量和軌道面的夾角，偏向軌道法線(xiàn)方向?yàn)檎?。太?yáng)方向單位矢量vs和太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)方向單位矢量vn在軌道坐標(biāo)系下的關(guān)系示意，見(jiàn)圖2。其中：ψ為小衛(wèi)星偏航角；α為vn與軌道坐標(biāo)系-Zo軸的夾角，通過(guò)偏航控制，vn形成一個(gè)繞軌道坐標(biāo)系-Zo軸、半錐角為α的圓錐面；γ為vs與軌道坐標(biāo)系-Yo軸的夾角；θ為vs在軌道坐標(biāo)系XoOZo面內(nèi)的投影與軌道坐標(biāo)系+Zo軸的夾角，隨著衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)，vs形成一個(gè)繞軌道坐標(biāo)系-Yo軸、半錐角為γ的圓錐面；η為vs和vn之間的夾角。

對(duì)地指向小衛(wèi)星需要本體坐標(biāo)系+Zb軸穩(wěn)定對(duì)地，隨著小衛(wèi)星在軌道上運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)方向在軌道坐標(biāo)系中不斷變化，通過(guò)小衛(wèi)星的偏航機(jī)動(dòng)可實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)電池陣最優(yōu)的對(duì)日定向。當(dāng)η>α+γ時(shí)，如圖2(a)所示，2個(gè)圓錐無(wú)交線(xiàn)，太陽(yáng)電池陣無(wú)法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確對(duì)日，只能以最優(yōu)夾角盡可能對(duì)日；當(dāng)η≤α+γ時(shí)，如圖2(b)所示，2個(gè)圓錐有2個(gè)交點(diǎn)A和B，或者1個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)偏航機(jī)動(dòng)即可實(shí)現(xiàn)太陽(yáng)電池陣對(duì)日定向。

vs·vn=cosη=f(ψ)

(1)

當(dāng)f(ψ)取最大值時(shí)，太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)方向和太陽(yáng)方向夾角最小，太陽(yáng)電池陣受照情況最優(yōu)。

f(ψ)取極值的必要條件為

df(ψ)/dψ=-sinα(sinγsinθsinψ+cosγcosψ)=0

(2)

因此

sinγsinθsinψ+cosγcosψ=0

(3)

或者

sinα=0

(4)

式(4)成立時(shí)，α=0或π，式(2)直接為零，無(wú)法找出最優(yōu)的偏航角，因此僅對(duì)式(3)中的情況進(jìn)行分析。當(dāng)式(3)為零，即f(ψ)取得極值的充分條件為

(5)

f(ψ)的二階導(dǎo)數(shù)為

(6)

當(dāng)ψ=π/2+arctan(tanγsinθ)時(shí)，可得

(7)

當(dāng)ψ=-π/2+arctan(tanγsinθ)時(shí)，可得

(8)

對(duì)情況②進(jìn)行分析，情況③類(lèi)似。

tan(ψ+π/2)=tanγsinθ

(9)

式(9)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

(10)

由式(10)可得偏航角速度為

(11)

式(11)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),可得偏航角加速度為

(12)

1.2 控制律設(shè)計(jì)

將小衛(wèi)星看成剛體，為了簡(jiǎn)化控制律設(shè)計(jì)，假設(shè)小衛(wèi)星的執(zhí)行機(jī)構(gòu)為3個(gè)互相垂直的反作用飛輪，則小衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

(13)

(14)

式中：I為小衛(wèi)星相對(duì)質(zhì)心的慣性張量；ωbi為小衛(wèi)星相對(duì)慣性坐標(biāo)系(J2000坐標(biāo)系)的角速度在本體坐標(biāo)系中的分量；h為小衛(wèi)星反作用飛輪的角動(dòng)量；Nd為小衛(wèi)星在軌受到的干擾力矩，包括重力梯度力矩、氣動(dòng)力矩、太陽(yáng)光壓力矩等；Nw為作用在小衛(wèi)星反作用飛輪上的控制力矩。

D(ωbi-ωc)+Kqvec

(15)

姿態(tài)控制系統(tǒng)的閉環(huán)控制方程為

(16)

小衛(wèi)星相對(duì)慣性坐標(biāo)系下的姿態(tài)角速度與參考坐標(biāo)系下的姿態(tài)角速度的差記為ωe=ωbi-ωc，則式(16)可轉(zhuǎn)化為

(17)

利用Lyapunov直接法證明此控制的漸近穩(wěn)定性。令Lyapunov函數(shù)為

(18)

式(18)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(19)

由姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可得

(20)

可得

(21)

當(dāng)k>0且D正定時(shí)，式(18)是正定的，式(21)是負(fù)定的，根據(jù)穩(wěn)定性定理，該控制率在Lyapunov意義下是漸近穩(wěn)定的。

2 實(shí)例驗(yàn)證

仿真中采用45°低傾角圓軌道，軌道高度為900 km，軌道半長(zhǎng)軸為7 278.14 km，軌道周期為102.99 min，發(fā)射時(shí)間設(shè)為2018年5月1日12：00。在1年時(shí)間里，軌道太陽(yáng)角在±68°之間變化；最大地影時(shí)間小于35 min，相應(yīng)最大星食因子小于34%。太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)方向單位矢量在小衛(wèi)星本體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0.939，0.000，-0.342)，即太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)在本體坐標(biāo)系XbOZb平面內(nèi)，由+Xb軸向-Zb軸方向偏轉(zhuǎn)20°。在太陽(yáng)電池陣上安裝一個(gè)小型太陽(yáng)敏感器，用于測(cè)量太陽(yáng)方位，其測(cè)量示意見(jiàn)圖3。太陽(yáng)敏感器可輸出太陽(yáng)方向矢量在兩維方向的入射角αs=arctan(X/F),βs=arctan(Y/F)，其中X和Y分別為光斑中心至光學(xué)零位像元的距離，F(xiàn)為光縫至光敏面的垂直距離，根據(jù)太陽(yáng)敏感器的測(cè)量模型[tanαs,tanβs,1.0]，可解算出太陽(yáng)方向矢量在太陽(yáng)敏感器坐標(biāo)系(OXsYsZs)的分量，安裝上使太陽(yáng)敏感器的+Zs軸與太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)方向一致，+Xs軸位于小衛(wèi)星本體坐標(biāo)系XbZb平面內(nèi)，因而太陽(yáng)敏感器的輸出角βs與衛(wèi)星的偏航角ψ是一致的。

軌道光照條件如圖4和圖5所示，對(duì)地指向小衛(wèi)星太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)方向單位矢量與太陽(yáng)方向單位矢量的夾角如圖6所示?？梢钥闯觯禾?yáng)電池陣的光照條件比較惡劣，不能滿(mǎn)足充電需求。

采用本文的對(duì)日跟蹤姿態(tài)控制算法，期望的偏航角速度如圖7所示，仿真結(jié)果如圖8～11所示。由圖7可以看出：軌道太陽(yáng)角趨向于零時(shí)，期望的偏航角速度趨向于無(wú)窮大，本文的控制率已無(wú)法滿(mǎn)足對(duì)日跟蹤需求，需要其他的對(duì)日跟蹤策略。由圖8和圖9可以看出：太陽(yáng)敏感器輸出角βs為零，在滿(mǎn)足對(duì)地指向下，通過(guò)偏航機(jī)動(dòng)保持最優(yōu)的對(duì)日跟蹤狀態(tài)，能大大改善太陽(yáng)電池陣的光照條件。由圖10和圖11可以看出：衛(wèi)星偏航姿態(tài)控制精度可達(dá)0.6°，能滿(mǎn)足一般對(duì)地指向小衛(wèi)星的控制精度需求，同時(shí)小衛(wèi)星能很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)日跟蹤姿態(tài)控制，極大地改善太陽(yáng)電池陣的光照條件。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了對(duì)地指向小衛(wèi)星對(duì)日跟蹤姿態(tài)控制問(wèn)題，在滿(mǎn)足小衛(wèi)星+Zb軸對(duì)地約束下對(duì)太陽(yáng)方向矢量和太陽(yáng)電池陣法線(xiàn)方向矢量的相對(duì)關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出了小衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)中期望的偏航角、角速度和角加速度，通過(guò)對(duì)姿態(tài)進(jìn)行規(guī)劃，滿(mǎn)足對(duì)地指向小衛(wèi)星運(yùn)行中始終保持太陽(yáng)電池陣和太陽(yáng)光照的夾角最小，獲得最優(yōu)的光照條件。對(duì)姿態(tài)控制算法進(jìn)行控制律設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)了帶前饋的姿態(tài)四元數(shù)和角速度聯(lián)合狀態(tài)反饋?zhàn)藨B(tài)控制律，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行證明，通過(guò)數(shù)值仿真得到了對(duì)地指向小衛(wèi)星通過(guò)偏航機(jī)動(dòng)進(jìn)行對(duì)日跟蹤姿態(tài)控制的仿真結(jié)果，偏航控制精度在0.6°以?xún)?nèi)，能很好地滿(mǎn)足小衛(wèi)星太陽(yáng)電池陣的光照條件。該姿態(tài)控制律可以廣泛地應(yīng)用于對(duì)地遙感、通信等衛(wèi)星的姿態(tài)控制中。當(dāng)軌道太陽(yáng)角趨向于零時(shí)，期望的偏航角速度趨向于無(wú)窮大，本文的控制率已無(wú)法滿(mǎn)足對(duì)日跟蹤需求，需要其他的對(duì)日跟蹤策略，可作為下一步研究的目標(biāo)。

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