一道不等式證明題的探究

成克勤

(蘭州市第七十一中學(xué) 730080)

題目已知：a>0,b>0,a3+b3=2.

證明(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

(1)證法1 (a+b)(a5+b5)

=a6+ab5+a5b+b6

=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)

=4+ab(a2-b2)2

≥4.

注代數(shù)變形，等價(jià)轉(zhuǎn)化，靈活應(yīng)用相關(guān)的知識(shí)方法是證明的關(guān)鍵所在，如"非負(fù)數(shù)"性質(zhì)、因式分解等等.

證法2 由已知條件，

欲證(a+b)(a5+b5)≥4，

只需證(a+b)(a5+b5) ≥(a3+b3)2.

等價(jià)于a6+ab5+a5b+b6≥a6+2a3b3+b6,

等價(jià)于ab(a4+b4) ≥ 2a3b3,

等價(jià)于a4-2a2b2+b4≥0,

等價(jià)于(a2-b2)2≥ 0.

上式顯然成立,

因此(a+b)(a5+b5) ≥ 4.

注①觀察所證不等式兩邊結(jié)構(gòu)，并注意已知條件，將不等式兩邊齊次化，是證明的關(guān)鍵所在.

②分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法，就證明程序來(lái)講，它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法.具體地說(shuō)，即假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的，再逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題或是要證明的命題的已知條件時(shí)，則所證命題得證.

證法3 由柯西不等式得：

即 (a+b)(a5+b5)≥4.

當(dāng)且僅當(dāng)，即a=b=1時(shí)取等號(hào).

由上述論證過(guò)程，此題可推廣為：

若a,b∈R+，且an+bn=2,n∈N,n≥2.

有結(jié)論：(a+b) (a2n-1+b2n-1)≥4.

注注意到要證不等式的形式，可以構(gòu)造柯西不等式模型.

(2)證法1

因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

=2+3ab(a+b)

所以(a+b)3≤8,

因此a+b≤2.

證法2

因?yàn)閍3+1+1≥3a，b3+1+1≥3b，

兩式相加，得a3+b3+4≥3(a+b),

所以a+b≤2.

注證明不等式時(shí)，可以根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)，合理選擇重要不等式及其變形不等式來(lái)加以證明.

本題先局部運(yùn)用重要不等式a3+b3+c3≥3abc，然后用不等式的性質(zhì)，通過(guò)不等式相加(有時(shí)相乘)綜合推出要求證的不等式.這種證明方法在證明這類(lèi)轉(zhuǎn)換對(duì)稱不等式時(shí)具有一定的普遍性.

證法3 以a為主元，設(shè)f(x)=x3+b3-2，易知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.因此f(2-b)=(2-b)3+b3-2=6(1-b)2≥0.

而f(a)=a3+b3-2=0，

故f(2-b) ≥f(a)，

從而2-b≥a，即a+b≤2.

注選定字母a為主元來(lái)構(gòu)造三次函數(shù)是解題的關(guān)鍵所在.

所以 (a+b)3≤8，

因此a+b≤2.

注應(yīng)用柯西不等式證明的關(guān)鍵是善于構(gòu)造兩組數(shù)：a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn，

柯西不等式的左端正好是這兩組數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積之和的平方，

即(a1b1+a2b2+…+anbn)2，右端的乘積中的每一項(xiàng)恰好是每組中各個(gè)數(shù)平方之和，即

其一般式為：

證法5 由赫爾德不等式，得

因此a+b≤2.

由上述證明過(guò)程，此題可以推廣為：

若a，b∈R+，且an+bn=2，n∈N，n≥2，

則有a+b≤2.

注有關(guān)赫爾德不等式，高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教程中均可查閱到，此處不再贅述.

參考文獻(xiàn)：

[1]渠東劍.2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷評(píng)析及啟示[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017(08).