直線系方程在處理函數(shù)問題中的作用

紀(jì)建靈 吳寶樹

(福建省泉州市第七中學(xué) 362000)

吳寶樹，泉州市第七中學(xué)數(shù)，中學(xué)一級教師，教育碩士.

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書數(shù)學(xué)必修2》在《3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式》一節(jié)中，給出了如下探究題：當(dāng)λ變化時，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？這一探究題給出了一種特殊的直線系方程，即過定點(diǎn)的直線系方程.對直線的斜截式方程y=kx+b進(jìn)行研究，我們同樣可以得到當(dāng)b為定值，k為參數(shù)時，直線為過定點(diǎn)(0,b)的直線系方程，當(dāng)k為定值，b為參數(shù)時，直線為一組斜率為k的平行直線系方程.對直線系方程的研究是解析幾何中的一個熱點(diǎn)問題，同時，在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的試題中，我們發(fā)現(xiàn)，有大量的試題，也是基于直線系方程背景命制的，洞悉了直線系方程的背景，無疑對解決此類函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題有很大的幫助.

一、過定點(diǎn)的直線系函數(shù)試題

例1 (2014新課標(biāo)Ⅱ文21)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2.

圖1

(1)求a；

(2)證明：當(dāng)k<1時，曲線與直線y=kx-2只有一個交點(diǎn).

二、平行直線系函數(shù)試題

圖2

三、直線系和動曲線方程互相轉(zhuǎn)化的試題

在實(shí)際問題中，經(jīng)常能碰到動曲線問題，在處理過程中，動曲線問題往往比較繁瑣，不易解決.如果能夠?qū)υ囶}的條件加以轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的動曲線問題，轉(zhuǎn)化為熟悉的動直線問題，無疑將大大簡化試題的難度.

A.當(dāng)a<0時，x1+x2<0,y1+y2>0

B.當(dāng)a<0時，x1+x2>0,y1+y2<0

C.當(dāng)a>0時，x1+x2<0,y1+y2<0

D.當(dāng)a>0時，x1+x2>0,y1+y2>0

參考文獻(xiàn)：

[1]姚承佳，楊蒼洲.揭秘一類壓軸試題的命題技巧[J].數(shù)學(xué)通訊，2015(3)：55-57.

[2]吳寶樹，楊蒼洲.一類具有部分周期性質(zhì)的函數(shù)試題探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016(8):21-22.